浅谈数学问题在数学教学中的应用

杨丽丽

(江苏省扬州市高邮市临泽中学 225600)

一、设置开放性问题，培养学生的数学思维

传统的高中数学教育培养出来的学生的思维比较固化、单一.比如，用函数单调性判断大小、用向量坐标法计算线面角、用正余弦定理来计算三角形的面积等等.但对于导数证明这种开放性的问题，大部分学生就无从下手了.这就是日常学习活动不注重培养开放性思维的后果.数学老师仔细研究课本，提出一些开放性的问题，能够培养学生的开放性思维.

例如高中数学《等比数列》这一课的学习.老师先向学生们讲述等比数列的概念和定义，做好本节课基础知识的教学.随后，数学老师结合高考考点给出几道具体的题目，给学生们训练，让学生们内化本节课的基础知识.这时，学生们接触到了等比数列、通项公式、前n项和、首项、公比等数学概念.还接触了和等比数列有关的数学公式.老师提出一个问题，“现在，我们对等比数列已经比较了解了，请同学们想一想，我们如何判断一个数列是不是等比数列呢？”这就是一个开放性的问题，老师没有给出学生具体的数字和题干，学生不需要通过计算，算出唯一的正确答案，而是表达自己的思想.不同学生的思考角度不同，给出的答案也不相同.

生1：我们已经知道等比数列的定义:.如果题目给出了一个具体的数列，我们看它是否符合定义中的内容，如果符合，我们认为这是一个等比数列，如果不符合，我们认为这不是一个等比数列.

生2：我们还学习了等比数列的通项公式.如果我们能把一个数列整理为等比数列的通项公式的形式，可以看出公比和首项，那它肯定是一个等比数列.如果不能整理出这种特殊的形式，那它就不是一个等比数列.

生3：我觉得化简为通项公式的形式并不简单，可能会用到很多运算的技巧.如果题目中给出了前n项和，我们可以非常容易的算出通项公式，这样判断也会容易一些.

生4：如果题目中给出的是选择题或者是判断题，让我们来判断数列是不是等比数列.我们也可以采用反证法.如果我能够举出一个例子，说明它不是等比数列，那我就不用利用数学公式和数学定理证明了.这样的话也比较简单.

师：我现在来总结一下学生们的答案.有定义法、通项公式法、前n项和法以及反证法.今后我们遇到这样的题目，要学会多种方法并用.一种方法解决不了问题时，及时的使用另一种方法，不要给自己的解题过程增加困扰.

老师先设置开放性的问题，学生给出了开放性的回答，随后老师对学生的回答进行点评和总结.这也是在帮助学生梳理思维，创造思维培养的空间.

二、设置趣味性问题，激发学生的学习兴趣

当然，在实际教学中，有一些同学对数学问题不敏感.上课时有些老师会按照提出问题-分析问题-解决问题的过程来教授新知.下课时，同学们完成作业的过程也可以视为分析问题-解决问题的过程.所以，有些学生对数学问题并不“感冒”，没有兴趣解决数学问题.数学老师还应当设置一些趣味性的问题，激发学生的学习兴趣.

例如高中数学《椭圆》这一节的教学.这节课的重点和难点是让同学们理解并掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程.老师在导入新课时，提出了一个和椭圆有关的趣味问题.“同学们，你们了不了解开普勒第一定律.开普勒第一定律是这样说的：所有的行星都围绕着太阳运动.所有行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆.太阳处在所有椭圆的一个焦点上.而我们能不能在纸上画出这一定理呢？如何在纸上画出一个漂亮的椭圆呢？”想要画出椭圆，就得了解椭圆的定义.平面内与两个定点F1，F2的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.我们在画的时候怎么样才能够保证平面上的点到定点F1、F2的距离的和不变呢？老师又向学生们介绍了一种椭圆的画法.椭圆曲线可以用图钉(每个焦点上各钉一个图钉)、一段线和一支铅笔把它画出来.我们可以保证点到两个焦点的距离之和是一个常数.学生纷纷开始验证.学生的学习兴趣非常浓厚.随后，老师和学生一起开始了椭圆方程的推导.

