面向OFDM无线中继系统的功率分配算法

林静然, 陈 英, 杨金泰, 张 伟,2, 杨 健, 江志浩

(1. 电子科技大学信息与通信工程学院, 四川 成都 611731;2. 电子信息控制重点实验室, 四川 成都 610036; 3. 北方电子设备研究所, 北京 100191;4. 海军研究院, 北京 100089)

0 引 言

作为现代无线通信的关键技术之一,中继技术已经广泛应用于各类无线通信系统，其通过“放大-转发”“解码-转发”等方式有效扩展信号覆盖范围、提升系统容量[1]。另一方面,中继技术在提升通信质量的同时,也给通信系统的管理和优化带来了挑战。例如,中继节点在转发信息时必然引入新的能耗,从而增大了整个通信系统的能量开销。在这种情况下,如何合理分配源节点和中继节点的传输功率,以最小的能耗代价满足用户服务质量(quality of service,QoS)要求,成为中继通信系统高效管理的一个重要问题[2-4]。

迄今为止,很多论文研究了无线中继系统的功率分配问题[4-8]。按照中继策略的不同,这些研究可以分为基于“放大-转发”中继策略的功率分配问题[4-6]和基于“解码-转发”中继策略的功率分配问题[7-8]。其中,“放大-转发”又称为非再生转发,中继只需要将收到的信息放大后转发出去即可;“解码-转发”则对接收信息进行解码,再编码转发出去。二者相比,“放大-转发”更加简单,但转发信号时也传播了噪声,而“解码-转发”不传播噪声,但信号解码处理复杂度高,同时受“源-中继”信道传输特性的影响较大[9-10]。本文主要考虑“放大-转发”策略。事实上,由于具有复杂度低、信号处理延迟短等优点,“放大-转发”在实际中被大量采用,对应的功率分配问题也获得了更广泛的关注。例如,文献[5-6]研究了单天线“放大-转发”中继系统的功率分配问题。文献[11-12]进一步研究了多天线中继系统的功率分配问题。文献[13-14]则研究了多用户/多中继协作通信场景下的功率分配问题。

尽管在功率分配问题的建模方式和求解算法等方面存在差异,上述研究工作大多忽略了源节点和目标节点间的直达链路。近年来的研究表明,中继系统中的直达链路虽然传输条件不佳,但对其合理地利用仍然能够有效提升系统的通信性能[15]。特别地,利用直达链路,源节点还可以在中继传输的两个阶段都发送信息,从而进一步提升系统容量[16-17]。当然,这样的性能提升必然是以增大系统能耗为代价的,因此通过优化中继系统功率分配来实现通信性能和能耗的平衡就变得更加必要和急迫。

此外,早期对中继系统的研究大多考虑简单的通信体制和协议。随着通信技术的飞速发展,中继也被广泛应用于各种复杂的通信系统,如长期演进通信系统[18]、毫微微蜂窝系统[3]、设备直连通信系统[19]、正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)通信系统[20]、电力线载波通信系统[21]等。中继技术与这些新通信体制的结合,能够进一步扩展通信范围和提高通信质量,但也使通信过程的管理和通信资源(如功率等)的分配更加复杂。

在上述工作的基础上,本文研究主要针对OFDM无线中继系统的功率分配问题。具体而言,考虑一个包含3个单天线节点(源节点、中继节点和目标节点)的OFDM通信系统。整个信息传输过程分为两个阶段。第一阶段,源节点向中继节点和目标节点传送信号;第二阶段,中继节点将从源节点接收到的信号放大后转发给目标节点,同时源节点再一次向目标节点发送同样的信号。本文通过联合优化源节点和中继节点在各个子载波上的传输功率,让系统以最小功耗代价满足用户QoS要求。需要说明的是,尽管文献[16]也考虑了两阶段中继的功率分配问题,但仅考虑了单载波系统。本文则考虑更加先进、更加复杂的多载波OFDM系统中的两阶段中继功率分配问题。这是一个复杂的多变量耦合非凸优化问题,难以获得全局最优解。文献[21]也对该问题进行了研究,并通过近似的方式设计求解算法,但由于其近似的方法较为粗略,使得功率分配的性能受到影响。与上述研究不同,本文首先利用拉格朗日松弛(Lagrangian relaxation,LR)法[22]将用户QoS限制条件吸收到优化目标上,对不同子载波间的功率变量进行解耦。然后,再利用块连续(紧)上界最小化(block successive upper-bound minimization,BSUM)方法[23]交替优化各个功率变量,最终获得原问题的高质量次优解。仿真结果表明,在相同信道条件和QoS要求下,相较于现有的OFDM中继系统功率分配方法,所提算法能够有效降低OFDM中继系统的总体功耗。

