由一个案例引发的对小学数学类比推理的思考

摘 要：作者从一个教学案例出发，对培养学生类比推理能力的策略进行了深入探究，从“顺承已有经验，搭建类比桥梁”“启发生活原型，达成类比抽象”“鼓励大胆猜测，实现直觉类比”三个方面，阐述了运用类比推理发展学生数学迁移能力的有效路径，以期能起到抛砖引玉之效。

关键词：类比推理;小学数学;教学策略

中图分类号：G427                                  文献标识码：A                                       文章编号：2095-9192（2021）34-0095-02

引  言

推理、抽象和模型作为数学基本思想已引起小学数学教师的重视。推理又分为合情推理和逻辑推理，类比推理属于合情推理的一种[1]。由知识经验正迁移而实现新知识的获得或新问题的解决，其实质就是运用类比推理的数学思想，最常见的便是“以此类推”。下面笔者从一个教学案例出发，对培养学生类比推理能力的策略展开深入分析。

一、源起：一个“以此类推”的教学案例

在解答“一部手机原价1000元，提价10%后又降价10%，现价是多少元”这种问题时，学生总是固执地运用整数运算经验来进行类推，得出的答案是1000元。究其缘由，学生认为“手机提价与降价的价格是一样的”。笔者从单位“1”的角度进行分析、解释，告诉学生提价时的“单位1”是1000元，而降价时的“单位1”却是1100元，“单位1”不一样，因而其提价与降价的价格也就不一样。学生貌似都能理解，可过几天再检测时，还是会出现现价是1000元的错误答案。笔者追问学生：“为什么提价10%后又降价10%，现价是不变的？”然而，学生竟然十分肯定地答道：“这个推理很简单。提价10%又降价10%，说明提价与降价的价格是一样的，现价当然就不变了。”笔者继续追问：“你能确定提价与降价的价格是一样的吗？”学生又不假思索地回答道：“一年级时就学会了，提价与降价都是10%，以此类推，现价与原价当然是一样的。”

二、思考：不可忽视类比推理的或然性

上述案例可以看出，“以此类推”的实质便是类比推理，即按照两个或两类不同研究对象的某些方面（如特点、规律、关系等）具有的相同或相似性，自然推导这两个或两类不同研究对象在其他方面也有可能相同或相似的一种思维方式。两个或两类不同研究对象无论外部形式上的相似、内部结构上的相似，还是过程方法上的相似，都可以进行类比。这种类比推理是小学阶段常用的一种推理方法，有助于提高学生解决实际问题的能力。然而，通过上述案例，教师需要理性思考的是在培养学生类比推理能力的同时，不可忽视类比推理所具有的或然性。不可否认的是，类比推理是合情推理的一种，也可称为或然推理，因而会出现其推理过程“貌似”合情合理，而往往在本质上二者间的条件和结论没有必然联系的情况。

上述案例，由于学生在一年级时已经学过了“增加与减少同样的数量，其结果不变”的知识，从而类推到“提价10%又降价10%，说明提价与降价的价格是一样的，现价当然就不变”。显然，一年级所学的知识经验是“增加与减少的是实际量”，而这里“提价与降价的是百分率，而非实际量”，这两种数量关系在外部形式上有一定的相似性，而内部本质却是不一样的。这样的类比推理显然给学生的思维造成了负迁移。

又如，在学习了“能被2、5整除数的特点”后，再学习“能被3整除数的特点”时，学生会自然而然利用之前的学习经验而类比推理到“个位上的数能被3整除，这个数就能被3整除”。当出现这种错误的类比推理时，教师应积极让学生通过自主举例验证其猜想是错误的。基于以上分析，笔者认为，应理性面对类比推理中的或然性。

三、实践：类比推理是发展学生迁移能力的有效路径

（一）顺承已有经验，搭建类比桥梁

众所周知，数学是一门逻辑性极强的学科，各个数学知识点之间存在千絲万缕的联系，每个知识点的学习都是建立在已有的知识经验上的再迁移、再整合与再提升。教师要及时捕捉学生在学习过程中对某个知识点产生“似曾相识”的感觉，并能及时地顺承学生已有的经验，启发学生展开比较和联想，找到新旧知识点之间的联系，为类比推理搭建桥梁[2]。

