空间上的AW(k)型Salkowski曲线

王杰

【摘要】在Galilean空间中研究了AW（k）型Salkowski曲线和AW（k）型antiSalkowski曲线，讨论了Galilean空间中的AW（k）型曲线存在的条件.根据anti-Salkowski曲线的定义，得出在Galilean空间中不存在AW（1）型antiSalkowski曲线的结论.同时，在Galilean空间中，对weak AW（k）型Salkowski曲线和weak AW（k）型antiSalkowski曲線的存在条件也进行了讨论.

【关键词】Galilean空间;Salkowski曲线;AW（k）型曲线

一、引言

在文献[1]中，Arslan和West给出了AW（k）型曲线和子流形的定义，此后，关于AW（k）型子流形的研究越来越多.在文献[2]中，作者研究了AW（k）型曲线和曲面.在文献[3]中，作者在多维欧氏空间中讨论了AW（k）型曲线并给出了这类曲线的一些性质和特征.在文献[4，5，6，7，8]中，作者对AW（k）型曲线在Minkowski空间中的情况进行了研究和讨论.

欧氏空间中，曲线和曲面的研究历史源远流长.但是，除去欧氏几何的研究方法，数学家们还通过各种方式引入了新型的几何方法并使其发展，其中一种方式就是射影方法.Galilean空间由此而来.Galilean空间是带有绝对形的三维实仿射空间，在文献[9，10，11]中，作者对此空间进行了大量的研究，并将曲线和曲面引入此空间.

1909年，Salkowski在文献[12]中第一次引入了Salkowski曲线（κ为常数）和anti-Salkowski曲线（τ为常数）.在文献[13]中，作者在三维欧氏空间中研究了Salkowski型Manheim曲线.在文献[14]中，作者讨论了主法向量和固定直线所成常角的Salkowski曲线.在其他的空间中，Salkowski曲线也被广泛研究.

本文主要研究了Galilean空间上的AW（k）型Salkowski曲线，在第二部分，给出了Galilean空间和AW（k）型曲线的一些基础概念.在第三、四部分，对AW（k）型Salkowski曲线和AW（k）型anti-Salkowski曲线进行了讨论.

二、预备知识

Galilean空间是带有绝对形（ω，f，I）的三维仿射空间，其中，ω是绝对平面（理想平面），f是ω上的绝对直线，I是f上的固定椭圆对合.在Galilean空间中引入齐次坐标，绝对平面的坐标定义为x0=0，绝对直线的坐标定义为x0=x1=0，椭圆对合为（xx0∶x1∶x2∶x3）=（1∶x∶y∶z）;设Pi（xi，yi，zi）（i=1，2）是Galilean空间上的任意两点，则距离定义为：

d（p1，p2）=|x2-x1|，x1≠x2，

（y2-y1）2+（z2-z1）2，x1=x2.

设X→=（a1，a2，a3）和Y→=（b1，b2，b3）是Galilean空间上任意两个向量，其内积定义为：

〈X→，Y→〉G=a1b1，a1≠0或b1≠0，

a2b2+a3b3，a1=b1=0.

Galilean空间中的Cr（r≥3）类容许曲线α定义为：

α（s）=（s，y（s），z（s））.

其中，s是曲线α的弧长参数.容许曲线α的曲率与挠率分别为：

κ（s）=y2（s）+z2（s），

τ（s）=det（α′（s），α″（s），α（s））κ2（s）.

设向量（T→，N→，B→）分别是容许曲线α的切向量、主法向量和副法向量，故Galilean空间中的Frenet公式为：

T→′（s）=κ（s）N→，

N→′（s）=τ（s）B→，

B→′（s）=-τ（s）N→.

下面引入AW（k）-type曲线.

不妨设α是Galilean空间中的Cr（r≥3）类容许曲线（以s为弧长参数），向量（T→，N→，B→）分别是容许曲线α的切向量、主法向量和副法向量，κ和τ分别为曲线的曲率与挠率，由此可以得到：

α′=T→，

α″=κN→，

α=κ′N→+κτB→，

αiv=（κ″-κτ2）N→+（2κ′τ+κτ′）B→.（1）

不妨令：

N→1=κN→，

N→2=κ′N→+κτB→，

N→3=（κ″-κτ2）N→+（2κ′τ+κτ′）B→.（2）

定理2.1

（a）AW（1）型满足N→3=0.（3）

（b）AW（2）型满足N→22N→3=〈N→3，N→2〉N→2.（4）

（c）AW（3）型满足N→12N→3=〈N→3，N→1〉N→1.（5）

（d）weak AW（2）型满足N→3=〈N→3，N→2〉N→2.（6）

（e）weak AW（3）型满足N→3=〈N→3，N→1〉N→1.（7）

其中：

N→1=N→1N→1=N→，

N→2=N→2-〈N→2，N→1〉N→1N→2-〈N→2，N→1〉N→1=B→.（8）

三、Galilean空间的AW（k）型Salkowski曲线

设α是以s为弧长参数的曲线，T→，N→，B→是Galilean空间中的Frenet标架，因为α是Salkowski曲线，故其曲率κ为非零常数.因此，由（2）式得：

