随机时滞微分方程的截断Caratheodory数值解的收敛性

蔡雨欣， 王子丰， 尤苏蓉

(东华大学 理学院，上海 201620)

在随机时滞微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)的研究中，当系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件时，方程的解存在且唯一。但很多的SDDEs并不满足线性增长条件，针对这类方程，文献[1]指出系数满足Khasminskii型条件时，方程的解存在且唯一。

随机微分方程(stochastic differential equations, SDEs)的精确解通常很难求出，构造方程的数值解并分析数值解的相关性质是SDEs的热门研究课题，常用的数值方法有Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、驯化Euler-Maruyama法、Milstein法以及Caratheodory法。目前，系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件的SDEs方程的数值解已得到广泛研究[2-6]。

对于非线性增长条件下SDEs的数值解问题，也有相关研究报道。如Hutzenthaler等[7]在高度非线性增长条件和单边Lipschitz条件下研究了这类方程的数值解。文献[8-9]提出的截断Euler-Maruyama法，可以用于求解系数满足局部Lipschitz条件和Khasminskii型增长条件的方程的数值解。此后，截断Euler-Maruyama法被应用于SDDEs的数值解分析中，得到了具有强收敛性和收敛速率的数值解[10]。文献[11]利用截断Caratheodory数值算法探讨了SDEs数值解的收敛性。截断算法在SDDEs的应用主要是截断Euler-Maruyama法与局部截断Euler-Maruyama法，目前还没有将截断思想应用于SDDEs的Caratheodory数值解的相关文献报道。本文将这种数值算法应用于SDDEs中，进而证明数值解的强收敛性。

1 问题背景及截断Caratheodory数值算法构造

若x∈n，用|x|表示其欧几里得范数。若A是一个向量或是矩阵，使用AT表示其转置，用表示它的迹范数。给定τ>0，用表示定义在[-τ, 0]上，取值于n的连续函数族。对于设(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一个完备概率空间，{Ft}t≥0是其上的一个σ域流，满足通常条件[10](单调递增且右连续，F0包含的所有P为零测集)。B(t)=(B1(t),B2(t), …,Bm(t))T是定义在该概率空间上的m维布朗运动。对于两个实数a和b，记a∨b=max(a,b)，a∧b=min(a,b)。对于给定实数a，用[a]表示小于等于a的最大整数。

考虑如式(1)所示的随机时滞微分方程。

dx(t)=f(x(t),x(t-τ))dt+
g(x(t),x(t-τ))dB(t),t≥0

(1)

式中：f(x,y):n×n→n，g(x,y):n×n→m×n分别为方程的漂移系数和扩散系数；τ>0为时滞量。

初值条件为

{x(θ): -τ≤θ≤0}=ξ∈C([-τ, 0];n)

(2)

假设式(1)的系数满足以下局部Lipschitz条件和Khasminskii条件。

假设1对任意的h>0，存在Kh>0使得

假设2存在一组常数p>2和K>0，使得对任意的x,y∈n有

传统解的存在唯一性定理要求方程的系数满足局部Lipschitz条件和线性增长条件。在局部Lipschitz条件和Khasminskii条件下，方程具有非线性特征，引理1给出了这类方程的解的存在唯一性。

为定义截断Caratheodory数值格式，首先选定一个严格单调递增的连续函数μ:+→+使得当r→+∞时，得μ(r)→+∞，且对任意的r≥1有

(3)

记μ-1为函数μ的反函数，则μ-1:[μ(0), +∞)→[0, +∞)是严格单调递增的连续函数。取定一个常数Δ*∈(0, 1]和一个严格单调递减的函数h:(0,Δ*]→(0, +∞)使得对任意的Δ∈(0,Δ*]都有

(4)

对于给定的步长Δ∈(0,Δ*]，定义映射πΔ:n→{x∈n: |x|≤μ-1(h(Δ))}如下：

当x=0时，定义πΔ(0)=0。因此，πΔ(x)将任意一个向量x映射到一个半径为μ-1(h(Δ))的球的内部。对任意的x,y∈n，定义如下截断函数

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y))
gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y))

由式(3)得

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤
μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(5)

这表明，无论f和g是否有界，其截断函数fΔ和gΔ都是有界的。引理2说明截断函数fΔ和gΔ仍然满足Khasminskii条件。

引理2[13]令假设2成立，那么对于Δ∈(0,Δ*]，对任意的x,y∈n有

当-τ-Δ≤t≤-τ时，定义xΔ(t)=x(-τ)；

当k=-M,-M+1,…,0时，定义xΔ(tk)=ξ(tk)；

当k>0，tk

(6)

显然，

(7)

dxΔ(t)=fΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dt+
gΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dB(t)

本文主要研究常时滞方程的数值解设计，对于变时滞方程情形，需要对上述数值解格式进行适当的调整，变时滞方程如下：

dx(t)=f(x(t),x(t-δ(t)))dt+
g(x(t),x(t-δ(t)))dB(t),t≥0

2 截断Caratheodory数值解的收敛性

为证明数值解的收敛性，首先给出式(1)的精确解和数值解所具有的一些基本性质及引理。

定理1对于任意的Δ∈(0,Δ*],t≥0有

(8)

其中Cp是仅与p有关的正常数，进而有

(9)

