上端水平周期运动下悬垂型水下细长体响应幅值包络线的特性分析

从善学，徐雪松

(上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

当今世界，能源逐渐枯竭，新能源的发展仍不足以支撑人类的需求，开发蕴藏在海洋中的丰富化石能源能够有效地缓解能源危机.海洋工程装备的设计制造和优化是当前船舶与海洋工程研究的热点方向.

悬垂型细长体是海洋工程中常出现的一种结构物类型，如无人遥控潜水器(ROV)布放时，母船与中继器之间的铠装脐带缆就是一种悬垂型细长体[1]；在钻井立管入井作业时，水下待入井的钻井立管也是一种悬垂型细长体[2].细长体上端通常与水面浮式结构物(如母船)相连，母船在波浪的作用下产生多自由度的往复运动，从而导致下面所连接的细长体随之晃荡.细长体的晃荡会对其下端物体的作业造成不利影响，如在ROV布放系统中，中继器的晃荡会导致中继器和ROV之间的轻缆断裂；在钻井立管入井作业中，立管的晃荡会导致立管下端与井口对接困难.在多细长体同时作业的场合，多细长体的同时晃荡有可能导致相互的碰撞和干涉，严重影响其水下作业的安全性[3-4].考虑到实际波浪运动的复杂性，母船的垂向升沉运动一般可以通过采用升沉补偿装置进行补偿.

在上端周期性水平运动时，悬垂型细长体整体可能会出现大幅度运动，运动方向也比较复杂.其中在与上端方向一致的顺应方向，轴向各点在水平方向上主要呈现出周期运动响应.细长体运动导致的流场变化也会引起涡激振动.涡激振动主要体现在与顺应方向垂直的横向.相对于顺应方向的大幅度运动，涡激振动幅度较小，而且规律性远不如顺应方向明显，因此本文暂不考虑细长体的涡激振动问题.

当上端水平周期运动时，细长体轴向各处也会出现相同周期的运动响应，各点运动响应幅值点的连线即为细长体运动响应的幅值包络线.对于一个特定的上端水平周期运动，细长体轴向各处的响应振幅是不同的，其中存在某一位置上的响应振幅值最小，此点即为最小幅值点；相应地，存在某一位置上的响应振幅值最大，此点即为最大幅值点.显然，对于幅值包络线特性的研究对单细长体运动的响应规律，以及多细长体作业安全性方面的研究有着重要的意义.在实际工程中，对于细长体运动响应幅值包络线的特性分析，将有利于水下潜体的安全布放、钻井立管入井效率的提升，以及多管采油系统作业的安全评估等.

现有的水下细长体动力学响应方面的研究多聚集在两端连接状态下细长体动力学方面的研究.在细长体下端约束且整体张紧的情况下，细长体的整体运动幅度相对较小，涡激振动必须考虑.关于多立管的干扰和碰撞问题的研究，崔洋洋[5]研究了双立管在均匀来流中的流固耦合问题；李红艳等[6]研究了双立管和螺旋侧板在抑制涡激振动的作用.这些研究多针对上下端连接状态下，在来流作用或管内流作用下的细长体运动响应分析.对于下端自由的悬垂细长体的运动响应也有一些研究，吴天昊等[7-8]通过试验研究了平台运动下悬垂立管的涡激振动响应及疲劳损伤问题，并研究了平台运动和管内流动联合作用下，立管的动力响应特性.然而，针对幅值包络线方面还未见类似研究.针对这方面的不足，本文将针对母船水平周期运动下，细长体轴向各处的响应振幅特性开展研究.

1 动力学计算方法

水下细长体(常见如立管和缆绳等)的动力学研究已经比较成熟，计算方法众多.考虑到研究重点是幅值包络线以及对现有成果的接续，下面介绍采用柔性分段模型来计算悬垂型细长体运动响应的原理和方法.在该模型中，水下柔性细长体被分成一系列柔性段，单独分析其变形，通过求解力学平衡方程来完成动力学计算.由于柔性细长体的整个变形被分解为所有段的小“曲线”变形，所以动力学计算中只需要相对较少数量的段即可达到较好的精度[9-10].

