经历由零散到理性实现由个别到一般

孙艳君

【摘要】 本文以学生原有的长方形和正方形的知识经验和生活经验作为基础，避免重复教学，将学生头脑中比较含糊不清的概念作为其教学的重点，将概念清晰化、明确化.学生由“直观认识长方形和正方形”到“用自己的语言描述图形的特征”，最后上升到“运用数学语言表达长方形和正方形的特征”，实现从最初的零散认识到理性的一般结论认识的飞跃，并基于操作、迁移与类比，形成由个别到一般的不完全归纳思维.

【关键词】 长方形;正方形;教学设计

一、设计亮点

于伟校长认为，“有过程的归纳教学”是强调学生通过不断经历合情合理的推测、探究、体验等操作，不断经历知识产生的过程，经历多种形式对话的过程，经历多种思维沉淀的过程，从而归纳概括出一般结论的教学.

本文以学生原有的长方形和正方形的知识经验和生活经验为基础，避免重复教学，将学生头脑中含糊不清的概念作为教學的重点，将概念清晰化、明确化.学生由“直观认识长方形和正方形”到“用自己的语言描述图形的特征”，最后上升到“运用数学语言表达长方形和正方形的特征”，实现从原初的零散认识到理性的一般结论认识的飞跃，并基于操作、迁移与类比，形成由个别到一般的不完全归纳思维.

二、内容分析

“长方形与正方形”是小学数学北师大版第4册第七单元“认识图形”的第2课时，属于“空间与图形”领域.之前，学生对长方形和正方形已经有了初步认识，能够正确区分锐角、直角、钝角，本节课在此基础上，通过量、折、比等一系列学习活动，加深学生对长方形和正方形特征的认识，使其了解长方形与正方形之间的联系.本节课的教学为学生今后学习长方形和正方形的周长与面积及认识长方体和正方体的特征奠定了基础，也是后续学生认识其他平面图形的基础，所以本课有着承上启下的作用，是小学阶段图形与几何领域的一个重要内容.

因此，学生对长方形和正方形的认识要跳出简单的直观感知层面，通过猜测与验证的探究过程，经历知识产生的过程，经历多种思维沉淀的过程，从而归纳、概括出长方形和正方形的本质属性，为后续学习其他平面图形积累一定的方法与思维经验.

三、学情分析

在归纳教学中，教师在设计教学时要了解学生在上课之前持有怎样的生活概念，然后以学生这些零散的生活概念为根基，在此基础上改造学生的生活概念和经验，从而使学生低级的生活概念发展思考为高级的科学概念.

1.从学生真实的认知起点出发，确定知识的生长点

课前，教师通过口头的方式提出问题：“你认识长方形和正方形吗？你知道长方形和正方形有什么特点吗？”调查发现，虽然大部分学生对长方形和正方形的直观表象有一定的认识，但对于长方形和正方形的具体特点并不知道如何去描述，也不知道从什么角度去描述，所以，引导学生从 图形的边和角的角度去描述图形的特点是本节课的第一个知识生长点.

2.紧扣学生年龄特点，确定新知的学习方式

本节课中，教师摸准二年级学生好动、好奇、倾向直观感知的学习心理，引导学生采用拼一拼、猜一猜等方式提出对长方形边和角的特点的猜想，再用量一量、折一折等方式验证自己提出的猜想.学生在验证长方形边和角的特点时，其价值内涵应该体现在以下两个方面：第一，量边和角顺应了学生的原有经验，因为学生在研究边的长短和角的大小的问题时，量是最先能想到的方法;第二，因为测量有误差，可以引导学生对原有的认知产生质疑，促使学生产生进一步探究的欲望，为引出更简洁的折一折的方法提供可能.

四、教学目标

结合内容分析及学情分析，本节课重在使学生理解和掌握知识目标的同时，对学生进行能力目标的培养和情感目标的落实.

1.通过操作、比较、归纳，能够用自己的语言描述长方形、正方形的特征，能够按要求在方格纸或点子图上画长方形和正方形.

2. 通过量一量、折一折、拉一拉等活动，获得研究图形的经验，体验到长方形与正方形的特征和二者之间的联系.

