一道函数导数试题的源与流

蔡海涛

(福建省莆田第二中学 351131)

一、试题呈现

例1(2020年厦门市高三质检·理21)已知函数f(x)=alnx+x-1，g(x)=x3-1.

(1)若直线l:y=-x+1与曲线y=f(x)相切，求实数a的值；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.

二、解法探究

1.第(1)问解析.

解析a=-2.(过程略)

2.第(2)问解析

解法1 当0

当x=1时，f(1)=g(1)=0，从而h(1)=0，故x=1为h(x)的一个零点.

当x>1时，g(x)>0，所以h(x)的零点即为f(x)的零点.

若-a≤1，即a≥-1时，f′(x)>0，从而f(x)在区间(1,+)单调递增，进而f(x)>f(1)=0.又g(x)>g(1)=0，所以h(x)>0，此时h(x)在(1,+)没有零点.

若-a>1，即a<-1时，f(x)在区间(1,-a)单调递减，在区间(-a,+)单调递增.因为f(1)=0，f(-a)

易证当x>0时，lnx≤x-1，则ln(4a2)=2ln(-2a)≤2(-2a-1).所以f(4a2)=aln(4a2)+4a2-1≥a×2(-2a-1)+4a2-1=-2a-1>0.故存在x0∈(-a,4a2)，进而存在x0∈(-a,+)，使得f(x0)=0，即h(x0)=0，此时h(x)在(1,+)上存在唯一零点.

综上可得，当a≥-1时，h(x)有一个零点；当a<-1时，h(x)有两个零点.

评注本题若考虑求出函数h(x)的解析式，则需要对a进行讨论，研究f(x)与g(x)的大小关系，情况比较复杂.考虑函数g(x)不含参，故先研究其零点，则得到讨论的分界点，分为“01”等三种情况，突破了本题的第一个难点.当x>1时，由于g(x)>0，故把要求解的问题转化为f(x)的零点情况，则需对其求导，对参数a进行讨论，研究其单调性，结合f(1)=0，得到零点个数，突破了本题的第二个难点.在对含参函数导数问题的讨论中,对参数的讨论分界点的分析尤为重要.

当x=1时，因为f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0，1为h(x)的零点；

当x>1时，因为f(x)>f(1)=0，g(x)>g(1)=0，h(x)>0，无零点；

此时，h(x)有一个零点.

当0

当x=1时，因为f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0，1为h(x)的零点；

当x>1时，因为g(x)>g(1)=0，此时只需考虑f(x)在(1,+)上的零点即可.

若-a≤1，即-1≤a<0时，因为f(x)在(1,+)上单调递增，所以f(x)>f(1)=0.从而f(x)无零点,进而h(x)无零点，此时h(x)在(0,+)上共有一个零点.

若a<-1时，与解法1相同，可得h(x)在(1,+)上存在唯一零点；

综上可得，当a≥-1时，h(x)有一个零点；当a<-1时，h(x)有两个零点.

评注解法2从研究函数f(x)的零点入手，求导后结合定义域对参数a讨论.当a<0时，结合函数g(x)的零点情况，难点为f(x)在(1,+)上的零点研究，基本思路同解法1.

三、高考探源

(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x) 的切线；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.

(2)当x∈(1,+)时，因为g(x)=-lnx<0，所以h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0.所以h(x)在(1,+)上无零点．

当x∈(0,1)时，因为g(x)=-lnx>0，所以只需考虑f(x)在(0,1)上的零点个数．

四、变式拓展

例3 已知函数f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-lnx.

(1)若过点P(a,-4)恰有两条直线与曲线y=f(x)相切，求a的值；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，若h(x)恰有三个零点，求实数k的取值范围.

解析(1)设切点为Q(t,f(t))，因为f′(x)=6x2-6x，所以切线的斜率为f′(t)=6t2-6t.所以切线方程为y-f(t)=(6t2-6t)(x-t).因为切线过点P(a,-4),所以-4-f(t)=(6t2-6t)(a-t).整理,得4t3-(3+6a)t2+6at-5=0.(*)

又曲线恰有两条切线，即方程(*)恰有两个不同解.

解得a=-1.

(2)因为f(x)=2x3-3x2+1=(x-1)2(2x+1)，所以f(x)在(0,+)上只有一个零点x=1.

①当k≤0时，因为g′(x)<0，所以g(x)在(0,+)上单调递减，所以g(x)在(0,+)上至多只有一个零点，不合题意.

令F(x)=ex-x2(x>2)，则F′(x)=ex-2x，F″(x)=ex-2>e2-2>0.所以F′(x)>F′(2)=e2-4>0，所以F(x)在区间(2,+)单调递增.

所以F(x)>F(2)=e2-4>0，ex-x2>0，

即ex>x2(x>2).

(**)

所以g(x1)=g(x2)=0.

因为g(1)=k+1>0，f(x1)>0，f(x2)>0，故h(1)>f(1)=0，h(x1)=g(x1)=0，h(x2)=g(x2)=0.

从而h(x)有三个零点.

每年高考试题及各地的高三模拟试题，都是命题老师智慧的结晶，对这些试题进行深入的探究，探究试题的“源与流”，渗透到高三的教学中去，既能让教学内容更丰富多彩，又能激发学生的学习兴趣，有利于拓展学生的思维，提升学生的素养，对高三的复习备考有很大的意义.