1.1 动力学模型

细长体模型图如图1(a)所示，细长体上端与水平母船或平台连接，下端一般连接底部物体.当上端母船水平运动时，水下细长体可能出现大的弯曲变形.根据柔性分段模型，将细长体离散为n个柔性分段，柔性分段Qi的两端处有节点Ni和Ni+1，如图1(b)所示.全局和局部坐标系如图1(b)和1(c)所示，其中Oi-biniti为局部坐标系.全局固定坐标系O-xyz设定为平行于水平面的x和y轴，z轴指向海底，其原点位于细长体上端的初始位置.在每个节点Ni处存在坐标系biniti，轴bi和ni垂直于ti轴.以相同方式，在中点Ci处存在局部坐标系OCi-bcincitci.

图1 柔性体长体模型简化图Fig.1 Symplified model of flexible slender body

假设从bcincitci到bi+1ni+1ti+1的旋转变换按以下步骤执行：① 围绕ni轴旋转θni角度；② 围绕bi轴旋转θbi角度.旋转变换可以表示为

(1)

P(θbi,θni)=

P(θb,θn)=

(2)

对于柔性细长体上端，有如下关系式：

(3)

式中：θb0和θn0为b1n1t1相对于xyz轴的旋转角度.

1.2 计算方法

在外部载荷作用下，柔性段变形如图1(b)和1(c)所示.分段的变形由力矩和张力引起.这里假设每个分段的变形非常小，而整个水下柔性细长体的大变形均由这些小变形组成.此外，假设每个分段上的力矩或张力是均匀的，并且每个分段的外力作用在分段中点处，这些外力包括水动力、重力和惯性力.

设作用在Qi上的力矩Mi，可沿局部坐标轴作如下分解：

(4)

图2 Qi的变形和投影坐标示意图Fig.2 Deformation and projections of Qi

由于Qi处的平均偏转角是Ni+1处偏转角的一半，所以，Ni和Ni+1之间的坐标变换可以近似地表示为

(5)

式中：(xi,yi,zi) 为Ni的坐标；ri为Ni的位移矢量；li为Qi初始长度；ei为Qi的伸长率.

坐标系Ci和Ni间的坐标转换可以用以下公式表示：

(6)

式中：(xCi,yCi,zCi)为Ci的坐标；rCi为Ci处的位移矢量.

根据式 (5)，Ni和Ni+1的速度关系可以表示为

(7)

Ci和Ni+1的速度关系可以表示为

(8)

(9)

Ni+1的加速度可以表示为

(10)

Ci的加速度可以表示为

(11)

细长体的运动控制方程由所有柔性段中点处的力矩平衡方程和张力平衡方程组成，所有柔性段的2个角度偏转值和1个伸长率为待求变量.每个柔性段中点处的位移、速度和加速度可以通过式(6)、(8)和(11)求出，进一步可以计算出每个柔性段所受的外力，从而可以列出每个柔性段中点处的力矩平衡方程和张力平衡方程.若柔性段上端简化为铰接支撑，在上端点处x和y轴方向上的2个弯矩为0，这2个方向上弯矩平衡方程也作为控制方程.同时，细长体上端切线相对于x和y轴的2个偏转角为2个待求变量.对于被分为n个柔性分段的细长体，将有3n+2个变量和3n+2个控制方程，对这些控制方程采用优化的方法求解出每个变量值，从而实现整个细长体系统的动力学计算.关于柔性分段模型的力矩平衡方程和张力平衡方程的具体推导构成可以参考文献[9].

2 幅值包络线特性分析

采用MATLAB软件编写程序实现以上基于柔性分段模型的细长体系统动力学计算方法，计算上端水平周期运动下悬垂型水下细长体的运动响应，提取轴向各处的运动幅值以描绘幅值包络线，并在此基础上分析包络线特性.程序计算中选取的水动力系数、计算时间步长和分段数量均与文献[9]中一致，动力学计算结果已与实验结果进行了对比验证，故此处动力学计算结果不再重复验证.