证明：由式(7)可得

从而有

由基本不等式|a+b|p≤2p-1|a|p+2p-1·|b|p,Hölder不等式以及矩不等式，上式可变形为

再由式(5)得

显然有式(9)成立。

引理3若假设1和假设2成立，则

(10)

其中C是与Δ无关的正实数。

证明：对|xΔ(t)|p使用It公式可得

利用引理2以及Young不等式可得

(11)

再利用定理1以及式(4)和(5)可得

(12)

将式(12)代入式(11)得

(13)

其中C3=C1+CpT,C4=3C2，且Ci(i=1,2,3,4)是与Δ无关的正实数。

由于式(13)对任何的t∈[0,T]都成立，其不等号右边是关于t非降的，因此

进而利用Gronwall不等式可推出

(14)

其中C=C3eC4T，且不依赖于Δ，从而式(10)成立。

下文引理4和5说明了式(1)的精确解和数值解所定义的两个停时的性质，这两个引理将在定理2证明数值解的收敛性时有用，其中引理4关于精确解的性质在文献[8]中已有证明，这里仅引用其结论。

引理4[8]令假设1和假设2成立，则对任意实数R>‖ξ‖，定义停时

τR=inf{t≥0:|x(t)|≥R}

(15)

引理5令假设1和假设2成立，对任意实数R>‖ξ‖，Δ∈(0,Δ*]，定义停时

ρΔ,R=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥R}

(16)

则

(17)

其中C9是与Δ,R无关的正实数。

证明：将ρΔ, R简记为ρ，对任意0≤t≤T，应用It公式可得

根据引理2，上述不等式可以变形为

(18)

分析式(18)不等号右边的第一个积分

(19)

式中，C6=4K1T(1+E‖ξ‖2)。

基于引理1以及式(4)和(5)，式(18)不等号右边的第二个积分可以放缩为

(20)

将式(19)和(20)代入式(18)可得

(21)

由于式(21)不等号右边关于t是非降的，因此

(22)

由定理2证明截断Caratheodory数值解的收敛性，为此需要对初值函数添加一定的条件，该条件在其他数值解的收敛性分析中也有使用[8-9]。

假设3存在一组常数K2>0，γ∈(0, 1]，使得初值ξ满足

|ξ(u)-ξ(v)|≤K2|u-v|γ，-τ≤v≤u≤0。

定理2若假设1～3都成立，则对任意的q∈[2,p)，有

(23)

证明：令τR,ρΔ, R与式(15)、式(16)定义相同，并记θΔ,R=τR∧ρΔ, R及eΔ(T)=xΔ(T)-x(T)。利用Young不等式，对于任意δ>0，有

E|eΔ(T)|q=E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R>T})+

E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R≤T})≤

(24)

由引理1和引理3可知

E|eΔ(T)|p≤C

(25)

又由引理4和引理5得到

(26)

其中C10=C5+C9。将式(25)和(26)代入式(24)可以推出

(27)

为此定义两个截断函数

令Δ*足够小，且满足μ-1(h(Δ*))≥R，因此对Δ∈(0,Δ*)，有

fΔ(x,y)=FR(x,y)，gΔ(x,y)=GR(x,y)，其中x,y∈,|x|∨|y|≤R。

考虑式(28)所示的随机时滞微分方程。

dz(t)=FR(z(t),z(t-τ))dt+GR(z(t),z(t-τ))dB(t)

(28)

初值为z(u)=ξ(u),u∈[-τ, 0]，其中FR(x,y)和GR(x,y)满足全局Lipschitz条件。因此，式(28)在t≥-τ上有唯一的全局解z(t)，且

x(t∧τR)=z(t∧τR) ， 0≤t≤T

(29)

设zΔ(t)为式(28)的Caratheodory数值解，则同样可得

x(t∧ρΔ,R)=z(t∧ρΔ, R) ， 0≤t≤T

(30)

关于式(28)的Caratherodory数值解zΔ(t)与全局解z(t)两者的关系，由文献[5，14]的结论可得

其中H为依赖于KR,T,ξ,q，且与Δ无关的正常数。因此

再结合式(29)和(30)，上式即为

因此，

从而只要Δ足够小，式(27)成立，即可证明式(23)成立，即数值解强收敛于精确解。

3 算 例

考虑下面的非线性一维随机时滞微分方程。

dx(t)=(-2x3+2x(t-τ))dt+(|x(t)|3/2+
sinx(t-τ))dB(t)，t≥0

其初值为

xt0=ξ={cosθ:-1≤θ≤0}。

显然，此方程满足假设1，同时

满足假设2。

利用Matlab软件进行数值模拟，得到如图1所示的截断Caratheodory数值解。

相比文献[11]所讨论的不带时滞项的随机微分方程数值格式，本文所得到的结论是对[11]关于数值格式稳定性结论的推广和补充。如果将算例中的时滞项舍去，那么该算例能够满足文献[11]进行相关分析所需的条件，因此数值解也将有相应的收敛结论。

4 结 语

本文使用截断Caratheodory法研究了非线性随机时滞微分方程的数值解的强收敛性。对于给定的步长Δ，定义了离散时间下的截断Caratheodory数值解，随后构造了连续时间的截断Caratheodory数值解

xΔ(t)，在局部Lipschitz条件和Khasminskii型条件下，证明了连续时间的截断Caratheodory数值解强收敛于其精确解。