探究解析几何探索型问题

舒敬宇

【摘要】解析几何问题在高考数学试题中占有十分重要的地位，在考查解析几何知识的题型中经常出现探索型问题的求解，如定点问题、定值问题、定直线问题等.探索型问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，并结合已有条件进行观察、分析、比较和概括.这类问题对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，因此它更有利于培养考生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历发现问题、研究问题、解决问题的全过程.

【关键词】探索型问题;研究对象是几何图形;研究方法是代数方法

【基金项目】本文系黑龙江省教育科学“十三五”规划2020年度教研专项课题《初高中数学教学衔接问题研究》（课题编号：JYC1320359）的阶段性研究成果.

引言

在初中几何初步中，学生学习了几何推理基础，三角形、四边形、直线和圆等相关几何问题.初中数学的特点是从直观、形象、具体事例出发，概括出一般结论，要求学生熟练掌握几何推导定理，加强对数量关系的敏感度，初步具备一定的运算能力.而高中数学对应的圆锥曲线部分，则突出几何直观与代数运算之间的融合，研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法.即通过图形与代数的结合，让学生感悟数学知识之间的内在关联，加强学生对数学整体性的理解，使学生能够根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成代数问题;根据对几何问题的分析，多角度探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，来解决几何问题.

解决高中的圆锥曲线问题需要在初中平面几何的基础上具备更强的直观想象能力、运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力.

一、假设存在、合情推理法

第一步：假设存在（增添一个已知条件）.

第二步：求出结论，则存在;否则，不存在.

二、探究证明法

第一步：探究结论.

常用方法：①斜率为0;②斜率不存在;③利用定点确定斜率;④利用切线;⑤找极限.

第二步：证明结论（分析法、综合法）.

常规解题思路是假设存在、合情推理法，这种方法需要进行消元、化简、配凑、整合等步骤，其中包含的量过多，求解的运算量较大，对学生的能力要求较高.而探究证明法在解决这类问题时优势比较明显，要求考生尽可能地结合图形，多从几何角度思考问题，选择恰当的点、线、位置来探究结论，把求解未知问题变为已知证明问题从而降低解题难度.

【典题】椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=12，Q为椭圆C上的点，且△QF1F2的周长为6.

（1）求椭圆C的方程.

（2）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，A，B在直线x=4上的投影分别为A1，B1（A1，B1不重合），试探究：在x轴上是否存在一定点P，使得直线A1B恒过点P？若存在，求出该定点P;若不存在，说明理由.

解（1）（过程略）椭圆C的方程为x24+y23=1.

（2）方法一探究证明法

当直线l斜率不存在时，A1，32，B1，-32，A14，32，B1（4，-32），此时直线A1B的方程为y=x-52，得P52，0，

若符合条件的点P存在，则P52，0.

以下证明P52，0就是满足条件的点.

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），代入x24+y23=1，得4k2+3x2-8k2x+4k2-3=0.

设A（x1，y1），Bx2，y2，则有x1+x2=8k24k2+3，x1·x2=4（k2-3）4k2+3，PA1=32，y1，PB=（x2-52，y2），

则有y1x2-52-32y2=kx1-1x2-52-32k（x2-1）

=kx1·x2-52x1+x2+4

=k4k2-124k2+3-52×8k24k2+3+4

=0.

即PA1∥PB，故恒有直线A1B过定点P52，0.

评注：这种方法从特殊直线入手，发现所研究的直线方程关于x轴对称，巧妙地避开了烦琐的计算过程，打破了因思维的局限性而无从入手的局面.由此可见，探究出结论，再加以证明也是解决这一类问题的典型方法.

方法二假设存在、合情推理法

假设x轴上存在定点P（t，0）满足条件，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），设Ax1，y1，Bx2，y2，则A1（4，y1），直线A1B的方程为y-y1=y1-y24-x2（x-4）.

令y=0，则0-y1=y1-y24-x2（t-4），所以t-4=-y14-x2y1-y2=-kx1-14-x2kx1-1-x2+1=x1.x2+4-4x1-x2x1-x2.

由（解法一）知x1=4k2+6k2+14k2+3，x2=4k2-6k2+14k2+3，

代入上式得：

t-4=4k2-124k2+3+4-44k2+6k2+14k2+3-4k2-6k2+14k2+34k2+6k2+14k2+3-4k2-6k2+14k2+3

=-1812=-32，解得t=52.

所以在x軸上存在一定点P，使得直线A1B恒过点P52，0.

评注：解决存在性命题时，往往需要先假设命题成立，增添一个已知条件，再根据题意求解.若求出的结论没有矛盾，则存在成立，反之则不存在.它与探究证明法比较起来相对较难，探究证明法实现了与图形的巧妙结合，化繁为简，减少了运算量.下面，我们在已知题干不变的条件下，通过几种变式来对其进行深度探究.

变式一AB是经过右焦点F2的任一弦，不经过点P1，32，设直线AB与直线l：x=4相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由.

解：当k=0时，y=0，则A（2，0），B（-2，0），M（4，0），P1，32，

此时k1=32-0-1=-32，k2=32-03=12，k3=32-0-3=-12，所以k1+k2=-1=2k3.

若符合条件的λ存在，则λ=2.

破解技巧：利用特殊直线探究λ的值.