2.1 无量纲化

由于悬垂型水下细长体轴向各处的响应幅值特性与上端运动幅值、上端运动周期及吊重质量等相关，需要分析这些参数对响应幅值包络线特性的影响规律.为了使得这些规律更具普适性，将这些参数进行无量纲化.根据相似准则，模型试验与实际情况满足形状相似、力学相似和水动力学相似等条件，则根据试验结果可以预测实际情况的结果.但由于尺度效应，实际模型试验不可能同时满足所有的相似准则，所以需要针对相对重要的方面进行无量纲化，使得试验得到的结果更具有现实意义.

针对上端水平周期运动水下细长体响应幅值包络线分析问题的特点，无量纲化处理将先选取一个基准模型，参照基准模型计算出上端运动振幅、上端运动周期以及下端吊重质量的无量纲化参数；通过调整这些参数，分别展开动力学计算，并进一步画出相应的幅值包络线；分析这些参数变化对幅值包络线特性的影响.设上端振幅无量纲化参数α为细长体运动幅值A与细长体长度L的比值，即α=A/L；上端周期无量纲化参数β为上端运动周期T与细长体一阶固有周期Tc的比值，即β=T/Tc；吊重无量纲化参数γ为吊重质量mG与细长体质量m的比值，即γ=mG/m.

2.2 计算模型

2.2.1基准模型 基准模型参照文献[9]中的立管模型建立，主要区别为文献[9]采用的是空心管道，而本文计算采用的是外径(D)、长度、截面积(S)和弹性模量等物理参数相同的实心细长体，其整体柔度与实际海洋工程中的深水钻井立管柔度相仿，具体物理参数如表1所示.在基准模型的基础上，改变上端运动幅值、周期和吊重质量等参数，分析这些参数对细长体运动响应幅值包络线特性的影响.

表1 模型的主要参数Tab.1 Main parameters of model

2.2.2运动及载荷 悬垂型水下细长体的上端设为强迫水平周期运动，且细长体在水平面上的主运动方向为x轴方向，运动公式为

(12)

式中：r0,x为在第1个节点处水平x方向上的位移；φ0=0为初始相位；t为运动时间.

2.3 计算结果分析

由于上端运动幅值、上端运动周期和吊重质量是上端水平周期运动下悬垂型细长体响应运动幅值特性的重要影响参数，下面将分别改变这些参数计算相应的结果，以绘制细长体的幅值包络线图，并在此基础上对比分析各参数对悬垂型细长体在水下运动响应幅值包络线特性的影响.

根据计算要求，首先研究在上端运动周期和吊重质量不变的情况下，上端运动幅值改变对细长体运动响应幅值包络线的影响.当β=0.069，γ=0.50时，分别取α=0.046 0，0.062 0，0.031 0，0.015 0，0.007 7，0.004 6，计算获得的幅值包络线如图3所示.其中，x轴为细长体在水平面上的主要运动方向；z轴数值为前文所设的垂向坐标轴，但数值与其相反；两侧虚线代表细长体的幅值包络线；中间的数根实线是在不同相位时的细长体形状，相邻两根实线之间的相位差Δφ=π/6；λ为最小幅值点的相对位置，即最小幅值点到上端的轴向长度与L的比值.下文中由计算获得的对比图像中的实线与虚线的含义与此相同.

由图3可知，上端运动幅值对悬垂型细长体的运动响应幅值包络线有明显影响.上端运动幅值越小，λ也越小，即最小幅值点的轴向位置越靠近上端.当上端运动幅值减小时，细长体下端的运动幅值也随之减小，但下端运动幅值减小缓慢.最大幅值点出现在上端或下端：当上端运动幅值较大时，最大幅值点出现在上端；反之，当上端运动幅值较小时，最大幅值点出现在下端.最大幅值点变化的转捩点出现在λ=0.457 3～0.558 7 时，即最小幅值点在靠近细长体的中点位置.

图3 上端运动幅值对细长体运动响应包络线的影响Fig.3 Effect of upper end motion amplitudes on envelope of slender body motion responses

考虑在上端运动幅值和吊重质量不变的情况下，改变上端运动周期，分析其对细长体运动响应幅值包络线的影响.由于实际海况中，波浪周期一般在8～20 s内，所以计算当α=0.046，γ=0.50时，分别取β=0.046，0.138，0.184，0.230，0.276，0.322，计算获得的幅值包络线如图4所示，其中Δφ=π/10.

