例谈二项式定理的应用

刘立强 杜红全

(1.甘肃省康县第一中学 746500；2.甘肃省康县教育局教研室 746500)

一、用于求展开式中的特定项或系数

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中的有理项的二项式系数；

(3)求展开式中的有理项的系数.

例2(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).

A.56 B.84 C.112 D.168

点评解此问题的关键是求(1+x)8的展开式中x2的系数与(1+y)4的展开式中y2的系数的积.若是求一个三项式的系数问题，则应利用公式把三项转化为二项(可因式分解)或把两项看成一项，然后利用二项式定理展开求解.

二、用于求二项式定理中的相关元素

三、用于确定展开式中系数最大项

解析由题意，得22n-2n=992.即(2n-32)(2n+31)=0.所以2n=32，解得n=5.

设第r+1项的系数的绝对值最大.

因为r∈Z，所以r=3.

点评(1)解决此类问题的关键是要区分“二项式系数最大的项”“系数最大的项”“系数的绝对值最大的项”这三个不同的概念，“二项式系数最大的项”一定是中间项，而“系数最大的项”“系数的绝对值最大的项”不一定居中.

(3)二项展开式中有四个特殊项，即常数项、有理项、二项式系数最大项、系数最大项，要掌握它们的求法.

四、用于求展开式中各项系数的和

例5 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求

(1)a1+a2+…+a7；

(2)a1+a3+a5+a7；

(3)a0+a2+a4+a6；

(4)a2+a5.

解析(1)令x=0，则a0=-1.

令x=1，则a7+a6+…+a1+a0=27=128.

①

所以a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1，则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7.

②

点评本题的解法是赋值法，这是一种重要的方法，它适用于恒等式.对展开式的系数和的求解，一般采用赋值法，赋值的选择要根据展开式系数和特征灵活赋值，通常令x=0，1，-1.

五、用于证明组合数恒等式

点评解此问题的关键是结合二项式定理，注意观察数列1,2,22，…，2n的规律性，令二项展开式中a=1，b=2，联想二项式定理展开式，构造左=(1+2)n=3n=右.

点评解此问题的关键是构造(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，比较等号两边的展开式中含xn项的系数.

六、用于证明不等式

所以原不等式成立.

七、用于解决整除性问题

例9 求证：9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

证明因为9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

所以9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

点评解此问题的关键是将所给的多项式通过恒等变形变为二项式的形式，使其展开后各项均含有除式.利用二项式定理证明整除性问题，通常需要将底数化成两数和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系.

八、用于求余数问题

例109192除以100的余数是____.

所以9192除以100的余数是81.

点评解此问题的关键是从9192的式子结构出发，利用9192=(90+1)92展开后再分析即可，但要注意余数的范围是[0,90)；当然本题也可以利用9192=(100-9)92展开.利用二项式定理求余数，通常需要将底数化成两数和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系.

九、用于求近似值

例11 求1.056的近似值，使结果精确到0.01.

点评解此问题的关键是展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度.在选取展开式中保留项时，以最后一项小数位超过精确度即可，少了不符合要求，多了无用，且增加麻烦.对于估算求值问题，常利用二项式定理.