测度中立型泛函微分方程的稳定性

2021-02-01李宝麟

西南大学学报（自然科学版） 2021年2期

关键词：变差测度定理

李宝麟，席娅

西北师范大学数学与统计学院，兰州 730070

我们考虑测度中立型泛函微分方程

D[N(xt，t)]=f(xt，t)Dg

(1)

的稳定性，其中D[N(xt，t)]和Dg(t)是N(xt，t)和g(t)的分布导数，xt(θ)=x(t+θ)，θ∈[-r，0]，t∈[t0，+∞)，且N是一个线性的非自治算子．测度微分方程已经被很多学者研究[1-4]．文献[5]建立了测度泛函微分方程的Lyapunov定理．文献[6]建立了测度微分方程和时间尺度上动力方程的Lyapunov稳定性．文献[7-9]利用非单调Lyapunov泛函研究了滞后型方程的稳定性．文献[10]在不利用Lyapunov泛函方法的情况下研究了多变时滞Volterra型动力系统的稳定性．文献[11]利用Lyapunov泛函研究了一类潜伏期和传染病期均传染的SEIQR流行病模型的稳定性．文献[12]通过Lyapunov泛函建立了非自治泛函微分方程的渐近稳定性定理．文献[13]运用广义常微分方程的变差稳定性和Lyapunov泛函建立了变差脉冲泛函微分方程的稳定性定理．

方程(1)的积分形式为

(2)

(3)

(4)

(4)式右边的积分可以是Riemann-Stieltjes积分、Lebesgue-Stieltjes积分或Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分[14]．

1 预备知识

(5)

在区间[α，β]⊂[t0，+∞)上的解是指：对每个γ，v∈[α，β]，(x(t)，t)∈Ω，t∈[α，β]，有

设集合O=Bc={x∈G-([t0-r，+∞)，Rn)： ‖x‖≤c，c>0}具有延拓性质，且

P={yt：y∈Bc，t∈[t0，+∞)}⊂G-([-r，0]，Rn)

引入概念[·，·，·]，其中对于a≤c，有： [a，b，c]=b，b∈[a，c]； [a，b，c]=a，b≤a； [a，b，c]=c，b≥c．对于每个y∈Bc，t∈[t0，+∞)，ϑ∈[t0-r，+∞)，定义函数

F(y，t)(ϑ)=H(y，t)(ϑ)+J(y，t)(ϑ)

(6)

‖F(x，s2)-F(x，s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

及

‖F(x，s2)-F(x，s1)-F(y，s2)+F(y，s1)‖≤‖x-y‖∞|h(s2)-h(s1)|

(7)

2 主要结果

定义3设y≡0是测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解，

(8)

(9)

V(t，xψ(t))=U(t，yt(t，ψ))

(10)

则有

(11)

注1给定t≥t0，由

则有‖yt(t，ψ)‖=‖xψ(t)‖．

则由注1，有

(12)

由注1，有

‖ψ‖=‖yt(t，ψ)‖=‖xψ(t)‖=‖z‖≤ρ

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的．

b(‖xψ(t)‖)=b(‖yt‖)≤U(t，yt(t，ψ))=V(t，xψ(t))

(13)

‖φ‖<δ

(14)

下面证明

(15)

(16)

(17)

由(14)，(17)式，有

(18)

则(15)式成立，即测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的．

D+U(t，ψ)≤-Λ(‖ψ‖)t≥t0

(19)

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的．

又由于‖yt‖=‖xψ(t)‖，则由注1，有

则

(20)

‖φ‖<δ0

(21)

下面证明

(22)

由(21)式，有

由(20)式，定理1证明中的(18)式成立，即(22)式成立．则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的．

其中y(s，t，ψ)是测度中立型泛函微分方程(4)的解，满足yt=ψ，ψ∈G-([-r，0]，Rn)．给出一个初值函数ψ∈G-([-r，0]，Rn)且t≥t0，由文献[14]的定理5.2，存在测度中立型泛函微分方程(4)的唯一解满足yt=ψ，y(t)=ψ(0)，则D+U(t，y(t))可以改写为D+U(t，ψ(0))．

存在，且满足U(t-，y(t-))=U(t，y(t))，其中y∈G-([t0-r，+∞)，Rn)．假设U满足以下条件：

|U(t，x)-U(t，y)|≤Ka‖x-y‖t∈[t0-r，+∞)，x，y∈Ba

其中Ba={z∈Rn： ‖z‖

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的．