阶估计法在判断瑕积分审敛法中的应用

张祖叙，孙荣璞，尹凯倩

(山东科技大学数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

通过对微积分的学习，可以利用比较原则、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等[1]来判断瑕积分的敛散性。从判别法的不同角度对阶估计法进行研究，得到审敛性的定理。已有研究者对判别法进行过细致而全面的研究，如齐紫微[2]等学者给出的基于阶估计法的无穷广义积分审敛性定理。我们通过阶估计法推导了判断瑕积分敛散性的判别法，并通过比较判别法进行证明并附以实例，验证了审敛法的有效性和实用性。

1 基于阶估计法的瑕积分审敛性判别法

定理1.设f(x)是定义在区间(a,b]上的非负可积函数，且满足：

易见瑕积分收敛，由比较判别法，瑕积分同样收敛。

②当p≥1时，经过计算可知：

小结：在微积分学中只讨论了分式的奇点为0的判别法，而定理1给出了分式的起点不为0的一般情况。

定理2.设f(x),g(x)是定义在区间(a,b]上的非负函数，则：

证明：

小结：与定理1提出的思路相一致，根据由特殊到一般的数学思想，对微积分学中的原有积分进行了简单推广。

定理3.设f(x)是定义在区间[a,b)上的非负可积函数，则：

证明：

①0

②p≥1时：

结合①②两点，得到了定理3的证明。

小结：定理3对应于微积分学中广义积分的阶判别法，将广义积分调整为积分区间为半闭半开区间的瑕积分。

定理4.设f(x)是定义在区间(a,b)上的非负可积函数(a和b都是瑕点)，且对于∀p∈(0,1)及c∈(a,b)，满足：

证明：

小结：与定理3相比较，发现积分区间两端均为瑕点。在证明该定理的过程中，对给定的积分区间进行分段，从而归结为定理3的结果。

2 定理应用

又因为tanx～x(x→0),ex-1～x(x→0)，所以有：

解：

3 结语

根据瑕积分阶估计法，推广了微积分学中分式奇点为0的一般情况，并提高了阶估计法的适用范围，通过实例的引入，验证了审敛法的有效性和实用性。