利用数学模型解决金融学问题

张梓杰 江苏省苏州市昆山震川高级中学

一、引言

数学是一切理科的基础，是一门十分重要的基础学科。数学理论的不断发展，也推动了其他学科的发展。以物理学为例，利用数学中的函数与导数知识，我们可以研究物理变量的变化趋势，探索自由落体的规律，研究电磁相互作用等。利用数学知识，我们还可以进行金融分析；利用函数，我们可以精确地描绘出各种金融量之间的关系，利用导数，我们可以研究金融变量随初始投入或时间推移的变化趋势。所以，运用数学模型解决金融与经济问题，可以更准确地研究金融与经济规律，促进金融产业的健康稳定发展。

二、数学模型

应用数学知识，通过数学模型的建立，可以为我们较为精确、客观地描述生产生活中的问题。研究生产生活中的变量之间的关系，并用具有数学含义的公式描述这种关系，就是建立数学模型的过程。在对数学模型求解的过程中，我们可以得到解决实际问题的方法。在遇到十分复杂的问题或者在解决不可量化的问题时，我们可能需要对问题的产生原因进行深入的分析，确定不同变量之间的关系，将不可量化的影响因素转变为数学模型中的参数，从而将复杂的问题简单化、直观地将问题表达出来。在利用数学模型求解的过程中，应当注意到现实问题的约束条件。比如，商品的产量和售价不可以是负数；在投资回报率为负数时，投资策略是不可行的[1]。利用数学模型，我们可以高效地解决许多领域中的复杂问题。因此，数学在生态学、金融学、医学等领域都有着十分广泛的应用。

三、数学模型在金融学中的实践应用

金融是一门快速发展的学科，在企业的存贷管理、投资决策、市场分析、战略制定中有着十分广泛的应用。利用数学模型，我们可以精确地分析在实践中遇到的金融学问题，帮助企业的经营者及管理者更好地解决遇到的存贷问题、投资管理问题，更高效地分析市场需求及对手战略，促进企业的发展。

（一）利用数学模型解决存贷问题

在解决存贷问题的过程中，我们需要用到指数函数的知识。实际上，指数函数在生物学、公共卫生、社会学、金融学等领域，都有着十分广泛的应用。在对生物的繁殖规律、细胞的生长分裂以及一些正反馈的研究中，我们都要用到指数函数。指数函数的一个重要特点是，它的变化快慢与原函数始终成正比。在描述生活中的类似现象时，都会用到指数函数。实际上，在金融投资中，尤其是分析存贷的过程中，指数函数发挥了极其重要的作用。在银行计算连续存款的利息时，我们需要用到指数函数。假设一个人有金额为A的闲置资金，想要存入银行，有两种存款方式可以选择。第一种存款方式为，定期1年，年利率10%，如果到期后继续买入，则以复利的方式计算利息。第二种存款方式为，定期8年，年利率12%，以单利的方式计算利息。在比较两种存款方式的过程中，我们可以发现，如果按照第一种方式存款，存款期限为n年，则n年后的本息和为T1(n)=A＊(1+10%)^n，如果按照第二种方式存款，则8年后的本息和为T2(n)=A＊(1+8＊12%)＊n，如果这个人打算将这笔存款存入银行8年时间，即n=8，按照第一种存款方式，T1(8)=2.14A；按照第二种存款方式，T2(8)=1.96A。可以发现，虽然第一种存款方式复利的利率较低，但是由于随着自变量的增加，指数函数的增幅逐渐变大，8年后，第一种存款复利的本息和较高。在存贷计算中，指数函数发挥着十分重要的作用。当存款年限较长时，复利带来的收益是十分惊人的[2]。

（二）利用数学模型解决边际分析问题

在边际分析中，导数有着非常广泛的应用。如果我们知道生产总成本与生产量的关系，就可以通过求生产成本对生产量的导数，得到每个产品的边际成本，这就是边际成本的求解；如果我们知道销售总收益与销售量的关系，就可以通过求销售总收益对销售量的导数，得到每个产品的边际收益，这就是边际收益的求解。在进行投资决策时，边际分析也是十分重要的。如果我们已经知道某个项目的投资收益与投资量之间的关系，就可以通过求投资收益对投资量的导数，从而得出单位投资增量带来的单位收益增量，分析投资的边际收益。边际收益的增长速度有三种情况。当边际收益递增时，在不断增大投资额的过程中，收益的增量逐渐变大，此时，投资者应在确保风险可控的情况下，适当增加投资，从而提升资金回报率。当边际收益不变时，在不断增大投资额的过程中，收益的增量保持不变，此时，投资者不应当盲目追加投资。这是因为，在增加投资的过程中，资金回报率不会上升，而投入的资金越多，投资者面临的风险越大[3]。当边际收益递减时，在不断增大投资额的过程中，收益的增量逐渐变小，此时，投资者需要控制投入资金的规模，并且在不影响系统稳定性的情况下，适当回撤一部分资金。下面，我们举例进行分析。