变式二试问：过点F2（1，0）作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，记AF2=λF2B.若在直线AB上取一点R，使得AR=-λRB，当直线l运动时，是否存在定直线，使得点R在该直线上？若存在，求出该直线的方程;若不存在，请说明理由.

解当k=0时，y=0，则A（2，0），B（-2，0）.

又F2（1，0），AF2=λF2B，易得λ=12.

设R（x0，y0），因为AR=-λRB，所以易得x0=4，

由直线AB的对称性知，若符合条件的定直线存在，则直线方程为x=4.

破解技巧：先利用斜率为0的直线求出λ的值，再根据图形的对称性获得相应的定直线方程.

变式三过点N（-4，0）作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，记AN=λNB.若在直线AB上取一点R，使得AR=-λRB，当直线l运动时，是否存在定直线，使得点R在该直线上？若存在，求出定直线的方程;若不存在，请说明理由.

解法一当直线l经过椭圆的上顶点A（0，3）时，方程为y=34x+3，与椭圆x24+y23=1联立得B-85，335，

由AN=λNB，解得λ=-53，设R（x0，y0），由AR=-λRB，解得x0=-1，

由直线AB的对称性知，若符合条件的定直线存在，则为x=-1.

破解技巧：逆向思维设直线方程，寻找R点坐标.

解法二当直线l与椭圆相切时，设切点坐标为（x0，y0），则直线l的方程为xx04+yy03=1，将N-4，0代入得x0=-1，

则-x4+yy03=1，与x24+y23=1联立，令Δ=0得y0=32，此时切点坐标为（-1，32）.

因为AN=λNB，AR=-λRB，利用极限思想可得R-1，32，

由直线AB的对称性知，若符合条件的定直线存在，则为x=-1.

破解技巧：利用切线和极限思想寻找R点的横坐标.

解法三利用极限法，令λ=1，此时AN=NB，可知A，B两点重合，由题知在直线AB上取一点R，使得AR=-1RB，

所以A，R，B三点重合，根据切点弦的结论，可以得到直线AB的方程为：-4·x4+0·y3=1，解得x=-1，

可得R-1，32或R-1，-32，

由直线AB的对称性知，若符合条件的定直线存在，则直线方程为x=-1.

破解技巧：借助点N（-4，0），利用切点弦方程获得R点坐标，根据图形的对称性锁定定直线方程.

变式四设动直线y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点D，且与直线l：x=4相交于点E，试探究：在坐标平面内是否存在定点G，使得以DE为直径的圆恒过点G？若存在，求出点G坐标;若不存在，说明理由.

解当直线y=kx+m经过椭圆的上顶点D（0，3）并与椭圆相切时，此时直线方程为y=3，与直线l：x=4相交于点E（4，3），以DE为直径的圆的方程为（x-2）2+（y-3）2=4，令y=0，解得x=1或3.

当直线y=kx+m经过E（4，0）且与椭圆相切时，设切线方程为xx04+yy03=1，将E（4，0）代入得x0=1，

取切点坐标为D1，32，以DE为直径的圆的方程为x-522+y-342=4516，令y=0，解得x=1或4.

若在坐标平面内存在定点G，使得以DE为直径的圆恒过点G，则点G的坐标为（1，0）.

破解技巧：利用两条特殊直线求出两个特殊的圆，锁定定点位置.

变式五过直线l：x=4上一点S引椭圆C的两条切线，切点分别是A，B.是否存在常数λ，使得AF2+BF2=λAF2·BF2恒成立？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由.

解法一当点S的坐标为（4，0）时，易知两条切线分别为x4+y2=1，x4-y2=1，切点分别为A1，32，B1，-32，

则有AF2=32，BF2=32，由AF2+BF2=λAF2·BF2，解得λ=43.

破解技巧：利用切线寻找点A，B的坐标.

解法二过直线l：x=4上一点S引椭圆的两条切线，由极限思想可知当两条切线斜率均不存在时，切点分别是A（-2，0），B（2，0），则AF2=3，BF2=1，由AF2+BF2=λAF2·BF2，解得λ=43.

破解技巧：利用极限法寻找点A，B的坐标.

变式六设M，N是椭圆C上任意两点，其中A1（-2，0），且A1M-A1N=A1M+A1N，则直线MN是否恒过某定点？若是，求出定点坐标;否则，说明理由.

解由A1M-A1N=A1M+A1N知A1M⊥A1N，不妨设直线A1M的斜率为1，则直线A1M的方程为y=x+2，代入x24+y23=1得7x2+16x+4=0，由韦达定理得x1x2=47，解得xM=-27，由对称性可得xN=-27，直线MN的方程为x=-27，由對称性可得恒过定点的坐标为-27，0.

破解技巧：逆向思维设直线方程，寻找点M，N坐标.

本文从一道典型例题入手，通过对四个相应变式的探究，解决了定点、定直线、定值等问题，实用性很强，同时把数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养融入此类题型之中，提升了学生的思维能力、想象能力和创新能力，先从一般到特殊，再从特殊中发现一般规律，从而做到避繁就简.尝试之后，你就会发现自己的解题能力明显增加.

【参考文献】

[1]陈伟平.解析几何：培养数学运算能力的有效途径[J].数学学习与研究，2020（02）：140-141.