图4 上端运动周期对细长体运动响应包络线的影响Fig.4 Effect of upper end motion period on envelope of slender body motion responses

由图4可知，上端运动周期对悬垂型细长体的运动响应幅值包络线特性有明显的影响.当上端运动周期逐渐增大时，细长体最小幅值点的位置有向上端移动的趋势.约在β=0.322时，最小幅值点移动到上端，若此时继续增大周期，最小幅值点保持不动.最大幅值点在周期较小时，保持在上端不动；而当周期增大时，最小幅值点由下端向上端移动并在越过细长体中点位置后，最大幅值点由上端转移到下端.当β>0.322时，即达到临界周期，下端运动幅值开始减小，上下端运动幅值逐渐趋于一致.

考虑在上端运动幅值和上端运动周期不变的情况下，改变吊重质量对细长体运动响应包络线的影响.当α=0.046，β=0.069 时，并参考实际海洋工程吊重和管线的质量比值，分别取γ=0.25，0.31，0.38，0.50，0.75，1.00，计算获得的幅值包络线如图5所示，其中Δφ=π/6.

图5 吊重质量对细长体运动响应包络线的影响Fig.5 Effect of lower end weight on envelope of slender body motion responses

由图5可知，吊重质量对悬垂型细长体的运动响应幅值特性也有一定的影响.计算结果显示，随着吊重质量的增加，λ随之减小，即细长体的最小幅值点有向上移动的趋势，但吊重质量对其运动幅值响应的影响较小；当下端吊重质量逐渐增大时，细长体下端的运动幅值也随之增大，但吊重质量对下端运动幅值响应的影响同样较小.

3 结论

本文基于柔性分段模型的水下细长体动力学计算方法，改变上端运动幅值、上端运动周期和吊重质量3个参数，对悬垂型水下细长体运动响应幅值包络线的计算结果进行了对比分析，得到如下结论.

(1) 在上端水平周期运动情况下，细长体轴向各处的响应运动也为周期运动，各处响应特性不同.最小幅值点一般在细长体中间段，其相对位置会因上端运动幅值、周期和吊重质量的改变而上下移动；最大幅值点位置出现在细长体的上端或者下端.

(2) 最小幅值点位置的特征为在上端运动周期和吊重质量不变的情况下，最小幅值点随着上端运动幅值的增大，其相对位置上移；在上端运动幅值和吊重质量不变的情况下，上端运动周期的增大，最小幅值点的相对位置也会随之上移.但通过计算发现存在一个临界周期，当β=0.322时，在上端运动周期达到这个临界周期后，最小幅值点移动到最上端，若继续增大周期，最小幅值点将保持不动；在上端运动幅值和运动周期不变的情况下，吊重质量越大，最小幅值点越靠近上端，但吊重质量的变化对最小幅值点位置的影响较小.

(3) 最大幅值点位置的特征为最大幅值点一般都位于上端.考虑上端运动幅值的影响时，存在λ=0.457 3～0.558 7 时的转捩点，最小幅值点由下端向上端移动过程中，在转捩点处，细长体的上下形状接近对称，即下端运动幅值与上端运动幅值相同.越过转捩点后，最大幅值点由细长体上端移动到下端.考虑上端运动周期的影响时，上端运动周期达到临界周期后，最大幅值点由细长体上端移动到下端，但周期继续增大时，下端运动幅值开始逐渐减小，最终在运动周期足够大时，整个细长体上各点的运动幅值相同.

上端运动幅值、运动周期和吊重质量确实是影响悬垂型水下细长体运动响应幅值的重要因素，其对细长体上最大和最小幅值点的位置及幅值有明显的影响.在实际海洋工程问题中，对于钻井立管待入井、ROV的布放及多细长体共同作业等情况，可以通过适度改善这些参数的组合，提高工作效率及作业安全性，避免事故的发生.