根号法在不定方程（组）中的应用

刘陆石

【摘要】 费马大定理又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出.他断言当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有整数解.费马没有写下证明，而他的其他猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣.虽然1995年，怀尔斯证明n>2时定理成立.但证明过程冗长，据说只有几个世界级大师才能看懂.

完美長方体又称完美盒，指棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体.数学家欧拉曾猜测完美长方体可能不存在.据说数学界至今没有人找到完美长方体，也没有人能证明完美长方体不存在.

海伦三角形就是边长和面积都是有理数的三角形.人们基本上能找到三条高都是整数的海伦三角形，三角形平分线都是整数的海伦三角形，但一直没有找到三条中线皆为整数的海伦三角形.

笔者研究数载，发现上述三个问题具有共性，可以用同一种方法来论证.代数结构相同是解决这三个问题的关键，用这种性质解决以上三个问题，可以做到游刃有余，简明有力.

【关键词】 费马大定理;完美长方体;海伦三角形;有理数解;代数同构

定义  若两个方程（组）的解集在基于方程（组）上的代数运算结构相同，则称这两个方程（组）为同构方程（组），这两个方程（组）的解集为等价解集.

一、费马大定理的证法

（一）费马大定理证法一

（二）费马大定理证法二

（三）费马大定理证法三

二、不存在三中线皆为整数的海伦三角形（证法一）

三、不存在三中线皆为整数的海伦三角形（证法二）

四、不存在完美长方体（证法一）

五、不存在完美长方体（证法二）