适合大班授课的高等数学翻转课堂实践与探索

常洛

[摘 要] 对大班授课的高等数学翻转课堂的教学模式进行探索和研究，分别对翻转课堂的自学、讨论和检验三个环节提出了改进方式，并从教学目标和在教学中引入高效学习方法这两个方面提出了两个辅助环节以保障翻转课堂高效教学的实施，解决了高等数学课程难度大且是大班授课不易进行翻转课堂的困境。所有改进方式体现了“以学生为中心”的教学理念。并给出一节翻转课堂的实例进行具体说明。通过教学实践证明了这种教学模式的可行性，实现了培养学生各项能力和提高教学质量的目标。

[关键词] 教学改革;高等数学教学;翻转课堂;以学生为中心;线上线下混合式学习

[基金项目] 2018年度山东大学（威海）教学改革重点项目“以学生为中心基于高效学习法的‘高等数学’教学方法的探索和研究”（A201804）

[作者简介] 常 洛（1977—），女，山东淄博人，理学博士，山东大学数学与统计学院讲师，主要从事高等数学研究。

[中图分类号] G642.0   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）48-0101-04   [收稿日期] 2021-04-19

一、引言

翻转课堂于2008年首先被提出[1]，在高校教学改革中，翻转课堂是实现线上线下混合式教学的主要教学模式，也是体现“以学生为中心”教学思想的重要途径。《国家中长期教育改革和发展规划纲要》提出高校教学要充分调动学生积极性和主动性，激励学生刻苦学习，养成良好学风，培养一批拔尖创新人才[2]。翻转课堂的教学理念恰好能满足这一要求，在教学中通过提高学生的参与度调动学生的学习积极性和主动性。

在翻转课堂中，提出“教学的目的是学而不是教”的思想[3]，学生是教学中的主人，教师为学生服务，学生自主学习，自己解决问题。翻转课堂的实施，不仅可以提高学生学习的积极性和主动性，而且可以提高学生自学能力、分析和解决问题的能力，培养学生的创新能力。但在高等数学的教学中，翻转课堂教学模式推广度很低，这与高等数学的特点和教学现状有关。首先，高等数学难度大抽象性强，不利于学生自学。其次，高等数学教学往往是大班授课，教师很难服务于每个学生。因此想在高等数学教学中实现翻转课堂，必须在原有的模式上进行改进。

本文讨论翻转课堂的具体实现，根据教学实践，提出适合大班授课的高等数学翻转课堂教学模式，在翻转课堂的自学、讨论和检验三个主要环节提出改进，解决了上述困难。除此之外，作者还提出了两个辅助环节，以协助翻转课堂教学的顺利进行。

二、适合大班授课的翻转课堂教学模式

翻转课堂模式分为三个环节，分别是学生课前自主学习、课堂讨论和学习检验环节，我们将从这三个环节出发，来说明高等数学的翻转课堂如何实施以适应大班授课的情况。

（一）教材为主SPOC为辅的课前自学环节

常见的翻转课堂模式是借助线上教学资源，通过线上自学，完成翻转课堂的第一步学习，学生对学习内容的认知主要是在这一步完成。线上课程是以知识点为单位进行编排，其优点是教师和学生可灵活的选用资源，缺点是教学内容碎片化。而高等数学对于学习的系统性要求特别高，碎片化的学习不利于高等数学学习。在数学教学中，有一个公认的观点，教材是学习的基础和重点，自学能力强的学生，通过自学教材就可以取得不错的成绩。作者将这一教学经验引入到翻转课堂中，在自学环节安排教材自学和线上SPOC学习两部分内容，以教材学习为主。