1 系统模型和问题描述

考虑如图1所示的OFDM无线中继系统,其包含3个节点:源节点、中继节点以及目标节点。系统在M个正交子载波上传输信息,在第m个子载波上的3类传输链路分别表示为:源节点与中继节点间的传输链路g1,m,源节点至目标节点间的直达链路g2,m,以及中继节点与目标节点间的传输链路g3,m,m=1, 2, …,M。在系统中,待传输的信息被编码成M个独立复数符号sm～CN(0,1),并分配给M个子载波传输。信息传输过程通过如下两个阶段完成。

图1 OFDM中继通信系统模型Fig.1 Model of OFDM relay communication system

第一阶段,源节点在第m个子载波上,以功率p1,m传输符号sm,中继节点和目标节点的接收信号分别表示为

(1)

(2)

第二阶段,源节点再次以功率p2,m传输符号sm。与此同时,中继节点放大并转发第一阶段的接收信号y1,m,放大系数为amexp(jθm)。这里的am与θm分别为幅度和相位转发系数。假设中继节点在第m个子载波上的传输功率为p3,m,则am与θm的取值为

(3)

θm=∠g2,m-∠g1,m-∠g3,m

(4)

式中,∠(·)为取角度信息的运算符;幅度am的取值确保中继节点的传输功率为p3,m;相位θm的取值则确保从源节点和中继节点发出的信号到达目标节点时能相位一致(这里忽略了中继进行放大转发的处理时间)。最终,第二阶段目标节点的接收数据为

(5)

基于上述通信过程,目标节点在第m个子载波上的第一和第二阶段传输信噪比(signal to noise ratio, SNR),分别表示为SNR1,m和SNR2,m,可按下式计算：

SNR1,m=p1,mκ2,m

(6)

(7)

式中，

(8)

定义p=[p1,m,p2,m,p3,m](m=1, 2, …,M)为包含所有传输功率的功率向量,基于式(6)和式(7),源节点到目标节点的数据链路容量计算如下:

(9)

式中,系数1/2表示中继系统工作在半双工模式。

本文联合优化源节点和目标节点在各个子载波上的发射功率,使系统以最小能耗满足用户QoS要求,对应的优化问题建模如下:

s.t.C(p)≥γ,

p1,m≥0,p2,m≥0,p3,m≥0,∀m

(10)

式中,pT表示系统传输总功耗;γ表示用户QoS要求,即在M个子载波上能实现的最小信道容量。

求解式(10)并不容易。首先,在用户QoS限制条件中,所有子载波上的功率变量耦合在一起,当载波数较多时,式(10)描述的功率分配问题是一个高维优化问题,求解计算复杂度高。其次,优化问题中的QoS限制条件C(p)≥γ非凸,想要获得功率分配的全局最优解十分困难。基于上述考虑,本文设计低复杂度优化算法以获取式(10)的高质量次优解。

2 低复杂度功率分配算法

针对式(10)求解过程中的多变量耦合与非凸性两个难点,本文首先利用LR算法将用户QoS限制条件吸收到目标函数中,从而完成对不同子载波间功率变量的解耦,将高维优化问题分解成M个低维优化问题,并进行迭代求解。然后,在每次迭代过程中,利用BSUM算法对非凸目标函数进行连续凸近似,在此基础上交替优化各个功率变量,最终收敛到原问题的高质量次优解。

