广义Dickman方程的一些新结果

冯利文, 汪东树

(华侨大学 数学科学学院, 福建 泉州 362021)

考虑广义Dickman方程

(1)

的大时间动力学性态.其中,t≥t0,t0充分大；n为正整数；α为一个固定的常数，α≥1.

显然,当α=1且n=1时,方程(1)退化为经典的Dickman方程，即

(2)

在解析数论中，Dickman方程具有非常重要的应用.Dickman函数是一个特殊函数,常用于估计方程(2)给定范围内的平滑数的频率.

当n=1时,方程(1)退化为广义的Dickman方程,即

(3)

方程(3)包含经典的Dickman方程(2),因而方程(3)受到学术界的广泛关注[1-5].鉴于时滞微分方程解的渐近行为具有非常重要的理论和实际意义[6-12],Diblík[13]研究了方程(3)的主解、次主解及所有解的渐近行为等大时间动力学性态,得到定理A～C.

定理A对任意给定的常数k1>0与ε>0,如果不等式ε>αk1成立,则对充分大的t0,在区间[t0-1,∞)上存在方程(3)的一个正的主解x1(t)，满足

定理B对任意给定的常数M2>0,当t0充分大时,在区间[t0-1,∞)上存在方程(3)的一个正的次主解x2(t)，满足

考虑初值问题

x(t)=φ(t),t∈[t0-1,t0].

(4)

式(4)中：φ(t)是方程(1)的连续初值函数,方程(3)是方程(1)的特殊情形，因此，φ(t)也是方程(3)的连续初值函数.

定理C若x(t0,φ)(t)是方程(3)满足初值条件(4)的唯一解,则x(t0,φ)(t)满足

因为方程(3)是方程(1)的特殊情况，而定理 A～C是通过研究方程(3)得到的结果,因此，考虑将方程(3)上的定理 A～C的可行性推广到方程(1)上.

1 预备知识

考虑线性时滞微分方程

x′(t)=-C(t)x(t-τ(t)).

(5)

式(5)中:C(t)，τ(t)均为连续函数.

定义1[14]如果存在初值函数φ(t)使方程(5)在初值条件下存在一个最终正解(最终负解),那么,称方程(1)是非振荡的(振荡的).

方程(5)最终正解(t→∞)存在性问题的证明可参考文献[14-15]的著名积分准则.

引理1[13]若方程(5)在区间[t0-1,∞)上存在一个正解,则方程(5)在区间[t0-1,∞)存在两个正解xd(t)，xs(t),满足

(6)

使方程(5)在区间[t0-1,∞)上的任意解x=x(t)都可以被唯一地表示为

x(t)=kxd(t)+ο(xs(t)).

(7)

式(7)中：常数k依赖于x.

定义2[16]如果在区间[t0-1,∞)上，方程(5)的正解xs(t)，xd(t)满足方程(6),则称xd(t)为主解,xs(t)为次主解.

引理2[17]对任意t≥t0,φ∈Cr,(t+θ,φ(θ))∈Ω,Ω∶={(t,x)∶t≥t0-r,ρ(t)<φ(t)<δ(t)},θ∈[-r,0)，若当φ(0)=δ(t)时,有

(8)

成立,且当φ(0)=ρ(t)时,有

(9)

成立,则方程(5)在区间[t0-r,∞)上存在一个解x(t)满足

ρ(t)

.

(10)

(11)

成立.其中，t∈[t0-1,∞),t0是充分大的.

2 主要结果及证明

通过理论分析和过程推导,针对方程(1)可得定理1～3.

定理1对于任意给定的常数kd>0与ε>0,如果不等式

ε>αkd

(12)

成立,那么，对于充分大的t0,在区间[t0-1,∞)上存在方程(1)的一个正的主解xd(t),满足

(13)

首先，证明不等式(8)成立,考虑函数

当t0充分大时,需证明不等式

证毕.

根据注1,可得推论1.

推论1对任意给定的常数kd>0，ε>0,当t0充分大时,在区间[t0-1,∞)上存在方程(1)的一个正的主解xd(t),满足

定理2对于任意给定的常数Ms>0,当t0充分大时,则在区间[t0-1,∞)上存在方程(1)的正的次主解xs(t),满足

(14)

首先，证明不等式(8)成立,考虑函数

若对δ(t)求导，可得

(15)

当t→∞,式(15)右极限等于0,因此，当t0充分大时,存在区间[t0-1,∞)，使式(8)成立.

证毕.

定理3若x(t0,φ)(t)是方程(1)满足初值条件(4)的唯一解,则x(t0,φ)(t)满足

(16)

其中，

(17)

证明:由于[tαx(t)]′=αtα-1x(t)+tαx′(t)成立,代入式(1),可得

方程(1)的初值问题等价于

(18)

由引理1，3及方程式(5)，(18)可知,存在两个非负常数L1，L2，使

成立.其中，xd，xs分别为方程(1)的主解和次主解.

若取kd=Ms=1,则可根据定理1，2得到主解、次主解，分别满足

成立.此时，当t→∞时，上式右侧极限为0.

因此，可得

即式(8)成立.

证毕.

注2当n=1时,定理1～3退化为定理A～C.此外,定理1～3还包含n为其他正整数的情形,故定理1～3更加广泛.

由定理1，2可知：方程(1)中的主解和次主解都是正解,而方程(1)又是方程(5)的特殊形式,则根据定义1,可得方程(1)的任意解均为最终的正解,即方程(1)是非振荡的.

3 典型例题及一些开问题

例1针对定理1,取n=2,α=1,kd=1,ε=1,则方程(1)可化为

(19)

当t0充分大时,易得

在例1中,取ε=αkd,但方程(19)的近似解仍满足式(6),因此，定理1比定理A的应用更加广泛.

开问题1对于方程

定理1～3是否仍适用？

开问题2对于方程

定理1～3是否仍适用?其中,τ(t)是依赖于时间t的时滞函数.