高等数学微积分教学中数学思想方法渗透策略

荆素风

(太原旅游职业学院，山西 太原 030032)

作为高等数学教学的核心内容，在微积分教学中，不仅要使学生熟练掌握基本知识与技能，深入了解基本的逻辑体系，更重要的是要使学生透彻理解相关数学思想方法。因为灵活掌握数学思想方法不仅可以帮助学生透彻理解现在所学的数学知识，也能够为未来的学习应用奠定良好的基础。因此，在教学实践中，数学教师应针对如何将思想方法有效渗透到微积分教学中，给予更深入、更新颖的探索与尝试。

一、数学思想方法

数学思想是分析、解决问题的基础，是认识和掌握数学概念、性质以及定理的关键，是数学的智慧、灵魂所在。数学方法是指解决数学问题的具体思路和手段。从自然科学、社会与科学技术等方面来讲，还可以广义地将数学方法理解为用数学语言对事物进行说明、推导、分析，以完成对相关问题的判断、解决。从这一层面来讲，数学本身就是一种方法。数学不仅具备一般科学的特征，还有能够呈现横向迁移的特点，在整个科学领域中的应用非常广泛。

二、微积分教学现状分析

在新时期背景下，随着高等教育事业改革的不断深入，步入高校的学生人数在不断增加，但同时学生学习能力与认知水平也呈现出较大的差异。而随着生源质量的不断下降，微积分考试成绩也出现了越来越严重的两极分化的情况，重修比例也不断提高。除了学生方面的原因，教师在开展微积分教学过程中，若教学思想方法没有针对性，就会影响学生的学习积极性，对教学效果产生直接影响。再加上微积分课程的难度较大，若不加强思想方法的渗透，帮助学生探索出更适合、高效的学习、解题方式，不仅会导致学生逐渐对微积分课程失去兴趣与信心，也会制约微积分教学水平的进一步提升。因此，为了提升教学质量，必须在微积分教学中重视科学有效的数学思想方法的渗透。

三、微积分教学中渗透数学思想方法的策略

(一)教师要深入分析教材

数学思想方法是数学家在探索数学真理的过程中总结出的精髓所在，但数学教材并非是对这一探索过程的真实记录。相反，教材因为太过于追求完美的演绎形式，经常会使其中的内在思想方法被掩盖，导致数学真理的发现过程被颠倒。因此，为使数学思想方法在微积分教学中实现有效渗透，一定要对教材内容进行全面、深入分析，将其中的内在思想方法全面提炼出来。在教材分析中，不仅要讲究逻辑性，还要涉及到历史分析。逻辑性着重强调的是不仅要做到对教材体系、脉络以及重点、难点内容的准确把握，还要结合知识、方法、思想这一顺序将知识中的方法挖掘出来，在方法中完成对思想的提炼。对教材的历史分析，简单来讲就是要基于对数学史的全面了解实现对数学思想方法的准确把握，只有这样才能够在日常教学中把握契机，进一步优化数学思想方法在知识点讲解中的渗透。

(二)渗透化归思想方法

在微积分教学中，化归思想的具体运用主要表现在把未知的问题转化为已知的问题并予以解决。在运用化归思想的过程中，要先做到准确把握化归对象，再进行化归目标或路径的确立与选择。新概念的形成、理解与掌握往往需要在旧知识的基础上实现，通过融入旧知识完成新理念的学习。在微积分教学中，化归思想运用的关键就是快速转化问题找到突破口，从而更高效地解决问题。例如，在讲解不定积分的换元法时，需要先分析被积表达式与积分变量的关系，如果不能直接用不定积分公式解决问题，就需要搭个桥转化到能用公式法解决问题，而换元法就是转化问题合适的方法。转化了这个问题，就可以在课堂上引导学生运用化归思想合理地解决这种求不定积分的问题。又如，在讲解复合函数求导时，先复习复合函数的分解，如果这个知识点能掌握好，复合函数求导的转化就非常简单了。其合理转化过程为：第一步是分解，第二步是对分解结果求导，第三步是将求导结果相乘。而链式求导则需要在此基础上进一步理解、融合、升华。再如，在定积分教学中，第二换元法是比较复杂的内容，一般先全面分析问题，对被积表达式与积分上限、下限都进行换元转化，将原始问题化归为一个新的问题，再根据情况选择公式法或凑微分法解决此问题。因此，利用转化和归结思维策略可以进行一系列化归过程，高效处理教学中的难点问题，促进微积分教学效果的显著提升。