2.1 LR算法

对多变量耦合的用户QoS限制条件引入拉格朗日变量λ≥0,则式(10)的拉格朗日函数[22]定义为

L(p,λ)=pT-λ[C(p)-γ]

(11)

那么,进行LR后的优化问题变为

(12)

令p(λ)为式(12)的最优解。事实上,式(10)的最优解是式(12)的一个可行解,即d(λ)是原问题最优值的下界。因此,为了获得尽量“紧”的下界,需要进一步优化λ,找到最大的d(λ),即原问题的对偶问题

(13)

考虑到d(λ)是λ的凹函数,且C[p(λ)]-γ是d(λ)的梯度,可以用二分法来搜索最优的λ,具体步骤如算法1所示,其中ε>0为设定的收敛条件。

算法 1 LR求解算法步骤 1 初始化λ搜索的上界λu和下届λl;步骤 2 repeat步骤 3 λ←(λu+λl)/2;步骤 4 求解问题,获得p(λ);步骤 5 if C[p(λ)]<γ, λl ← λ;步骤 6 else,λu ← λ;步骤 7 until λu-λl<ε。

算法1的主要步骤是求解式(12)。LR法将QoS限制条件吸收到目标函数中,实现不同子载波间功率变量解耦,使式(12)可以分解为M个相互独立的功率分配问题,从而大大降低了问题的维度。需要说明的是,每个子载波上的低维功率分配问题依然非凸,求解困难。下面将利用BSUM方法对各个功率变量进行交替优化,获得式(12)的静态解。

2.2 BSUM求解算法

在式(12)中,第m个子载波上的功率分配子问题表示为

(14)

这仍然是一个复杂非凸问题。一种方法是采用交替优化思想,在迭代过程中逐次优化p1,m、p2,m以及p3,m,以减少直接求解问题的难度——即块坐标下降(block coordinate descent, BCD)方法。但是,BCD方法不能直接用于求解式(14),因为其要求每一个变量对应的子问题必须是凸问题,或者是拟凸问题,以确保迭代过程能够收敛[24]。显然,式(14)并不满足这一要求。为此,本文进一步利用BSUM思想设计式(14)的交替优化求解算法,在降低求解复杂度的同时确保算法收敛到式(14)的一个静态解。

(15)

(16)

β=1+p1,mκ1,m+p3,mκ3,m

(17)

(18)

则可以利用如下不等式:

(19)

得到SNR2,m的紧下界,代入式(14)的目标函数可得

(20)

式中,

pm=[p1,m,p2,m,p3,m]

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

在此基础上定义：

(26)

基于BSUM框架,可以通过交替优化p1,m、p2,m和p3,m来求解式(14),最终获得式(12)的BSUM求解算法,即算法2。

算法 2 BSUM求解算法步骤 1 初始化[p^1,m,p^2,m,p^3,m], m=1,2,…,M步骤 2 for m=1, 2, …, M步骤 3 repeat步骤 4 更新p1,mp1,m=argminp1,m≥0B(p1,m,p^2,m,p^3,m;p^m)p^1,m←p1,m步骤 5 更新p2,mp2,m=argminp2,m≥0B(p^1,m,p2,m,p^3,m;p^m)p^2,m←p2,m步骤 6 更新p3,mp3,m=argminp3,m≥0B(p^1,m,p^2,m,p3,m;p^m)p^3,m←p3,m步骤 7 until 迭代过程收敛步骤 8 end for

下面具体说明3个子问题的求解过程。

2.2.1 更新p1,m

更新p1,m的子问题(即算法2的步骤4)描述如下：

(27)

首先,证明式(27)是严格凸问题,具有唯一最优解。目标函数的具体形式为

(28)

将式(28)右边第2项改写为

f(p1,m)=h(r(p1,m))

(29)

式中,

h(·)=log2(·)

(30)

(31)

对f(p1,m)进行二阶求导[22],得到

f″(p1,m)=h″(r(p1,m))r′(p1,m)2+h′(r(p1,m))r″(p1,m)

(32)

在式(27)的可行集内必然有r(p1,m)>0,同时结合式(23)和式(24)有ym>0、zm>0以及wm>0,于是可得

(33)

