“追根溯源”显本质 化归模型巧探究

摘 要：文章以排列组合教学中的模型化探究为例研究了如何用“特征分析”“多例归纳”“图形辅助”等方式“追根溯源”，进行模型化探究。

关键词：模型化探究;特征分析;多例归纳;图形辅助

弗赖登塔尔说过“数学教育是数学的再创造”，数学课堂上学生的探究活动对于他们的知识建构和学科素养的培养都有十分重要的意义，因此如何创设一系列引导式問题，形成一个层层递进的问题链，使学生顺利完成数学问题的探究是一项非常值得研究的重要课题。模型化探究是数学探究的一种重要方式，在排列组合问题中模型化又是核心的解题思想，所以在排列组合教学中经常涉及模型化探究。

一、 排列组合问题中的基本模型

排列组合问题中最基本的两个模型是排队问题和分类抽取问题，排队问题是排列应用题的基本模型，而分类抽取问题是组合应用题的基本模型。

【例1】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数。

（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端;

（2）全体站成一排，其中甲、乙必须在两端;

（3）全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排;

（4）全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端;

（5）全体排成一行，其中男生必须排在一起;

（6）全体排成一行，男、女各不相邻;

（7）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变。

解：（1）先排甲，有A13;再排其余六人，有A66。故共有A13A66=2160（种）。

（2）先排甲、乙，有A22;再排其余5人，有A55。故共有A22·A55=240（种）。

（3）先排女生甲、乙，有A23种方法;再排男生丙、丁，有A24种方法;最后排剩余的3名同学，有A33种方法。共有排法A23·A24·A33=432（种）。

（4）（特殊元素优先法）按甲是否在最右端分两类：

第一类，甲在最右端，有A66种排法;

第二类，甲不在最右端时，甲有A15种排法，而乙也有A15种排法，而其他人有A55种排法，有A15A15A55种排法。故共有排法A66+A15A15A55=3720（种）。

（5）捆绑法：将男生看成一个整体与其他4人进行全排列有A55种排法，整体内部进行全排列有A33种排法。共有排法A33A55=720（种）。

一般地，元素相邻问题用“捆绑”法：①把相邻元素看做一个整体;②把这个整体看成一个元素与其他元素排列;③整体内部进行排列。

（6）插空法：先排男生，有A33种;再将女生排入男生之间（包括两侧）的四个空位，有A44种。共有排法A33A44=144（种）。

一般地，元素不相邻问题用“插空”法：①先将不受限制的元素排列;②再将不相邻元素排入前面元素之间的空位中。

（7）空位法：设想有7把椅子，让甲乙丙除外的四人先就座，有A47种方法，其余的三个位置甲乙丙按顺序就坐，有1种坐法，则共有A47=840种方法。

倍缩法：7个人全排列可分两步

第一步，固定甲、乙、丙3人从左到右的顺序，将7人排队，设排法总数为N;

第二步，对甲、乙、丙3人进行全排列，有A33种排法。

因此有A77=N×A33，∴N=A77A33=840种。

一般地，元素定序问题用“倍缩法”：①先把这几个元素与其他元素一起排列;②用总排列数除以这几个元素的全排列数。

解决排队问题，要抓住“一个本质，三种基本方法，五项特殊方法”。

一个本质：元素有限制要求的排列问题。

三种基本方法：（1）用两个原理计数;（2）用排列计数;（3）排除法。

五项特殊方法：（1）特殊位置优先法;（2）特殊元素优先法;（3）相邻问题：捆绑法;（4）不相邻问题：插空法;（5）定序问题：空位法和倍缩法。

【例2】 按下列条件，从10人中选出4人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选;

（2）甲、乙、丙三人不能当选;

（3）甲必须当选，乙、丙不能当选;

（4）甲、乙、丙三人只有一人当选;

（5）甲、乙、丙三人至多1人当选;

（6）甲、乙、丙三人至少1人当选。

解：（1）有C33·C17=7种方法;

（2）有C03·C47=35种方法;

（3）有1·C37=35种方法;

（4）有C13·C37=105种方法;

（5）有C47+C13·C37=140种方法;

（6）有C410-C47=175种方法。

解分类抽取问题，应抓住三点：

1. 弄清抽取的元素的要求;

2. 抽取多类元素要分步进行;

3. 解决至多和至少的问题用分类法和排除法。

二、 “特征分析”现本质，化归模型巧探究

模型化思想就是要挖掘问题的本质，让形形色色的问题回到最基本模型，因此拿到一道排列组合问题，首先要对其进行特征分析，判断它是否属于最基本的问题模型。

排队问题的基本特征是：①若干元素按一定限制要求排列;②元素之间有顺序。

分类抽取问题的基本特征是：①元素分为若干类;②从这些元素中按一定限制要求进行抽取。

【例3】 夏季用电高峰期间，为保证居民正常用电，某一段马路上原有的九盏路灯需关掉其中三盏，但相邻的两盏路灯不能同时关掉，两头的两盏路灯也不能关掉，问一共有几种熄灯方法？