学生自主学习并不意味着教师放任不管，事实上，教师需要做很多工作。在传统课堂上，为了达到建立系统知识体系的目标，教师会对知识点铺垫、分析、引申以及建立知识点之间的联系，教师有充足的课堂时间实现教学设计，使整堂课形成一个完整体系，这是传统课堂的优势。而在翻转课堂中很难加入这些教学设计。作者通过教学实践，发现把这部分内容放在自主学习阶段能够取得不错的教学效果。在布置自学任务的同时，教师发给学生一份学习材料，里面主要包含五方面内容。一是学习的知识点与先前知识的联系，如果要用到前面的知识，写明学生需要复习的内容。二是对知识点的深度剖析，通过提问题的方式推动学生思考。三是知识的引申，引导学生进一步思考学习内容的应用和拓展，教师可以指出思考的方向，也可以以问题促进思考。四是知识的对照，有的问题从形式上非常相近，却涉及不同的知识点，将其放在一起对比，可以加深理解，提高应用的灵活性。五是指出学习的知识点和后面知识点的关系，为后续学习做好铺墊。对于每个知识点来说，这五个方面的内容不一定都会涉及。这其中有的是直接告知学生，如一和五;有的是以问题为导向推动学生思考，即PBL教学法，如二、三和四。这些问题也将是课堂讨论环节的讨论内容。实践证明，通过深度思考，很大一部分学生可以回答这些问题，回答不出的同学又有一部分在课堂讨论过程中想出答案。经过自主思考获取的知识，掌握得更牢，理解得更深入，在应用时也更熟练灵活，为培养创新能力打下基础。

在以上内容的辅助下，学生完成教材的学习，教材内容的完整性和连贯性有助于学生在自学过程中构建知识体系。学习教材是第一轮自学，学习SPOC课程是第二轮自学，是对前者的查缺补漏，也是对知识的强化，学生有目标的选择SPOC内容进行学习，通常来说第二轮学习耗时较少。

（二）大班课堂讨论的实施

翻转课堂的第二个环节是课堂讨论。如果是小班授课的翻转课堂，教师会尽量聆听每位学生的发言，检验学习效果，但这种方式在大班授课中无法实施。为了提高大班课堂讨论的参与度，作者实践了三种讨论方式。

第一种方式是学生将讨论问题的答案提交给教师，教师选出有代表性的进行讲解。因为节省了讨论时间，教师有时间对学习内容充分解析。在学生适应翻转课堂教学的过渡期，可采用这种方式。

第二种方式是分组讨论，根据学情对学生分组，让每组中有处于各个学习水平的学生，要求每位同学必须参与讨论和交流。教师在各组随机选取一位同学陈述讨论结果，并解答学生的问题。尽管按组汇报节省了时间，但仍会出现等待的情况，所以采用这种讨论模式时，通常会把第二、三环节放在一起，让完成讨论的同学先行进入实践环节。这种方式适用于难度低、含义明确、不需深度解析的内容，学生经过组内讨论基本就可以得到问题的正确答案。

第三种方式是选几名学生主讲发言，其他学生参与讨论。为了保证每位同学都积极参与，主讲学生由软件随机选取，其余参与讨论的学生由举手发言和随机选取两种方式产生，随机性使得每位同学必须完成课前自学，而且在讨论过程中要高度集中注意力。发言的学生有平时成绩加分以激励参与的积极性。这种方式虽然无法保证每位同学都有发言机会，却可以确保每位同学集中精力听讲和进行深度思考，达到了高等数学的教学要求。这种討论方式适用于有难度、有深度的知识点，学生讨论过程中教师可适当参与进行引导和补充。

在教学中教师可根据学习内容和教学课时灵活应用这三种讨论模式。无论采用哪种方式，教师须在最后总结，梳理知识主干和细节，这一步可借助思维导图完成。如果需要引入课程思政元素，可放在教师总结时间完成。随着翻转课堂教学的进行，会发现学生在讨论环节进行的越来越流畅，通过调查发现，超过55%的学生会在课前的自学环节中针对教师提出的问题进行讨论。为了搞懂学习内容，同学们也会主动寻找线上资源或查阅书籍资料，这说明同学们逐渐掌握了探索性和研究性的学习方式。