从而得出结论：

f″(p1,m)<0

(34)

下面介绍如何找到式(27)的唯一最优解。第一步是确定最优解的范围,即在p1,m≥ 0时使r(p1,m)>0的p1,m的区间。对r(p1,m)一阶求导可得

(35)

显然,r′(p1,m)单调递减,且

(36)

在xm≥0的情况,此时r(p1,m)在p1,m≥0的范围里单调递增,且r(+∞) →+∞。

(37)

(38)

(39)

单调递增。进而,在式(27)的可行集内,有

(40)

接下来讨论xm<0的情况,此时r(p1,m)在p1,m≥0的范围内先增后减,且r(+∞) →-∞。

算法 3 利用二分法更新p1,m步骤 1 初始化二分法搜索的上下边界pl1,m,pu1,m;步骤 2 repeat步骤 3 p1,m←(pl1,m+pu1,m)/2步骤 4 if∂B(p1,m,p^2,m,p^3,m;p^m)∂p1,m>0, pu1,m←p1,m步骤 5 else, pl1,m←p1,m步骤 6 until pu1,m-pl1,m<ε

2.2.2 更新p2,m

更新p2,m的子问题(即算法2的步骤5)描述如下：

(41)

式中,

(42)

(43)

显然,在p2,m≥0时,s(p2,m)单调递增,且

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

式中,

(51)

(52)

从而解得

(53)

2.2.3 更新p3,m

更新p3,m的子问题(即算法2的步骤6)描述如下：

(54)

式中,

(55)

同理可证,式(54)也为严格凸问题,具有唯一最优解。定义

(56)

其一阶导数为

(57)

显然,t′(p3,m)单调递减，且

(58)

由式(25)可知um<0,则t(p3,m)在p3,m≥0的范围内先增后减,且t(+∞) →-∞。那么在p3,m≥0的范围内,使t(p3,m)>0的区间有如下两种情况。

(59)

式中,

(60)

此时,该方程有一正一负两个实根,取正实根后最终可得

(61)

(62)

(63)

2.2.4 算法复杂度及收敛性

算法2的步骤4～步骤6中的3个子问题都只有一个变量,求解复杂度很低,单次迭代的复杂度仅为O(1)。

关于算法2的收敛性,有如下结论。

定理 1算法2迭代过程中产生的每一个极限点都是式(12)的一个静态解。

证明在算法2交替更新p1,m、p2,m和p3,m的各个子问题都满足文献[23]里引理2中的4个条件,因此算法2能够收敛到式(12)的静态解。

证毕

将算法2嵌入到算法1的步骤4中,就获得了求解式(10)的最终算法,本文将其命名为LR-BSUM算法。需要说明的是,由于算法2只能获得式(12)的静态解,根据算法2的结果来判断λ的调整方向不一定准确。因此,LR-BSUM是一种启发式LR算法。尽管没有全局最优保证,后续仿真结果依然表明,在相同信道条件和QoS要求下,LR-BSUM算法能够有效降低系统总体功耗。

3 计算机仿真

简单起见,假设源节点与中继节点、中继节点与目标节点之间的距离均为1 km,且“源节点-中继节点”“中继节点-目标节点”连线的夹角在90°～270°呈随机分布。仿真采用瑞利信道模型,即信道增益服从分布CN(0,ζ2),方差满足ζ2=(200/dis)3.7。其中,dis表示发射端和接收端之间的距离,S表示阴影效应参数,满足分布10lgS～N(0,64)。系统子载波个数设定为M=32。每个子载波上的噪声功率为-132 dBm。

首先,图2展示了LR-BSUM算法在不同QoS要求下的典型收敛曲线。仿真过程中，收敛阈值设置为ε=10-5,以信道容量描述的用户QoS要求(即γ的值)从32 bit/s/Hz变化到80 bit/s/Hz。总体而言,QoS要求越高,系统消耗的功率越多。同时,图2中结果表明,LR-BSUM算法一般经历5次迭代就能收敛,且主要性能的提升在前3次迭代就能实现。因此,LR-BSUM算法经过少量的迭代次数就可以收敛,是一种高效的功率分配算法。

