一道中考试题的解析与思考

马利

（石家庄第二外国语学校，河北 石家庄 050000）

中考选择的最后一两道题，常考用动态的观点解决几何问题，考查图形在运动过程中产生的图形性质上的变化和不变的情况.下面笔者以2016 年河北中考第16题为例，探究这类题的解题方法，以求引导学生体悟具有普适性的数学思想和方法，明晰思路，优化数学思维方式，提高解决问题的能力。

一、试题呈现 如图，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，且OP=2.若点M，N 分别在OA，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有（ ）

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.3 个以上

二、试题解析 由题中条件 ∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，可知∠1=∠2=60°，根据等边三角形判定的有关知识可知：方法1，已知一个60°角，再添加一个60°角，从而三个内角均为60°，得到等边三角形；方法2，一个60°角，再添加两条边相等，从而有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。

三个内角都为60°，有一个角为60°的等腰三角形

从特殊入手，依据方法1操作：用三角板如图1所示，以OP为边添加一个60°角，交OA 于点M，N 与O 重合，构造等边△PMN。

如图2 所示，根据轴对称性，在OP 的右侧也存在一个等边三角形。

依据角平分线上的点到角两边的距离相等，如图3 所示，作可得PM=PN，由题易得∠3=∠4=30°，所以∠MPN=60°，根据等边三角形判定方法2，从而构造等边三角形。

目前已经得到3 个等边三角形，答案D 为3 个以上，为此提醒我们需要研究一般位置的情况。我们把特殊位置得到的等边三角形结合来看，如图4 可以看作由一个60°角旋转得到，为此我们把绕P把60°角转到一般位置如图5所示，为等边三角形，∠MPN=60°，只要证明≌即可推出△PMN是等边三角形。由是等边三角形，可得∠OM’P=60，PM’=PN’，因为∠MPN=60°，∠PON=60°，所以可得：∠OM’P=∠PON，∠M’PM=∠OPN，依据ASA 得到△M’PM ≌OPN，所以PM=PN，由于∠MPN=60°，所以△POM 是等边三角形，故这样的三角形有无数个，故选

三、延伸思考 继续研究这道题，发现变化过程中存在的不变性，∠MPN 与∠AOB 互补；OM+ON 为定值；四边形OMPN 的面积等于以OP 为边的等边三角形的面积，为定值；

四、反思与练习

根据问题的已知条件，联想相关知识，从特殊情况入手，通过动手操作，得出实验的

特例，用运动的观点猜想一般情形，结合特例的信息论证一般结论，这种从特殊到一般的思想和用运动的观点分析问题的方法是解决此类问题的法宝。掌握这种方法，要求我们在变化中寻找不变性，用函数的观点寻求变化中的不变性。

“动点型问题”是几何学习的重要内容之一，融动脑思考和动手操作为一体，汇集了诸多知识点，需要学生经历分析、猜想、判断、推理等综合过程，体现了几何直观，凸显了数学学习的特点和本质，这样的问题在近年来中考中大有增大趋势。

练习：2019 年山东聊城中考第11 题如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC 分别交于点E，F 时，下列结论中错误的是（ ）

A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° C.OE+OF＝BCD.S 四边形AEOF＝S △ABC

从特殊位置入手，如图6 所示，连接AO，连接AO，易证△EOA ≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA＝FC，进而可得出AE+AF＝AC，选项A 正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝90°可得出∠BEO+∠OFC＝180°，选项B 正确；由△EOA≌△FOC 可得出S △EOA＝S △FOC，结合图形可得出S 四边形AEOF＝S △EOA+S △AOF＝S △FOC+S △AOF ＝S △AOC＝S △ABC，选项D 正确.综上，此题得解。