（三）高等数学的学习检验环节

在多数相关文献中，对于这一环节介绍的比较简单，如文献[4，5]等。其他课程的做实验、写论文等方式[1]都不适用于高等数学。作者认为，对于高等数学来说，能否正确做出题目是检验学习效果的重要标准。在传统授课模式中，这部分在课下完成，教师批改作业发现学生学习的疏漏。但因为教材有习题答案，学生会确保自己作业正确后才上交，使得老师难以在作业中发现问题。我们将作业放在翻转课堂的第三环节，学生在遇到困难时可与老师或同学交流，老师可及时发现问题并对知识漏洞补足。要注意的是，在师生交流中教师只需适当点拨，需把主动思考的机会留给学生。

在这一环节，很重要的一点是教师要在作业完成后和学生一起整理思路，特别是对于难题，可按照“头脑风暴”形式组织学生分析题目寻找解决方法。此环节的一个优点就是完成作业后马上进行复盘，学生对于解题时思路哪里对、哪里错、哪里没想到有更深的领悟。借此可培养学生分析问题和解决问题的能力，同时在一定程度上培养了学生的创新能力。

关于翻转课堂的一个争议是占用学生过多的课下时间，我们的翻转课堂模式的设计经过课前两轮和课上一轮的学习，可大大减少学生课后复习和写作业时间，总体来说没有显著增加学生的学习时间。可以看出，这三个教学环节设计从学生出发，全面围绕学生的需求，是贯彻了“以学生为中心”思想的教学设计。

三、翻转课堂的其他辅助环节

对于教师来说，为了保障翻转课堂的顺利进行和取得更好的教学效果，还需要完成两个辅助环节。

（一）设定明确的教学目标

翻转课堂的教学中教师需将教学目标尽可能详尽、明确的制定出来。作者按布鲁姆教学分类法将教学目标分为“记忆、理解、应用、分析、评价、创造”六个层级。除此之外，在撰写教学目标时参考了ABC模式[6]，即要有对象（A）、行为（B）、条件（C）三个因素。撰写教学目标要以学生为主语，让学生以第一视角了解自己的学习目标。这也是“以学生为中心”教学思想的体现。学生可以根据学习目标评价自己的学习效果，从而在课堂上与老师、同学交流时能有的放矢，有助于在翻转课堂中实现高效学习。

（二）在教学中注重引入高效的学习方法

在翻转课堂教学中特别适合推行高效学习法。首先，费曼学习法是物理学家费曼在教学时提出的一种学习方法，是让学生用自己的语言讲解知识。翻转课堂中学生发言讨论环节恰好符合了费曼学习法的要求。其次，《刻意练习》[7]中指出，想要又快又好的学会知识，需要专业老师带领并设计学习方式，需要有明确的大目标和细化的小目标，需要学习者依照目标全身心地投入学习，在学习过程中需要得到老师的及时反馈，这些在我们的翻转课堂中都得以实现。再次，《认知天性》[8]中提出反复间隔性检测有助于内化知识。可在习题课上注重间隔练习，比如第三章的习题课中加入第一章的题目，通过反复间隔练习巩固学生已掌握的知识。高效的学习方法在提高学生学习效率的同时也优化了学习成果，取得了事半功倍的效果。

四、翻转课堂的教学实例

以第九章第二节平面直角坐标系下二重积分的计算[9]为例，说明翻转课堂实现的过程，时长是2课时100分钟。

（一）教学目标

我们分别用I～VI来代表布鲁姆教学目表中的各层级。共五个教学目标，以学生视角叙述：完成本节学习后，我们需做到（1）掌握区域D的描述方法（I，II），要求能够将已知图形描述成X型区域或Y型区域（III），也能够根据D的描述方法画出其表达的图形（III）。（2）学习并掌握二次积分的概念（I，II），可以将二重积分化为二次积分，也可以将二次积分化为二重积分（III）。（3）能正确完成二元函数求积分的题目，其中包括二重积分化为二次积分、累次积分交换积分次序、求曲顶主体的体积、求由两个曲面围成的几何体的体积的题目（III）。（4）知道二元函数积分和一元函数积分之间的联系（IV）。（5）思考并分析二重积分计算方法得到的过程，领会其中体现的创新思想（VI）。