数学老师在教学时先用物理上行星的运动引出椭圆的概念，让学生们对椭圆产生兴趣.接着，提出数学问题，让学生们从物理故事又回到数学课本上，了解椭圆的定义.老师并没有就此结束，而是穷追不舍，提出了一个动手操作的问题，再度的提升学生的兴趣.学生会认为椭圆的性质和定理都非常的奇妙，和原先学过的几何图形不太一样.这时，再进行数学公式的推导就会显得非常容易.其实，数学知识本身就是有趣的.只是在同学们看来，他的表现形式是无趣的.很多数学知识都是由枯燥、乏味的数学公式和数学定理展现的.学生们一直和这些数学字母、数学符号打交道.长此以往，学生就认为数学是枯燥无聊的.老师借助一些有趣的故事，有趣的问题能够让学生们挖掘出定理和公式背后的趣味.目前，数学教学越来越注重突出学生的主体地位，越来越以学生为中心，越来越满足学生的要求.所以，数学教学也要实现“乐学”的教学目标，让学生乐于学习，乐于思考，有进步，乐于成长.

三、设置启发性问题，活化学生的探究意识

有时，数学老师为了让课堂变得更加生动，会开设一些探究活动.但总有一些小插曲的出现.比如，学生不按老师的探究流程走、学生的思维和老师的思维有出入.启发性问题则能引导学生按部就班的完成老师的探究活动.老师可以设置一连串的启发性问题，活化学生的探究意识，在探究活动中不“迷路”.

例如高中数学《合情推理与演绎推理》这一节的教学.演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程.但是数学结论和证明过程的发现主要是靠合情推理.所以，学生们不仅要学会证明，也要学会猜想.本节课的重要教学目标是让学生们掌握合情推理与演绎推理的概念和内容，并且找到合情推理和演绎推理的区别和联系.在教学的初始，老师设置了一个和推理有关的探究活动.由于同学们对推理不太熟悉，所以老师和学生之间展开了较为激烈的互动.

师：在平面内，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.同学们认为这个结论是正确的吗？

生：这个结论当然是正确的啦，是我们原先学过的定理.

师：那如果把它类比到空间中，我们能够得到什么结论呢？

生：这该如何类比呢？

师：在平面中，我们经常研究线的问题.在空间里我们经常会研究什么问题呢？我们经常会研究面的问题.那我们就可以把这个结论中的线类比为空间中的面.请给出你的答案.

生：在空间里，若平面a⊥平面c，平面b⊥平面c，则平面a∥平面b.

师：请同学们拿出三张白纸.通过操作验证你的结论.

同学们将一张白纸放在桌面上，当作平面a.移动剩余两张白纸，更换平面b和平面c的位置，使其满足“平面a⊥平面c，平面b⊥平面c”的位置关系，最后得出平面a和平面b的之间的关系.

这时，同学们清晰的认识到推理的严密性和合理性.在推理中要找到前提和结论.缺少条件，我们没有办法推理出结论.当我们从常见的结论出发，推理出一个新的结论时，我们要判断它的正确性.因为这个新的结论没有经过验证，是单纯的由我们自身得来的.经过这个铺垫活动，学生们能更好的接受合情推理和演绎推理.老师能够更好的完成本节课的教学目标.其实，同学们在脑海中想一想，并不能够完成探究活动，还是要动手操作.动脑又动手.

问题本身就具有质疑因素.所以问题能够培养学生的质疑能力，让学生在数学课堂上更好的思考，完成课程学习活动.总而言之，问题在数学教学中的应用价值很大，值得老师仔细研究.老师应当探讨问题抛出的时机，设计并且选择合适的问题类型，运用并且展现问题的价值.