联想 等效 拓展 建模——以“带电小球在复合场中的运动”为例

刘万强 肖梦军

(湖北省松滋市第一中学，湖北 松滋 434200)

1 问题

如图1所示，匀强电场的场强大小为E，与水平方向的夹角θ=30°，电场中有一质量为m、电荷量为q的带电小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线恰好水平。现用一外力将小球缓慢拉到竖直方向的最低点，然后将小球由静止开始释放，求：

图1

(1) 小球在何处速度最大？最大速度为多少？

(2) 小球向右运动，最远处在哪里？

(3) 若小球能做完整的圆周运动，小球在运动过程中最小速度是多少？

速度最大(动能最大)的点、向右能够运动到达的最远处(动能为零)和做完整圆周运动等问题涉及的主要是能量问题，那如何分析在这种多场并存的复合场中的运动呢？我们会联想到小球只在重力场中的圆周运动。

2 联想

图2

如图2所示,细绳一端固定于O，另一端固定一小球，让小球在竖直平面内做圆周运动。现将小球从图示位置P由静止释放，细绳与竖直方向成夹角θ，求：

(1) 小球在何处速度最大？最大速度为多少？

(2) 小球向右运动，最远处在哪里？

(3) 若小球能做完整的圆周运动，小球在运动过程中最小速度是多少？

联想到小球只在重力场中的圆周运动，关注小球的动能和势能，可追溯到最简单的能量与圆周运动相结合的模型的源头。需重点关注小球的重力势能极值对应的高度位置：(1) 小球位于最高点时，动能最小、势能最大、绳中张力最小,绳子在此处不松弛是保证小球做完整圆周运动的充要条件;(2) 小球位于最低点时，动能最大、势能最小、绳中张力最大，绳在此处最易断裂。

假设小球只在匀强电场中运动，又如何处理呢？我们不妨进行类比分析。

3 等效

如图3所示，在光滑绝缘水平面上放置一质量为m、电荷量为q的带正电小球，小球系在长为L的绝缘细线上，线的另一端固定在O点。整个装置置于大小为E的匀强电场中，电场方向与水平面平行且沿OA方向。现将小球从OA左边与OA垂直的位置静止释放，求：

图3

(1) 小球在何处速度最大？最大速度为多少？

(2) 小球向右运动，最远处在哪里？

(3) 若小球能做完整的圆周运动，小球运动过程的最小速度是多少？

将电场力Eq等效成重力场中的重力mg，那么A处于最低等势面上，相当于重力场的最低位置，可以将小球的电势能与重力势能相类比，则在A处电势能最小，速度最大，小球绕等效最低点两边对称摆动，向右可摆到OA右边以及与OA垂直的位置。如能做完整的圆周运动，恰好过等效最高点(即A关于O的对称点)，此处电势能最大，动能最小，绳子拉力最小。

重力和电场力对带电小球的运动都有影响，又该如何处理呢？我们不妨分两力共线和不共线两种情况来拓展研究。

4 拓展

4.1 重力和电场力在同一直线上

如图4所示，在长为L的丝线的一端拴一质量为m、电荷量为q的带正电小球，另一端连在水平轴O上。丝线拉着小球可在竖直平面内做圆周运动，整个装置处在竖直向上的匀强电场中，电场强度大小为E，且电场力Eq大于重力mg。现将小球拉到与轴O在同一水平面上的A点，然后无初速度地将小球释放。求：

图4

(1) 小球在何处速度最大？最大速度为多少？

(2) 小球向右运动，最远处在哪里？

(3) 若小球能做完整的圆周运动，小球在运动过程中的最小速度是多少？

将电场力Eq和重力mg进行合成，得到合力F=Eq-mg(称为等效场力)，其方向向上，B处于等效场的最低等势面上，相当于重力场中的最低处，把小球的电势能和重力势能之和(称为等效场势能)与重力势能相类比，则B处等效场势能最小，速度最大，B成为等效最低点，小球绕等效最低点两边对称摆动，向左可摆到A关于O的对称点。如能做完整的圆周运动，恰好过等效最高点(即B关于O的对称点)，此处等效场势能最大，动能最小，丝线拉力最小。

4.2 重力和电场力不在同一直线上

如图5所示，在水平方向的匀强电场中，在一根不可伸长的绝缘细绳的一端连着一个质量为m、电荷量为q的带正电小球，另一端固定于O点，把小球拉起直到细绳与场强方向平行，然后无初速度释放，则小球沿圆弧做往复运动。已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，求：

图5

(1) 小球在何处速度最大？最大速度为多少？

(2) 若小球能做完整的圆周运动，小球在运动过程中的最小速度是多少？

如图6所示，将电场力Eq和重力mg进行合成，得到合力F(称为等效场力)，其方向为斜向右下方，过圆心画出沿合力F方向的直线，与圆轨迹交于点A、B两点(图7)，用F等效替换仅在重力场中运动的小球受到的重力mg，那么A处于等

图6

图7

效场的最低等势面上，相当于重力场的最低处，将小球的电势能和重力势能之和(称为等效场势能)与重力势能相类比，则A处等效场势能最小，速度最大，A成为等效最低点，小球绕等效最低点两边对称摆动。若带电小球能做完整圆周运动，恰好过等效最高点(即A关于O的对称点B)，此处等效场势能最大，动能最小，丝线拉力最小。

5 建模

研究小球在重力场和电场并存的复合场中的圆周运动时，通过联想、等效到拓展类比，建立了以等效场、等效场力、等效场加速度、等效最高(最低)点和等效场力势能等概念组成的等效场模型，分析带正电的小球在仅有重力场、仅有电场、重力场和电场并存三种情况下的圆周运动，比较结果如表1。

表1

如图8所示，将原题中的电场力Eq和重力mg进行合成，得到合力F(称为等效场力)，其方向为水平向右，过圆心画沿合力F方向的直线，与圆轨迹交于点A、B两点(图9)，用F等效替换仅

图8

图9

在重力场中运动的小球受到的mg，那么A处于等效场的最低等势面上，相当于重力场的最低处，将小球的电势能和重力势能之和(称为等效场势能)与重力势能相类比，则A处等效场势能最小，速度最大，A成为等效最低点，小球绕等效最低点对称摆动，即从空间最低点运动到空间最高点。若小球能做完整圆周运动，要能恰好过等效最高点(即A关于O的对称点B)，此处等效场势能最大，动能最小，细线拉力最小。

6 结语

带电小球在等效场中的圆周运动是高中物理的重要模型。从物理观念来看，等效场模型涉及相互作用观、运动观和能量观；从科学探究来看，探究等效场中的场力、加速度、等效最高(最低)点等，通过发现、联想、推理等，循序渐进，深入探究；从科学思维来看，需要综合运用类比、等效、拓展、建模等思维方法；从科学态度与责任来看，通过对小球圆周运动的深入探究，有利于学生认识科学本质，形成正确的科学态度和责任感。