图2 LR-BSUM算法的典型收敛曲线(M=32)Fig.2 Typical convergence curves of LR-BSUM algorithm (M=32)

接下来,针对不同的通信场景,将LR-BSUM算法和以下相关算法进行比较。

(1) 文献[21]的交替更新算法。文献[21]考虑了和本文类似的多载波中继通信系统功率分配问题,在设计算法时忽略了SNR2,m分子中的交叉项,参考式(7),在此基础上对各功率变量进行交替更新。

(2) 在中继传输中忽略“源节点-目标节点”直达链路的方法,即认为g2,m=0,因此在两个阶段的传输中,目标节点不利用从源节点直接发来的信号。

(3) 在中继传输中利用“源节点-目标节点”直达链路,但源节点只在第一阶段发送信号,在第二阶段不再重复传输。

图3所示为在不同用户QoS限制条件下,上述4种算法所需的传输功率比较。图3中的结果首先表明,在中继传输中利用直达链路可以有效提升传输性能，与忽略直达链路的方法相比,3种利用直达链路的方法都能降低系统总功耗。其次,在这些利用直达链路的方法中,两种在中继传输两个阶段源节点都传输信息的方案更有助于降低能耗。特别地,与文献[21]中忽略SNR2,m分子中的交叉项的算法相比,本文的LR-BSUM方法通过设计原问题目标函数的紧上界函数对其进行更精确的近似,因而具有更好的性能。最后,在系统总速率一定的情况下,增加子载波数量(等效为增大传输带宽),能有效降低系统功耗。

图3 不同QoS限制条件下的算法性能比较Fig.3 Performance comparison of algorithms under different QoS constraints

在图4中,固定QoS要求为γ=50 bit/s/Hz,改变系统中子载波个数M,对4种算法的性能进行比较。总体而言,系统总功耗随着子载波数增大而降低,其代价是系统占用了更多的频谱资源。特别地,当M≤40时,增加子载波个数能显著降低系统总功耗;当M超过该门限后,系统总功耗随子载波个数增加而下降的趋势明显变缓。图4中的结果表明,本文提出的LR-BSUM功率分配算法在各种M值下性能都优于其他3种算法。

图4 不同子载波数时的算法性能比较(γ=50 bit/s/Hz)Fig.4 Performance comparison of algorithms with different number of subcarriers (γ=50 bit/s/Hz)

在图5中,固定M=32和γ=64 bit/s/Hz,改变源/目标节点与中继节点之间的距离,对4种算法的性能进行比较。随着源/目标节点与中继节点之间的距离增大,信道增益减小,要达到相同的QoS要求,必然增大各个阶段的传输功率。与前面的仿真结果一致,本文提出的LR-BSUM功率分配算法充分利用了直达链路,其性能优于忽略直达链路的方法,以及利用直达链路但源节点只在第一阶段传输的方法。同时,由于利用目标函数的紧上界对其进行了更精确的近似,LR-BSUM算法的性能也优于文献[21]中的交替优化算法。

图5 源/目标节点与中继节点不同距离下的算法 性能比较(M=32,γ=64 bit/s/Hz)Fig.5 Performance comparison between source/target node and relay node in different distances (M=32,γ=64 bit/s/Hz)

4 结 论

本文研究了OFDM无线中继系统中的功率分配问题,通过联合优化各个子载波上源节点和目标节点的传输功率,使得系统以最小功耗代价满足用户QoS要求。特别地,中继系统在传输过程中,利用了源节点与目标节点间的直达链路,并且在中继传输的两个阶段源节点都发送相同的信息。由于充分利用了直达链路,该方案具备有效降低系统总功耗的潜能,但同时也导致对应的功率分配问题是一个复杂的多变量耦合非凸优化问题,求解十分困难。为此,本文利用LR方法和BSUM方法设计了低复杂度的功率分配算法。该算法对原问题进行解耦,在此基础上交替优化各个功率变量,最终获得原问题的高质量次优解。仿真结果表明,与相关算法相比,本文提出的算法能够有效降低OFDM中继系统的总体功耗。