3.体验知识产生和形成的过程，同时培养学生热爱祖国的情操和学习数学的兴趣.

教学重点：猜测与验证长方形、正方形的特征.

教学难点：理解长方形与正方形的联系与区别，并用折一折的方法验证边与角的特点.

五、教学设计

教师准备：木条、大长方形纸2张、大正方形纸2张.

学生准备：直尺、三角尺、小长方形纸和小正方形纸若干.

六、率性教学的展开过程

（一）基于事实、经验，实现从原初的零散认识上升到理性的一般认识

在知识的形成过程中，所有的概念都是从具体的事例中抽象出来的.学生在进入课堂之前，已经通过经验构成了一定领域的某种前概念，并持有一定的生活概念.以学生的这些零散的生活概念为根基，在此基础上改造学生的生活概念、生活经验，可使学生的前概念发展为高级的科学概念.

1.学生由“直观认识长方形和正方形”到“用自己的语言描述图形的特征”

长方形和正方形在学生的日常生活中随处可见，学生对长方形和正方形有着非常好的生活经验，因此，直观地判断一个图形是长方形还是正方形，对于二年级的学生来说非常简单，而用自己的语言去描述长方形和正方形的特征，对于学生的思维水平来说是又上了一个台阶，实现了从图形表征到语言表征.

师：这节课我们要来学习长方形和正方形，有谁已经认识长方形和正方形了？你在生活中见过哪些长方形或者正方形？其实我们的校园、生活的房间，包括手里玩的、用的，好多东西的表面都有长方形和正方形，你对它们是再熟悉不过了.

师：你能用学具拼出长方形吗？别着急，你要选几根木条？为什么选4根？（板书：有4条边）现在请你从学具中选4根你认为合适的木条进行摆拼.

师：拼好的同学举起来看看，来分享一下你成功的经验，选什么样的4根木条才能拼成长方形呢？2根长的、2根短的就一定能拼成吗？

2.学生由“用自己的语言描述图形的特征”上升到“运用数学语言表达长方形和正方形的特征”

对于长方形特征的语言表述，我们发现学生能用上下、左右一样长，角尖尖的这种形象化的语言进行表征，但是对“对边”“长”和“宽”这样的概念是陌生的.学生对正方形的语言表述情况相对较好，他们会说四条边一样长、四个角都是直角等，显然学生对正方形特征有一定的了解.因此，教师需要引导学生运用数学的语言表示长方形和正方形边及角的特征，由生活化的语言表征上升到数学化的语言表征.

师：两根长度相等的长木条和两根长度相等的短木条在摆放的位置上有什么要求？

师：这两根长木条互相看着对方，这在数学里我们叫作相对，相对着的两条边叫对边，现在这两条对边的长度是相等的，我们就说对边相等.（板书：对边相等）

师：长方形还有什么特点呢？4个角都是直角.（板书：都是直角）眼睛看着是直角，是不是就一定是呢？

（二）基于操作、迁移与类比，形成由个别到一般的不完全归纳思维

1.通过眼见不一定为实，培养学生理性实证研究图形的思维方式

我们发现学生没有主观验证图形特征的意识，一方面是因为学生觉得眼睛看看就已经能判断图形是不是长方形或者正方形，没有必要再去进行严谨的数学验证;另一方面是学生犯了一个逻辑错误，我们明明是要通过测量来验证长方形的特征是否成立，可学生直接运用猜想来解决问题，学生测量得到一条边的长度后就直接写出了对边的长度，这时候验证特征就变成了特征的应用.因此，我们要告知学生眼见不一定为实，需要进行折一折、量一量去验证猜测是否成立，培养学生理性实证研究图形的思维方式.

师：我们用木条摆出来的长方形具有这些特点，那是不是所有的长方形都具有这些特点呢？（板书：？？）如果不确定，我们就得逐个验证才能行.老师有两点提示，在你验证长方形边的特点时，你可能用到什么工具呢？请把你用直尺量得的数据记录在相应的边上.如果你不想量，想直接折，请把折痕保留好.在你验证角的特点时，不能只用眼睛看，眼睛是不可靠的，那要用什么工具？

（1）边的特点

师：都谁用量的方法来验证长方形对边相等？跟他量的不是同一个长方形的同学举手.这些大大小小、有扁有长的长方形，它们一致的地方是什么？

师：谁是用折的方法得到结论的？上下对折能说明什么呢？左右对折呢？只需要对折就可以看对边是否完全重合，完全重合就说明相等.