（二）自主学习环节的材料

学习材料内容：（1）复习第四章一元函数定积分的定义和求法;复习已知平行截面面积的立体体积的求法。（2）请回顾二重积分的定义9.1.1，你会发现二重积分是一个极限，也是一个级数，请问用求极限或者求级数的方法能否求二重积分？类比一元函数定积分，它是用求极限的方法求得的吗？（3）转换思考问题的角度，在第一节中用积分表示曲顶主体的体积，反之，一个二元函数的积分是否对应了某个曲顶主体的体积？（4）请用已知平行截面面积的立体体积的求法求一个长方体的体积。如果把这个长方体的顶变为曲面呢？如果底面是不规则区域，你会遇到什么困难？（5）请阅读课本153～154页例9.2.1以上部分，是如何解答（4）的？（6）请关注区域D的描述方法，它和累次积分的顺序有什么关系？如果想交换累次积分的积分次序，你该怎么办？（7）请读例9.2.1～9.2.3，请思考在将二重积分化为二次积分时，该如何选取积分顺序，选取的依据是什么？（8）请回忆一元奇、偶函数在对称区间上的积分的计算及其几何意义，然后请阅读例9.2.4～9.2.6，它们的共同特点是什么？（9）请阅读158页，当二元函数关于某一个变量是奇、偶函数时在相应的对称区域上的积分性质，你能从几何意义上理解它们吗？你能推导出它们吗？（10）研读完课本请观看SPOC课程。

（三）课上讨论环节

教师先用5分钟引入知识背景，然后根据上部分提出的问题进行讨论，采用的是第三种讨论模式，大约45分钟。利用雨课堂的点名功能随机抽取9位同学发言，其余同学可举手发言参与讨论，此外教师再随机抽取同学参与讨论，还可以通过雨课堂弹幕功能发言。讨论完教师进行总结，加入課程思政元素，大约10分钟。

（四）作业解析环节

共40分钟，其中25分钟作业时间，15分钟讲解时间。在作业时间学生可与老师交流。

五、翻转课堂的教学效果的评价

从期末考试成绩来看，翻转课堂教学班的成绩比传统教学班的成绩高4.7分，及格率高8.7%。这两种教学方式从成绩上看没有显著差异，但从及格率上可发现翻转课堂能够大大减少学生不学习的情况。而启发学生思维，提高学生探究式、研讨式学习的兴趣，培养学生自主学习的能力才是翻转课堂的教学目的。期末调查显示，92%的学生喜欢这种教学方式。教学中发现经过翻转课堂学习的学生学习主动性更高，初步具备了探究式学习的能力，学生在参加科研活动时也愿意用数学解决问题，这都表明我们实施翻转课堂教学的目标得以实现。

参考文献

[1]于歆杰.以学生为中心的教与学：利用慕课资源实施翻转课堂的实践（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2017：5-7.

[2]教育部.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）[EB/OL].（2010-07-29）[2021-01-21].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A01/s7048/201007/t20100729_171904.html.

[3]拉塞尔·L·阿克夫，等.翻转式学习[M].北京：中国人民大学出版社，2015：19.

[4]李薇，等.高等数学翻转课堂教学模式的设计与实践[J].高教学刊，2021（8）：109-112.

[5]李玲，等.翻转课堂教学模式在大学数学教学中的应用[J].数学理论与应用，2015（6）：123-128.

[6]何仁生.教学系统概论[M].长沙：湖南大学出版社，2014：103.

[7]安德斯·埃里克森，等.刻意练习[M].北京：机械工业出版社，2019：129.

[8]彼得·C·布朗，等.认知天性[M].北京：中信出版社，2018：79-83.

[9]刘建亚，等.微积分[M].北京：高等教育出版社，2018：145-155.