微分对策方法在多家企业定产量中的应用

徐龙华，崔炜荣

(1.安康学院数学与统计学院， 陕西 安康 725000；2.安康学院数学与应用数学研究所， 陕西安康 725000；3.陕南生态经济研究中心， 陕西 安康 725000；4.安康学院电子与信息工程学院，陕西安康 725000)

企业生产一种产品的产量需要考虑其他企业的情况[1-2]，在某时段中的产品价格决定于每个企业的产出水平.在相关联的多个企业[3-4]的情形中，每个企业都非独立，要么共同影响一个状态变量，要么被定义为一个微分对策模型.对于一个由多家生产相同产品的企业所组成的行业中，每家企业都面临一个重要决策，即应生产多少产品才能使利润最大化.如果两家企业同时做出定产量的决策[5-6]].那么，每家企业为使自己的决策[7]合理，就都必须对另一家企业的产量进行预测估计.每家企业通过预测制定产品产量使企业的利润[8-9]达到最大.本文通过一个预测均衡，假设每家企业对另一家企业的产量的预测得到证实. 纳什均衡给出了每家企业在另一家企业的产量给定的情况下使企业的利润达到最大化.1951 年John Nash 讨论了静态的情形，即每家企业都把另一家企业的产量视为固定，然后确定企业的产量水平. 实际情况是每一家企业的产量是不确定的[11].Fershtman[11-12]和Kamien[11-12]利用开环控制策略和反馈控制策略[12]进一步分析了两家企业定产量的微分对策模型.

文献[13 -18]给出了微分对策模型在各各方面中的应用.本文利用微分对策模型，分析讨论了多家企业的定产量，给出在开环控制策略和反馈控制策略情况下企业的定产量问题.

1 两家企业定产量模型

假定两企业生产同一产品，制造费用由总消费函数决定:

其中ui(t) 表示第i个企业在t时刻的产量，每个企业在时刻t提供该产品产量给市场，同一产品的价格为p(t) 对t的微分方程为:

开环均衡策略为:

得到产品制造价格为:

假设两企业均参与一个静态，其中需求函数为:

反馈策略是指决策者具有反馈信息结构的策略.在N 人动态对策过程中，如果决策者具有反馈信息结构，则其所采取的策略称为反馈策略.反馈策略形式形下:为了寻求反馈策略ui(t，p(t)) ，定义每个企业的价值函数:

静态反馈均衡价格为:

2 多家企业定产量的模型

第1 部分讨论了两个企业生产同一产品下的定产量，但在现实情况下， 对于生产同一种产品一般有多个企业. 假设有n家企业生产同一产品，制造费用由总消费函数决定为:

其中ui(t) 表示第i个企业在t时刻的产量，每个企业在时刻t提供该产品产量给市场，同一产品的价格为p(t) .在时刻t的产量为的微分方程为

利润率r为常数，式(12)中，当s→∞时，每个企业面临递减线性需求函数为:

假设调整速度是迅速的，企业将卷入恶性竞争中.在价格调整有所延滞时，在任何时间段，每个企业将面临一个水平需求函数.对于开环均衡，定义当前产量哈密顿函数:

由式(15)、(16)、(17)得:

开环纳什均衡策略为u'(t)＝p'(t)＝0 ，得到产量制造价格

对于价格p*， 假设多家企业均参与一个静态，其中需求函数为这时每个企业生产的产品均衡量为且均衡价格为如果每个企业生产均衡价格为则开环均衡价格为:

开环策略下均衡策略已经分析，下面分析反馈策略情况.为了寻求反馈策略ui(t，p(t))，i ＝1，2，…，n，定义每个企业的价值函数为:

ui(p)＝i ＝1，2，···，n.在式(20)中，对ui(p)＞0 ，当a ＞p0时，解系统微分方程将得到:

为了使式(21)中的价值函数为式(20)中的解，Ei，Ki和衡量g均为正值，将式(22)代入式(20)得:

Ei为Ki和 c 的函数，gi为E1，E2的函数.令

K1＝K2＝…＝Kn，则E1＝E2＝…＝En，

g1＝g2＝…＝gn，且最优反馈策略为:

仅有最小根时，p(t) 才收敛.令有:

式(28)给出均衡反馈策略:

得到静态反馈均衡价格为:

是在反馈策略下，静态局部均衡分析出发求出，使边际效用论同生产费用论相结合，说明商品价值决定于供给价格和需求价格均等之点.

当s→ ∞时，式(29)中价格迅速调整，令

r为在反馈策略下，多家企业均衡下的利润，r与企业家数n有关.当在反馈情况下，静态反馈均衡价格收敛于一个较低的价格，因为企业利用反馈策略能产生多于开环策略所得的产量.

3 结束语

通过分析多家企业定产量微分对策模型，开环策略的情况下，均衡价格收敛于静态垄断市场价格，在反馈策略情况下，它收敛于一个较低的价格.因为企业利用反馈策略能产生多于开环策略所得的产量.当s→∞时，β所以当产品价格增加时，使每个企业增加其产量，这意味着当企业增加产量时，自然会导致价格下降，进而导致企业减少产品的产量，这趋向于部分抵消产品价格的下降.所以，第一个企业有足够的动机扩展它的产量，当部分的价格下降并被其他企业的行为所抵消.由于多家企业均知对方的行为，所以每个企业均各自扩展企业的产量，使其高于产品产量的平均水平.