对于这道问题，不少学生会感到困惑，在学生思索之后，可提出两个问题引导學生进行探究：

问题1 该例子中是否有若干元素按一定限制要求排列？

学生可以发现一种熄灯方法就是六盏亮灯和三盏黑灯的一种排列，其中三盏黑灯是不相邻的。

问题2 路灯与路灯之间有顺序吗？

学生可以发现六盏亮灯之间没有顺序，三盏黑灯之间也没有顺序，但亮灯和黑灯之间有顺序，没有顺序的六盏亮灯或三盏黑灯之间也可以排列，但排法只有一种。

问题3 一种熄灯方法的本质是什么？

经过这两个问题的探究，学生就可以把该问题归结为元素不相邻的排队问题，从而用插空法加以解决。解法如下：①先排六盏亮灯，只有一种排法;②再把另外三盏黑灯插入六盏亮灯之间的五个空位中，有C35种方法。因此共有C35=10熄灯种方法。

【例4】 平面内有7个点，其中4个点在一条直线上，此外其余任意3个点都不共线，这7个点可确定多少条直线？

对于这道问题，学生也会一时无从下手，可提出以下问题引导学生进行探究：

问题1 该例子中7个点可分几类？

学生马上发现7个点分为两类，第一类是共线的4个点，第二类是其余3个点。

问题2 一条直线对应几个点？

学生立即想到直线由两点确定。

问题3 如何从这7个点中抽取2个点？

学生可以发现抽取方法分为三类：第一类是从共线的4个点中抽取两个，但任选两个点所得的是同一直线，第二类是从其余3个点中抽取两个，第三类是从共线4个点中抽取1个点，从其余三个点中抽取1个点。

经过以上问题的探究，学生就可以把该问题归结为分类抽取问题，并用分类法加以解决：共有1+C23+C14·C13=16条直线。

三、 “多例归纳”找本质，化归模型巧探究

有的时候，通过特征分析很难找到问题的本质，我们可考虑从具体的例子中归纳找到其本质。

【例5】 如图，小明从街道的A处出发，到B处（老年公寓）与小红会合参加志愿者活动，则小明到B处可以选择的最短路径有几条？

该题中最短路径的本质是什么呢？显然通过特征分析很难发现什么，我们要考虑从例子中归纳出问题的本质：

问题1 试画出两条最短路径;

问题2 试分析两条路径中向上、向右的步骤各有几步，分别在哪几步？

问题3 最短路径的本质是什么？

学生可以发现最短路径的本质是从9步中选出向上的4步的一种方法。所以共有C49=126条最短路径。

四、 “图形辅助”获本质，化归模型巧探究

对于一些抽象的计数对象，我们可以通过图形辅助使之直观化，从而获取其本质。元素重复的分组问题，就可以借助画隔板的方法转化为简单的组合问题。

【例6】 10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？

该题中的分配方法显然难以一一列举，但如果用排列组合计数又很难发现起本质，即使举例研究也无济于事，怎么办呢？在教学中可以用用图形辅助引导学生发现问题的本质：

问题1 下图代表一种典型的分配方法，大家能否说出这种分配方法？

学生稍加思索，就可以答出：这代表1班2个名额，2班一个名额，3班两个名额，4班两个名额，5班1个名额，6班2个名额。

问题2 如果让1班得到3个名额，2班1个名额，3班1个名额，其他班名额不变，隔板的位置应该如何调整？

学生很快得到答案。

问题3 一种分配方法的本质是什么？

学生可以发现用这样的图形辅助就很直观地显现了分配方法的本质是5块隔板插入10个小球（代表指标）9个空隙中的一种方法，所以共有C59=126种分配方法。

在模型化探究中，最关键的问题是引导学生进行“追根溯源”，从而发现问题的本质，排列组合的教学实践告诉我们，“追根溯源”有三招：一是“特征分析”，二是“多例归纳”，三是“图形辅助”，应用这三种方式引导学生进行模型化探究时，都要注意设置好“问题串”，环环相扣，由此及彼，以设问启发学生，引导他们积极主动地完成这种生成性探究。

这三种探究方式有着内在的联系，“特征分析”是三者核心，“多例归纳”就是通过多个例子的比较分析让“本质特征”浮出水面，“图形辅助”是通过图形的直观性帮助我们洞察“本质特征”。

参考文献：

[1]朱清波，曹广福.例谈探究式解题课教学[J].数学教育学报，2020，29（2）：49-52.

[2]侯有岐.基于核心素养的高中数学问题驱动式教学实践研究[J].数学教学研究，2020，39（2）：2-6.

[3]何志奇.高中数学新型课堂构建的实践研究[M].世界图书出版公司，2013：150-160.

作者简介：

黎平，浙江省丽水市，丽水学院附属高级中学。