(三)渗透极限思想方法

极限思想是微积分的基本思想，函数的连续性、导数、定积分等都是用极限来定义的，极限思想贯穿其始终。极限思想方法是分析解决微积分问题的必要工具。通过极限思想的有效运用，连续性、导数及定积分等知识内容都逐渐被引出。极限思想是通过对运动变化的深入研究分析与解决问题的。

以曲边梯形面积的求解为例，可以通过微积分中极限思想的有效引用，实现以直代曲，快速求出曲边梯形面积。在具体求解时，先将整个曲边梯形无限分割，以直代曲，用无限小矩形的面积之和取极限来解决问题。这一思想方法在微积分教学中的有效渗透，既有助于提升教学的有效性，高效解决原本复杂的问题，为之后的学习应用奠定良好基础，也能够更好地培养学生做事目标的明确性、思维的条理性、过程的规范性、方法的创新性等，以此提升学生的数学素养。

(四)渗透函数思想方法

函数思想是微积分学习中的一种重要方法，与辨证唯物主义观相符合，就是以运动变化的观点，利用变量之间的对应关系与函数知识分析解决问题。通过灵活运用函数思想分析解决微积分问题，往往可以取得非常显著的效果。

在微积分问题分析中，运用导函数能够将原本复杂化的微积分问题简单化。例如，求函数的极值点，可以先求出函数的分界点，然后将函数的定义域分为若干区间，再列表判断函数在各区间的单调性，最后得出单调性改变的点即为极值点。基于每个过程扎实的函数知识，根据单调性就可以脉络清晰地求出极值点。又如，拐点是函数凹凸性改变的点，求函数的拐点可通过判断函数的凹凸性得出，掌握函数的凹凸性是解决问题的关键。因此，把握并运用函数思想方法才能提升解决问题的准确性。

在拉格朗日中值定理的运用中，需要先进行适合函数的构建，说明在微积分研究中，函数是至关重要的内容。在微积分知识点的学习探究中，函数思想是不可忽视的基础。例如，在证明方程x+2x=2至少存在一个小于1的正根这一题目的解答中，就要先进行函数F(x)=x+2x-2的构造，在明确F(x)在[0，1]上连续，而且F(0)=-1<0，F(1)=1>0之后，根据零点定理，便可以明确在(0，1)内至少存在一个实数x，满足F(x)=0，即x+2x-2=0在(0，1)内至少存在一个实数根。

(五)渗透类比思想方法

类比思想就是根据不同对象之间的某种相似性的准确把握，通过比较分析类似问题，进而解决问题。在高等数学教学中，许多概念、性质、定理、公式都是在类比中获得的。在数学学习探究中，通过灵活运用类比思想方法，能够使解决相似问题简单化，以大幅度提升学习效率。例如，在无穷小量和无穷大量的教学中，用类比思想方法从定义、性质、特例以及关系等方面进行对比分析，就能清晰地把这一重点问题讲通透，使学生轻松掌握这一知识点。又如，对于六类基本初等函数的导数公式的记忆问题，一直是学生难以理解的问题，因此在推导出公式后进行类比分析，尤其是指数函数与对数函数对照类比，三角函数两两类比，就可以通过相似结构和局部不同进行记忆，帮助学生多思考、多记忆，达到在课堂就精准记忆公式的良好效果。通过类比思想的运用，可以使学生从概念到公式有更深刻的认识，提高学习积极性，促进学生对所学知识触类旁通，为之后的学习、应用以及综合学习能力的提升提供有力支持。

(六)全面渗透数学思想方法

不论是在微积分教学，还是其他数学课程的讲解中，数学思想方法的运用应坚持反复渗透、渐进发展，还有学生参与等原则。为了确保学生对相关数学思想方法的透彻理解与熟练掌握，为之后的高效学习、解决问题以及综合应用提供有力支持，教师在日常教学中要紧紧围绕授课内容，把握各种契机对学生进行有意识的引导，强化思想方法的渗透。例如，无限逼近的极限思想在极限定义中出现过，之后在导数定义、定积分等概念中再次出现，因此在实际授课中就要引导学生逐渐实现对无限逼近的极限思想方法的透彻理解，使学生对这一思想方法的精神实质有真正的领会，且能将其有效运用到其他领域中，为实现知识迁移奠定良好基础。

四、 结语

总之，在微积分教学中，除了要为学生传授新颖、丰富的理论知识，还要引导学生透彻理解、灵活掌握相关的数学思想方法，从而为之后更高效地掌握所学知识，分析、解答实际问题提供有力支持。在微积分教学中巧妙地渗透数学思想方法，有助于学生不断提升独立思考能力、合作探究能力以及数学思维与数学应用能力，为进一步提高数学素养奠定良好基础。