非自治随机时滞广义Kuramoto-Sivashinsky方程的拉回随机吸引子

李 勇，张强恒，李扬荣

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

文献[1]研究了广义Kuramoto-Sivashinsky方程的整体吸引子及其性质，文献[2]对随机广义Kuramoto-Sivashinsky方程的随机吸引子进行了研究．本文主要研究在一维有界区域O=[-L，L]上的时滞广义Kuramoto-Sivashinsky方程

(1)

(E1)g(0)=0，g′(l)≤b；

(E2) |f(l)|≤A1|l|p，|f′(l)|≤A2|l|p-1；

(E3)φ′(l)≤m，|φ′(l)|≤B1|l|q，|φ″(l)|≤B2|l|q-1；

其中A1，A2，B1，B2，m，CF和LF是正实数，b是负实数，而且2≤p<7，1

拉回随机吸引子最初是由文献[3]提出来的，文献[4-5]对非自治随机动力系统的拉回随机吸引子问题进行了讨论，文献[6-7]对时滞微分方程的拉回随机吸引子的问题进行了一系列的讨论．本文主要研究在状态空间Xρ=C([-ρ，0]，L2(O))上的拉回随机吸引子的存在性．

1 连续非自治随机动力系统

在空间(Ω，F，P)上定义一簇遍历的保测变换{θt}t∈R：

θtω(·)=ω(·+t)-ω(t) ∀ω∈Ω，t∈R

(2)

(3)

(4)

Ψ(t，τ，ω，ψ)(·)=vt+τ(·，τ，θ-τω，ψ)

(5)

(6)

其中λ为庞加莱不等式常数．定义映射

(7)

(8)

(9)

2 解的一致估计

引理1假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，σ∈[τ-3ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v满足

‖vσ(·，τ-t，θ-τω，ψ)‖2≤R(τ，ω)

其中R(τ，ω)定义为

(10)

C为依赖于τ，ω和D的正实数．

证用方程(4)与v做内积，得

(11)

由(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，对任意ε>0有

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

由(5)式和(11)-(16)式可得

(17)

(18)

(19)

用τ-t和θ-τω分别代替τ和ω，则σ≥τ-t+ρ，令σ∈[τ-3ρ-1，τ]，则t≥4ρ+1，可以得到

(20)

(21)

由(2)式和(8)式，对任意ε>0和ω∈Ω，存在T(ε，ω)≥4ρ+1，使得对任意|t|≥T(ε，ω)都有

(22)

(23)

(24)

则由(20)-(24)式可得，存在T≥4ρ+1，当t≥T时引理1成立．

引理2[1]V是周期为2L的光滑周期函数，成立以下不等式：

引理3假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，则对任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，σ1∈[τ-ρ-1，τ]，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v满足

其中R1(τ，ω)为依赖于τ，ω和D的正实数．

证用方程(4)与-vxx做内积，得

(25)

由假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理2和Young不等式，得

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

则由(25)-(32)式可以得出

(33)

由引理1可得

(34)

(35)

令τ∈R，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ∈(τ+s-2ρ-1，τ+s-ρ-1)，s∈[-ρ，0]，σ1∈[τ-ρ-1，τ]，对(33)式在[κ，σ1+s]上求积分，用τ-t和θ-τω分别代替τ和ω，则由(34)，(35)式可以得出

(36)

与(36)式的证明类似，对(33)式在[τ-ρ，τ]上积分，由(34)，(35)和(36)式可得

(37)

其中Q1(τ，ω)，Q2(τ，ω)为依赖于τ，ω和D的正实数．由(5)，(36)和(37)式得引理3成立．

引理4假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)和(6)式成立，则对任意τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)≥4ρ+1，使得对任意t≥T，ψ∈D(τ-t，θ-tω)，v满足

其中R2(τ，ω)是依赖于τ，ω和D的正实数．

证用方程(4)与vxxxx做内积，可得

(38)

由假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理2，可得

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

由(38)-(43)式可以得出

(44)

由引理2可得

(45)

令τ∈R，t≥4ρ+1，ω∈Ω，κ1∈(τ+s-1，τ+s)，s∈[-ρ，0]，κ1≤κ2，对(44)式在[κ1，κ2+s]上求积分，用τ-t和θ-τω分别代替τ和ω，再用τ代替κ2，由(34)，(35)，(45)式可得

(46)

与(46)式的证明类似，对(44)式在[τ-ρ，τ]上积分，由(34)，(35)，(45)，(46)式可得

(47)

3 拉回吸引子

引理5假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，则非自治随机动力系统Ψ有一个闭的可测的D-拉回吸收集K={K(τ，ω)：τ∈R，ω∈Ω}∈D，K(τ，ω)定义为

其中R(τ，ω)由(10)式定义．

证由引理1，对任意的τ∈R，ω∈Ω和D∈D，存在T=T(τ，ω，D)>0，使得对任意t≥T有

Ψ(t，τ-t，θ-tω，D(τ-t，θ-tω))⊆K(τ，ω)

引理6假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，则非自治随机动力系统Ψ在Xρ上是D-拉回预紧的．

为了证明在Xρ上vτ(·，τ-tn，θ-τω，ψn)是预紧的，首先证明vτ(·，τ-tn，θ-τω，ψn)在Xρ上等度连续，由假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)以及引理1、引理3、引理4和(4)式可知，存在N1=N1(τ，ω)>0，使得对任意n>N1有

其中c=c(τ，ω)>0．因此对任意n>N1，s1，s2∈[-ρ，0]，且s1>s2，有

定理1假设(E1)，(E2)，(E3)，(E4)，(5)式和(6)式成立，则连续非自治随机动力系统Ψ在Xρ上存在D-拉回随机吸引子．

证由于引理5和引理6的结论满足文献[3]中D-拉回随机吸引子的存在性条件，所以连续非自治随机动力系统Ψ在Xρ上存在D-拉回随机吸引子．