N→1=κN→，

N→2=κτB→，

N→3=-κτ2N→+κτ′B→.（9）

根据定理2.1，我们得到下面一些定理：

定理3.1不妨设容许曲线α是G3上的Salkowski曲线，则α是AW（1）型曲线，当且仅当τ=0.

证明由于α是G3上的Salkowski曲线，根据等式（9）和（3），可得-κτ2=0，

κτ′=0，由于κ为常数且κ≠0，求得τ=0或为τ常数，考虑-κτ2=0，故τ=0，即曲线α为圆.

定理3.2不妨设容许曲线α是G3上的Salkowski曲线，则α是AW（2）型曲线，当且仅当τ=0.

证明由于α是G3上的Salkowski曲线，根据等式（9）和（4），整理计算可得：κ2τ2-κτ2N→+κτ′B→=κ2ττ′·κτB→=κ3τ3τ′B→，即-κ3τ4N→+κ3τ3τ′B→=κ3τ3τ′B→，即-κ3τ4=0，由于κ≠0，故τ=0.

定理3.3不妨设容许曲线α是G3上的Salkowski曲线，则α是AW（3）型曲线，当且仅当τ为常数.

证明由于α是G3上的Salkowski曲线，根据等式（9）和（5），整理计算可得：κ2-κτ2N→+κτ′B→=-κ3τ2N→，即κ3τ′=0，由于κ≠0，故τ′=0，即τ为常数.

定理3.4不妨设容许曲线α是G3上的Salkowski曲线，则α是weak AW（2）型曲线，当且仅当τ=0.

证明由于α是G3上的Salkowski曲线，根据等式（9）和（4），可求得-κτ2=0，由于κ≠0，故τ=0.

定理3.5不妨设容许曲线α是G3上的Salkowski曲线，则α是weak AW（3）型曲线，当且仅当τ为常数.

证明由于α是G3上的Salkowski曲线，根据等式（9）和（5），可求得κτ′=0，由于κ≠0，故求得τ为常数.

四、Galilean空间的AW（k）型anti-Salkowski曲线

设α是以s为弧长参数的曲线，T→，N→，B→是Galilean空间中曲线α的Frenet标架，因为α是anti-Salkowski曲线，所以，其挠率τ为非零常数.故由（2）式可得：

N→1=κN→，

N→2=κτB→，

N→3=（κ″-κτ2）N→+2κ′τB→.（10）

根据定理2.1，我们得到下面一些定理：

定理4.1在Galilean空间中，不存在AW（1）型anti-Salkowski曲线.

證明设α是G3上的anti-Salkowski曲线，根据等式（10）和（3），得κ″-κτ2=0，2κ′τ=0，由2κ′τ=0且τ≠0，可得κ为常数，考虑κ″-κτ2=0，矛盾.故不存在AW（1）型anti-Salkowski曲线.

定理4.2不妨设容许曲线α是G3上的anti-Salkowski曲线，则α是AW（2）型曲线，当且仅当曲率与挠率满足如下微分方程：κ2τ2κ″-κ3τ4=0.

证明设α是G3上的anti-Salkowski曲线，根据等式（10）和（4），整理可得：κ2τ2κ″-κτ2N→+2κ′τB→=2κκ′τ2·κτB→，即κ2τ2κ″-κτ2=0，去括号即可得微分方程.

定理4.3不妨设容许曲线α是G3上的anti-Salkowski曲线，则α是AW（3）型曲线当且仅当κ=0或κ为常数.

证明设α是G3上的anti-Salkowski曲线，根据等式（10）和（5），得2κ2κ′τ=0，由于τ≠0，故κ=0或κ为常数.

定理4.4不妨设容许曲线α是G3上的anti-Salkowski曲线，则α是weak AW（2）型曲线，当且仅当曲率与挠率满足如下微分方程：κ″-κτ2=0.

证明设α是G3上的anti-Salkowski曲线，根据等式（10）和（6），可求得此微分方程.

定理4.5不妨设容许曲线α是G3上的anti-Salkowski曲线，则α是weak AW（3）型曲线，当且仅当κ为常数.

证明设α是G3上的anti-Salkowski曲线，根据等式（10）和（7），可求得2κ′τ=0，由于τ≠0，故κ为常数.

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