核心素养下几何推理能力的培养策略

周静

在整个初中阶段的数学学习中，推理占据了重要地位，不论是公式的推导、结论的得出，还是定理的证明，都离不开推理。“图形与几何”是整个数学课程体系的重要内容，也是培养学生推理能力和逻辑思维必不可少的载体。本文通过对人教版义务教育教科书的深入研读，结合初中几何课堂教学的实践，总结了培养学生几何推理能力的三种有效方法。

一、数学语言——形成几何推理

在几何教学中，数学语言表现为文字语言、符号语言和图形语言，它们是数学思维和交流必不可少的工具。让学生认识三种语言并掌握三种语言的转化，是培养学生几何推理能力的重要基础。

在平面几何的入门阶段，教师要引导学生初步学习几何语言，特别要弄清一些词（如“经过”“有”“只有”等）的意义，懂得一些几何语言的意义，能画出图形表示这些语言，还要逐渐学会用正确的几何语言说出一些几何事实。教学“直线、射线、线段”时，教师可以这样引导。

师（出示图1）：大家已经学会了用文字语言和符号语言来表示直线、射线和线段，你们能尝试描述下图中的组合图形吗？

生1：（1）中，直线a经过点P。

师：还可以怎样说？

生2：点P在直线a上。

师：“直线a经过点P”和“点P在直线a上”，两者有区别吗？

生3：前一种说的是线的位置，直线经过点，后一种说的是点的位置，点在直线上。

师：大家用这两种方式分别描述一下其他三幅图。

生4：（2）中，点E在直线b外，或直线b不经过点E。

生5：（3）中，点C在直线AB外，或直线AB不经过点C。

生6：（4）中，点F既在直线l上，也在直线n上，或者说成，直线l和直线n都经过点F。

师：（4）也可以说成直线l与直线n相交于点F。同学们已经掌握了将图形语言转化为文字语言的方法，我们再试试将文字语言转化为图形语言。（1）点A在直线EF外;（2）直线a经过点N;（3）直线l、直线m、直线n交于一点O;（4）点P是线段CD与线段PQ的交点。

生7：我是这样表示的，如图2所示。

几何语言和生活语言有很大的区别，在日常教学中，教师对每一个几何术语都必须认真讲解，尤其要注意几何语言的表达和板书要规范严谨，以起到良好的示范作用。

二、几何直观——建构几何推理

几何直观是指借助图形来进行数学想象和思考。从实质上来说，它其实是先通过直观的图形产生感观上的初始认识，然后展开充分想象，使抽象的形式具体化，最后形成逻辑推理。通过几何直观可以促进知识由未知向已知的转化，缓解学生学习几何的心理障碍，激发他们学习几何的兴趣。在“等边三角形”的教学中，教师设计了以下三个环节。

环节一：认识等边三角形。

（1）几何画板软件演示等腰△ABC的顶点A沿对称轴运动的过程，同时显示出AB，AC，BC的长度值，让学生观察是否存在某个点A的位置，使得△ABC的三边都相等（见图3）。

（2）三边都相等的三角形是等边三角形。通过动画演示，学生可以感受到等边三角形与等腰三角形的联系和区别，等边三角形是特殊的等腰三角形。

环节二：探究等边三角形的性质。

（1）学生分小组通过画图、测量等方式探索等边三角形的性质。

（2）学生得出结论后，教师引导学生从边、角、重要线段、对称性四个方面进行梳理，并用表格呈现。

环节三：探究等边三角形的判定。

（1）类比在探索全等三角形判定方法时用到的作图实验，学生借助圆规、量角器、直尺等工具，尝试用不同方法画等边三角形。

（2）小组交流后全班展示，比一比哪个小组画等边三角形的方法多。

（3）教师用几何画板软件展示学生的几种典型画法，并由这些画法探索等边三角形的判定定理。（见图4、图5、图6）。

（4）师生共同归纳出等边三角形的判定定理。

学生在前一节课刚学习了等腰三角形的相关知识，很容易类比等腰三角形的研究思路来学习等边三角形。本节课从观察等腰三角形的图形演变入手，让学生在运动变化中自然而然地发现等边三角形与等腰三角形之间的关系。

三、关键问题——发展几何推理

几何推理必须讲究推理的过程和依据，要有前因后果，要根据一定的方法及概念之间的内在逻辑关系，使学生形成有序思维，发展逻辑推理能力。教学“线段的垂直平分线的性质”時，教师是这样引导的。

师（出示图7）：已知线段AB，除线段AB的中点C外，线段的对称轴上是否还存在其他的点到点A和点B的距离相等呢？找一找，有多少个？

生1：在l上任意取一点，通过直尺测量、圆规测距、对折重合等方法发现这点到线段两端点的距离相等，对称轴l上的点到点A和点B的距离都相等，这样的点有无数个。

师：将上述结论中的端点改成线段上的任意点，结论还成立吗？

生2：把端点换成这条线段上的任意一对对称点，结论是成立的，如果不是对称点就不成立。

师：当点P在线段AB的垂直平分线上时，结论成立，如果点P不在线段AB的垂直平分线上，结论还成立吗？

生3：如果点P不在线段AB的垂直平分线上，PA不等于PB，结论不成立。

师：也就是说，只有当点P在线段AB的垂直平分线上时，才有PA等于PB。那么反过来，当满足PA=PB时，点P在哪里？

生4：点P在线段AB的垂直平分线上。

师：所以，到线段两个端点的距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。

……

在设计本课时，教师首先思考了一个问题：前面的知识与本节课的知识存在什么样的逻辑关系？对这个问题的思考实质就是对本节课教学起点的思考。学习过程中，随着课程内容的不断加深，对学生抽象思维能力和逻辑思维能力的要求也越来越高，教师要关注学生对数学知识本质的理解，给学生充足的时间去感受逻辑的魅力，帮助学生形成推理的意识，享受到思考的乐趣，将数学核心素养的培养落实到课堂教学中，实现了数学的育人价值。

（作者单位：宜昌市西陵区教育科学研究院）

责任编辑  张敏

推理能力的培养应该贯穿于整个数学学习的过程中。推理一般分为合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。本期，我们着眼于课堂教学，从核心素养下的几何推理、推理能力培养的具体方法和典型素材等角度，探讨学生推理能力的培养。