假设某投资者打算投资一个项目，当投入资金为x（百万元）时，投资回报率（百万元）R(x)=[-(x+0.1)^0.5-1/ (x+0.1)+10.32]/100，通过对这一函数的导数的分析，我们可以找出投资回报率随投入资金变化的关系。在求导的过程中，可以令t=x+0.1，从而简化计算过程。R(t)=(-t^0.5-1/t +10.32)/100，易得R’(t)=(-0.5/t^0.5+1/t^2)/100，由于t和x是线性关系，且t随x的增大而不断增大，我们可以通过求R(t)的驻点t0，得到R(x)的驻点。令R’(t)>0，t<1.59；令R’(t)<0，t>1.59；令R’(t)=0，t=1.59。我们不难发现，R(t)在t<1.59时是单调增的，R(t)在t>1.59时是单调减的，R(1.59)是R(t)的最大值。令t=x+0.1=1.59，可以求得x=1.49。也就是说，当x=1.49时，R(x)取得最大值0.084，当投入资金为149万元时，投资回报率最高，为8.4%。投资者可以根据计算结果，投入适当的资金，从而获得更丰厚的回报。

（三）利用数学模型解决需求价格弹性问题

在金融分析中，我们常常需要研究商品的需求规律，从而做出相应的决策。提高企业的收入。运用导数知识，我们可以描述商品的需求随价格变化的规律，并根据需求价格弹性，制定合适的销售策略。假设A商品的价格为p时，市场需求量为q，我们就可以根据商品的历史销售数据，得到需求函数q = q( p) ，如果需求函数可导，我们就可以求出商品的需求价格弹性Ep：Ep = p/ q( p)＊q＇( p)。需求弹性在经济及金融学研究中，有着十分重要的作用。它可以较为直观地反映表示某种商品需求量q 对价格p 变化的敏感程度。我们可以将Ep理解为需求量变化的百分比与价格变化的百分比之比。我们可以根据某一商品在某一价格处的需求价格弹性，制定合适的销售策略[4]。

当| Ep | < 1 时，如果企业采取降价策略，商品的需求量将发生较小的变化，总销售收入将下降。如果企业想要提高营收，则应在可接受的范围内提高价格。当| Ep | > 1时，如果企业采取降价策略，商品的需求量将发生较大的变化，总销售收入将上升。企业应当在保证销售价高于成本价的同时，适当降价，从而增加销售收入。当| Ep | 接近1 时，无论是涨价还是降价，由于需求将发生等比例反向变化，商品的总销售收入将不会发生大的变化。因此，企业可能需要采取其他措施，提高总利润。因此在市场经济中，企业的经营者应该充分利用导数，分析所经营的商品的需求价格弹性，正确把握市场动向，及时根据趋势调整商品的价格，从而增加企业利润[5]。

（四）利用数学模型解决市场分析问题

在制定市场战略的过程中，企业常常需要对市场情况进行分析，在这个过程中，我们可能需要用到导数及博弈论的知识[6]。假设在垄断市场上，有两家企业A和B。这两家企业生产同一种商品，且A企业和B企业的生产成本均为300元/件，且生产成本在未来一段时间内不会发生变化。这两家企业的经营者面临着一个相似的问题：如何制定市场战略，才能提高销量，获得更多的利润？在此，我们假设两家企业都是理性的，且它们在制定生产及销售计划时不考虑对手的计划。它们面对的需求曲线为q=600-p。由于以上两家企业几乎完全相同，我们可以考虑其中一家企业的决策，从而推断另一家企业的决策。设企业A的售出x件商品，总利润为RA，企业B售出y件商品，总利润为RB。那么RA(x)=(600-x-y)x-300x=-x^2-xy+300x, RA’(x)=-2x-y+300，由导数知识，当y不变时，RA(x)随x的增大先变大后变小，当RA’(x)=0时，RA取最大值 。令RA’(x)=0，x=(300-y)/2。类似地，企业B应选择y=(300-x)/2，联立这两个方程并求解，我们可以得到，x=y=100，RA(x)=10000，RB(y)=10000，也就是说，当两家企业处于竞争状态时，他们都将以100件为销售目标。在销售100件时，A企业和B企业的总利润相同，为10000元。

四、结语

利用函数与导数构建数学模型，我们可以高效地分析许多经典的金融学与经济学问题。在求解数学模型的过程中，要注意利用换元法，将较复杂的部分当做一个整体，从而简化函数及其导数，更清晰地显示函数的变化规律。当遇到包含多个变量，且变量之间存在较为复杂的关系的时候，可以借助信息技术，建立较为复杂的数学模型，并将模型可视化，从而高效地解决需要分析的问题。