子环与理想的应用

2021-01-16韩荣梅内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院

环球市场 2021年12期

韩荣梅内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院

子环与理想子环在具体的解题实例中有怎么样的应用。首先最基本的解题应用就是给定一个环R，从中找到相应的子环与理想，这时就结合了判定子环的充要条件：或者是结合判定理想的充要条件：

在理想中，主理想是非常重要的一部分，题型中往往会涉及证明给定一个确定的环R，然后证明两个主理想间是否具有相等的关系。这时，往往还是回归到理想的定义进行求解。当然，素理想与最大理想也是其核心内容，在具体的实例也有重要和广泛的应用。比如给定一个环，让你在其中找出素理想或者是极大理想。这时我们就要联系构造素理想或者是极大理想的充要条件来进行判定。

一、关于基本定理的应用

定理1：P 是有单位元的交换环R 的一个理想，则P 是R 的素理想当且仅当R/P 是整环。

定理2：M 是有单位元的交换环R 的一个理想，那么M 是R 的最大理想当且仅当D/M 是域。

例1：一个环R 的两个子环S1与S2的交仍为R 的子环。

二、证明一个理想的充要条件与主理想的应用

如果我们假设环R 是一个整数环，证明（3，7）与（1）这两个主理想相等。

解决这个题目的核心还是要用到判定一个理想的充要条件，而我们可以把主理想（1）可以看成是R，即有（1）=R。

证明：因为（3，7）是R 的理想，而R又是整数环，所以存在使得又因为所以有就有而R=（1），所以就有并可最终推出（3，7） =（1）。

三、素理想与极大理想的判定的应用

去找出一个环的素理想与极大理想，这时我们首先应当掌握的是这个环的特性，是属于整数环，是属于模剩余类环还是属于其它类型的环。

进而我们再根据构成素理想或者是构成极大理想的定义来进行判断。例如我们可以比较容易判断得出单位理想必定是一个素理想。而当R 是无零因子的交换环时，零理想也是素理想。而如果一个环R 中只包含平凡理想，则零理想就是R 的最大理想。以及还可以根据如果p 是一个素数，那么（p）也是整数环Z 的素理想与果p 是一个素数，那么（p）是整数环Z 的最大理想。

如：找出整数环Z 与模12 剩余类环Z12的所有最大理想与素理想。

解：通过上述我们易知

Z 的素理想是：{0}， Z，（p）其中p 是素数

Z 的极大理想是：（p）其中p 是素数

Z12的素理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2],[4], [6], [8], [10]}，Z12

Z12的极大理想是：{[0],[3],[6],[9]}，{[0],[2], [4], [6], [8], [10]}。