师：现在通过量和折两种方法确定长方形的两组对边确实都是相等的.（擦掉一个“？”）

（2）角的特点

师：都谁是逐个量角的？有没有少量几次也能确定4个角都是直角的？折完之后再量量看呢？

师：对折一次之后4个角两两重合到了一起，只需要量2次就可以了.我就想量一次可以吗？再对折一次，使4个角完全重合到了一起，这样只量一次就可以了.（擦掉另一个“？”）

2.通过迁移与类比，由繁到简理清知识脉络

长方形和正方形是一组有关系的图形.由于学生前面已经积累了研究长方形图形特征的经验，因此对于正方形特征的研究会相对比较容易.因此，学生没有必要像刚才研究长方形特征那样从头至尾重新经历一遍，我们直接通过 研究方法的迁移和知识的类比，由繁到簡理清长方形和正方形知识脉络即可.

师：现在我们终于认识长方形了，来和图形家族的小朋友们玩个游戏放松一下.游戏规则如下：给出多种图形，再给出各种条件，谁不符合条件谁出局.有4条边，谁出局？对边相等，谁出局？4个角都是直角，谁出局？这3个条件其实是谁的特点？正方形怎么还在这呢？你们的意思是说正方形符合长方形的所有特征，为什么还另起个名叫正方形呢？（板书：4条边都相等）

师：用4根完全一样的木条确实可以拼出正方形，那是不是所有的正方形都具有这些特点呢？（板书：？）看学习要求，研究思路和长方形基本一致，怎么能省时高效地完成任务呢？

师：通过测量确实可以得到结论.谁用了折的方法？上下对折，然后左右对折，就能证明4条边都相等吗？ 只能证明什么？能不能通过折把相邻的边也重合在一起呢？

师：对于4个角，怎么省时、高效地量呢？现在老师明白为什么正方形不出局了，因为它不仅具备了长方形的所有特征，而且比长方形更特殊，4条边都相等.

师：我们今天研究的长方形和正方形早在古代的一本数学著作《周髀算经》中就有记载：圆出于方，方出于矩.这里面的“方”指的是什么？“矩”呢？这句话的意思是圆源于正方形，正方形源于长方形.正方形源于长方形是什么意思呢？当长方形的长越来越短，短到什么时候就是正方形了呢？对了，短到和宽一样长的时候.反之，当长方形的宽越来越长，一直长到什么时候就是正方形了呢？

3.以一推多，渗透由个别到一般的不完全归纳思维

由于班级人数的限制，学生研究的图形个数是有限的，那如何以一推多？这对于二年级的孩子来说是非常困难的.笔者尝试以介绍的方式向学生呈现归纳推理的思想，向学生渗透由个别到一般的不完全归纳的思维方式.

师：说说我们到目前为止得到的研究结论吧.不对呀，我们才研究不到四十个图形，怎么能直接说长方形和正方形都具备这样的特点呢？需不需要把世界上所有的长方形和正方形都拿来一一研究呢？

师：我们由多个长方形和正方形的特点推出了一般长方形和正方形的特点，这个过程在数学上被称为归纳推理，这是我们在数学学习中经常用到的方法.

师：通过这节课的学习，我们对长方形和正方形已经不仅仅是认识，而是从图形的组成部分、从边和角的角度去描述这个图形的特征.以后我们还会进一步认识其他图形，那时也可以像今天这样先凭着生活经验或者数学直觉去猜测图形有什么特征，然后想办法验证.这是我们研究创造的重要方法，你们一定要记住它.（板书：猜想、验证）

【参考文献】

[1]于伟.教育哲学[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[2]于伟.与儿童的对话：儿童哲学研究的田野笔记[M].长春：长春出版社，2017.

[3]于伟.率性教育的理论与实践探索[M].北京：教育科学出版社，2018.

[4]方巧娟.从“眼见为实”走向理性实证：《长方形和正方形的认识》整体教学的思考与实践[J].小学教学设计，2021（23）：19-22.