例如，在执教数学人教版五年级（下册）“异分母分数加减法”这项内容时，笔者直接快速地呈现“1/2+1/4=？” 让学生尝试计算。由于学生已有“整数加法计算方法”的知识经验被类比迁移了，结果出现的算法是分母与分子分别相加。显然，学生只停留在算式“外形”上的类比，而没有打通算法内部的联系。于是，笔者这样启发学生：“大家验证一下自己算得对不对？”接着，让学生分别回忆前面所学的整数加法、小数加法和同分母分数加法，并交流其算理，从而发现“整数加法、小数加法、同分母加法，共同的算理是相同的计数单位相加”。此时，学生类比推理产生了“分数加法也应该是相同计数单位才能相加”的猜想，因而要先将“1/2”与“1/4”转化成分母相同的分数。在学生明晰了“异分母分数相加”的算法后，教师再呈现“1/2-1/4=？”让学生计算，使学生能自然地从“异分母分数相加”的算法中类比推导出“异分母相减”的算法。

（二）启发生活原型，达成类比抽象

数学来源于生活，又高于生活。小学生的认知经验不足，且大多来自生活。因而，教师可以结合数学知识的特点，致力从生活原型中寻找数学的影子，让学生经历从生活原型类比抽象出数学概念的过程，进而发展学生的数学素养[3]。

例如，在执教“认识角”一课时，当笔者在黑板上板书课题时，学生便纷纷说出自己在生活中看到的各种角。于是，笔者将学生列举出的生活中的角用课件展现出来，让学生观察生活中的角具有哪些共同的特征。接着，笔者便利用课件动态展示“从生活实物剪刀、红领巾、墙角等图片上逐步抽象‘由一个顶点引出两条边的角’”。至此，学生建立了“生活中的角”与“数学概念上的角”的联系。然后，笔者再让学生用数学的眼光继续寻找生活中常见的角。这样的课堂教学立足学生的生活经验，启发学生通过类比抽象出数学概念上的角，促使学生主动建构清晰而立体的数学模型。

（三）鼓励大胆猜测，实现直觉类比

在数学教学中，教师应根据数学知识与学生思维之间的距离，巧妙创设平台，通过核心数学问题来启发学生进行大胆猜测，促使学生进行数学直觉类比，从而发展学生的类比推理能力，实现学生数学素养的全面提升[4]。

例如，在教学五年级上册“长方体的体积”这一内容时，教师可在课堂伊始先让学生回忆一下“长方形的面积计算”公式的推导过程，并重点抓住“要计算长方形面积的大小其实质就是测量其含有多少个1cm2，这个长方形就是几cm2”。于是，学生从“长方形的面积计算”大胆地猜测出“长方体的体积计算”，提出了“要算长方体的体积实质就是要数出有几个1cm3的小正方体，这个长方体就是几cm3”的猜想。有了这样的猜测后，教师再引导学生动手操作来验证其正确性，使学生进行深度学习。又如，有了常用面积单位1cm2、1dm2、1m2的知识经验后，学生在学习“长方体的体积单位”時，便可以大胆猜想，从而自然类比推理出常用的体积单位应是1cm3、1dm3、1m3。

结  语

类比推理是合情推理的一种，是一项重要的数学素养，更是发展小学生数学迁移力的有效路径。教师应积极为学生搭建类比推理的平台，提供类比推理的素材，提供类比推理的线索，促使学生主动积极地进行类比联想与猜测，提升举一反三、触类旁通的能力，培养数学学科核心素养。

[参考文献]

[1]安玲.浅谈建立物理模型的思维方法[J].新疆教育学院学报，1998（01）：60-62.

[2]张丽，傅广辉.探寻算理与算法的融合之径：异分母分数加减法教学与评析[J].教育研究与评论（小学教育教学），2016（03）：7.

[3]刘兆群.小学数学类比推理思想切点挖掘[J].数学大世界，2020（10）：44.

[4]刘凤华.“类比推理”在小学数学教学中的应用研究[J].试题与研究，2020（28）：117-118.

作者简介：黄凤森（1978.6-），男，福建莆田人， 一级教师。