完全图K2n的边传递循环覆盖

刘 寅，王 鼎

云南师范大学 数学学院，昆明 650500

在群论中，有限群被其真子群覆盖的问题是一个有趣的课题，并有丰富的结论[1-5]．在组合数学中，图的覆盖问题也是一个热门课题，覆盖图的各种结构在代数图论和拓扑图论中都有重要作用．文献[6-8]建立了图的覆盖的一些基本理论，并成功地应用于分类某些小度数的对称图．文献[9-10]利用计算机理论，分别对3度图和Heawood图的弧传递交换正则覆盖进行了刻画．特别地，完全图作为一类典型的对称图，常常作为正规商图出现在大量的对称图的研究中，其覆盖问题也受到了众多的关注．文献[11-12]确定了完全图的2-弧传递循环覆盖和初等交换正则覆盖．文献[13]在对一类立方图的研究中也刻画了完全图K4的s-正则循环覆盖和初等交换覆盖．近年来，文献[14]利用电压赋值的方法刻画了完全图K8的素数阶弧传递循环正则覆盖，其为K8的标准双覆盖K8，8-8K2．本文将图的顶点数8推广到一般的情况，主要考虑了完全图K2n(n≥3)的边传递循环正则覆盖，拓展了文献[14]的结果，并得到了一些新的图类．

1 预备知识

若无特殊说明，本文提到的图都是度数大于2的无向且连通的单图．对于正整数n，用Cn表示n阶循环群．对于两个群N和H，用N×H表示N与H的直积，用N∘H表示N与H的中心积，用N·H表示N被H的扩张，当这个扩张可裂时，用N∶H表示．

引理1[15]设Γ=Cos(G，H，HgH)，则下列结论成立：

反之，每个G-弧传递图都同构于陪集图Cos(G，Gα，GαhGα)，其中h为G的2-元素，且h2∈Gα，〈Gα，h〉=G．

引理2[16]设Γ为G-点传递局部本原图，N◁G在VΓ上至少有3个轨道，则：

证假设d不为素数，则d可表示为d=d1d2，其中d1为正整数，d2为素数．已知

则存在正整数e1≤e2

1+q+…+qd1-1=2e11+qd1+…+q(d2-1)d1=2e2

显然2e1|(qd1-1)，(qd1-1)|(qd1f-1)(f≥1)，所以2e1|(qd1f-1)，即存在整数a，使得qd1f=2e1a+1．故存在整数a1，a2，…，ad2-1，使得

2e2=1+qd1+…+q(d2-1)d1=d2+2e1(a1+a2+…+ad2-1)

又因为d2为素数，所以d2=2，e1=1．于是1+q+…+qd1-1=2e1=2，从而d1=2，q=1，这与q≠1矛盾．故d为素数．

引理5[18]设T=PSL(d，q)，若Mult(T)≠C(d，q-1)，则Mult(T)的取值情况为表1所示．

表1 Mult(T)的取值

2 主要结论

构造1假设2n-1为素数，m=2km′，其中0≤k≤1，m′|(2n-1-1)．设K=〈a〉≅Cm，T=PSL(2，2n-1)，〈b，c〉=〈b〉∶〈c〉≅C2n-1∶C2n-1-1为T的极大抛物子群．则正规化子NT(〈c〉)≅D2n-2．取NT(〈c〉)的 2 阶元记为g．令

引理6构造1中的图Δ为完全图K2n的K×T-弧传递Cm-覆盖．

证已知〈b，c〉为T的极大抛物子群且g∉〈b，c〉，则〈b，c，g〉=T．令X=〈E，(am′，g)〉，则由T为非交换单群可知1×T′=1×T⊆X′，其中T′，X′分别为T与X的换位子群．特别地，因为(1，g-1)，(1，c-1)∈X，所以(am′，1)，(a2k，1)∈X，从而X=K×T，而Δ为连通图，由E≅C2n-1∶C2n-1-1可知|VΔ|=|K×T∶E|=2nm．进一步地，由g∈NT(〈c〉)可知

E∩E(am′，g)≅C2n-1-1|E∶E∩E(am′，g)|=2n-1

从而Δ为2nm阶2n-1度K×T-弧传递图．

令K×1=N，则N≅Cm为K×T的正规子群．已知E中任意元e都可表示为(a2i，bjci)的形式．若e∈N，则bjci=1，于是bj=ci=1，从而2n-1|i，a2i=1．因此e=1，N∩E=1．又因为N半正则且在VΔ上有2n(>3)个轨道，由引理 2可知，Δ为ΔN的Cm-覆盖，其中ΔN≅K2n．

构造2假设2n-1为素数，m=2km′，其中1≤k≤2，m′|(2n-1-1)．设K=〈a〉≅Cm，S=SL(2，2n-1)，使得K∘S为中心积且K∩S≅C2．则存在元素b，c∈S，2 阶元g∈NS(〈c〉)，使得

〈b，c〉=〈b〉∶〈c〉≅C2n-1∶C2n-1-1〈b，c，g〉∈S

令

引理7构造2中的图Λ为完全图K2n的K∘S-弧传递Cm-覆盖．

证类似于引理6的证明，易知K∩F=1且Λ为2nm阶2n-1度K∘S-弧传递图．由于K在VΛ上有2n(>3)个轨道，由引理2知，Λ为ΛK的弧传递Cm-覆盖．而ΛK为2n个点上的2n-1度图，所以ΛK≅K2n．

定理1设图Γ为完全图K2n的边传递Cm-覆盖，其中n≥3，则Γ为下列图之一：

证已知Γ为完全图K2n的边传递Cm-覆盖，不妨设X为Γ的保纤群，K为覆盖变换群，则X作用在Γ上边传递，且K=〈a〉≅Cm为X的正规子群，Y=X/K在Σ=K2n上边传递．

若Y在VΣ上3-传递，则Σ为(Y，2)-弧传递图，从而Γ为Σ的2-弧传递Cm-覆盖．由文献[11]的定理1.1知，K≅C2，Γ≅K2n，2n-2nK2，或K≅C4，Γ为K2n的4-重覆盖．

若Y在VΣ上不是3-传递的，则由Y在Σ上边传递可知，Y作用在VΣ上2-齐次，从而为本原群．因此Y为几乎单型本原群或者仿射型本原群．以下设Y的基柱为T，α∈VΓ，δ∈VΣ．

Gα≅Gα/(Gα∩K)=GαK/K⊆Tδ

由Γ的顶点个数可知

|G∶Gα|=VΓ=|K||VΣ|=|K||T∶Tδ|

情形1Mult(T)≅C(d，q-1)且d|(q-1)．

由d|(q-1)可知，d|(q2-1)，…，d|(qd-1-1)，因此

d|(d+(q-1)+(q2-1)+…+(qd-1-1))

注意到

所以d|2n，从而d=2．于是q=2n-1．故T=PSL(2，2n-1)．由G=K·T为中心扩张且Mult(T)≅C2知G′≅PSL(2，2n-1)，SL(2，2n-1)．因为

情形1.1 当G′≅PSL(2，2n-1)时，G=K×G′．因为|VΓ|=2nm，计算可知

情形1.2 当G′≅SL(2，2n-1)时，G=K∘G′，其中K∩G′≅C2．计算可得

情形2Mult(T)≅C(d，q-1)，且d不整除q-1．

情形3Mult(T)≠C(d，q-1)．