线性代数课程“线上”+“线下”混合式教学模式研究与实践*

朱 青

(菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽 274015)

线性代数是理工类专业的一门基础课程，是学习一些后继课程的前提与工具.伴随着科学技术的快速发展，线性代数已经渗透到社会发展的众多领域，其重要性不言而喻.但是线性代数课程较为抽象难懂，传统的教学模式下很难调动学生的积极性，学生的思维能力和应用能力较为薄弱，自主学习能力得不到相应的培养和提高.随着信息化技术的快速发展，高等教育面临着新的挑战和改变，慕课、翻转课堂、混合式教学等一些新的教学理念和教学形式应运而生.基于“慕课+翻转课堂”的混合式教学既可以发挥教师的引导作用，又可以提高学生的积极性和自主学习能力，为线性代数课程注入了新的活力.

1 混合式教学模式的理念与形式

1.1 教学理念

在国外的研究中，认为混合式学习一般采用多种知识传递方式，既可以降低学习的成本，又可以优化学习产出，最早出现于教育行业和企业培训，是一种较为高效的学习方式.在国内的研究中，北京师范大学何克抗教授最早提出了混合式学习的概念，他认为混合式学习要把传统的课堂教学与互联网在线教学有机结合起来，充分发挥两者的优势，在教学过程中既强调教师的启发、引领和管理的作用，又强调学生的学习主体地位，充分培养学生学习的积极性与主动性.混合式教学以人本主义、建构主义等教学理论为依据，坚持以学生为主体，注重学生学习的自我建构，是一种创新的教学模式.

1.2 教学形式

线性代数课程开展混合式教学模式，依托网络学习平台，采用“慕课+翻转课堂”的形式，实现“以教为中心”向“以学为中心”转变.通过教学模式的创新，全面提升学生的知识、能力和素养水平.慕课主要针对线上教学，具有开放、规模大的特点；翻转课堂则是线下教学的一种有效形式，融合了启发式、任务式、讨论式等一些教学方法，培养学生思考问题、解决问题的能力.混合式教学将“慕课”与“翻转课堂”相结合，融合“线上教学”和“线下教学”的优势，充分实现高效学习，全面提升学生的认知能力和认知效果.

2 线性代数课程混合式教学模式的设计与实施

菏泽学院线性代数项目组成员通过开展混合式教学实践，完成微课视频的录制及上传；完善超星教学平台的测验、讨论、抢答、知识扩展等各种功能；制定混合式教学设计方案，并建立案例研究；建立合理的成绩评价机制.经过任课教师的努力探索，积累了一定的教学经验，获得了学生的支持与好评.下面以菏泽学院线性代数课程为例，从课前、课中、课后三个方面，给出混合式教学模式的设计与实施方案.

2.1 课前环节

1)制作慕课

课前利用Camtasia软件，录制教学视频.在录制视频时，可以利用手写板在PPT里面进行标识和注解，便于学生的理解.视频用作课前预习用途，不是传统课堂教学的重复，因此不需要录制所有内容，只需要包括概念、定理、性质、解法等一些基础知识，以及个别例题即可，时长不宜过长.一方面，如果视频时长过长，学生课前难以完成；另一方面，要留出一部分内容，课堂中开展讨论、练习、展示等活动.

2)上传学习资料

将教学视频、课件、拓展阅读等相关资料上传至超星教学平台，并发布教学目标、教学重难点及自主学习任务单，督促学生进行课前预习.以“行列式的性质”为例，课前给出自主学习任务单：(1)利用定义计算行列式有什么缺点？(2)行列式中的行和列是否具有同等的地位？(3)行列式有哪些性质？(4)利用行列式的性质，能否把行列式化为上(下)三角行列式进行计算？(5)利用性质计算行列式有哪些技巧？在学习任务的引领下，培养学生的自主学习能力，克服学习惰性.

课前还可以对线性代数在不同领域的应用给出简单介绍，让学生提前了解相关知识背景，方便在课堂中针对这些问题开展研讨.以“逆矩阵”为例，课前向学生发布密码学中有关密码、明文、密文、编码、译码等一些基本概念，以及利用逆矩阵进行加密、解密的基本原理，让学生提前了解矩阵理论与密码编译之间的关系，为开展翻转课堂做好准备.

2.2 课中环节

1)考察任务完成情况

上课后，针对自主学习任务单的问题，随机选人进行提问，或在学习平台给出测试题，学生完成后，根据平台统计的正确率，了解学生的课前预习情况.通过上述环节，掌握学生学习的疑难点和薄弱环节.

以“矩阵”、“行列式”为例，通过考察学生自学情况，发现有些学生对矩阵、行列式的理解存在一定的问题，主要包括：(1)概念理解不清，矩阵是“数表”、行列式是“数”；(2)行数、列数的要求区别不清；(3)书写形式混淆；(4)运算法则理解不清，例如若A,B为n阶方阵，则|kA|=kn|A|，|A+B|≠|A|+|B|，|AB|=|BA|，|AB|=|A||B|.上述问题学生往往理解的不深入，容易出错，在接下来的课堂教学中教师要进行详细的分析与讲解.

2)答疑解惑，重点讲解

对学生不明白的知识，教师进行认真讲解，推理论证过程尽量手写，加深学生的理解.另外，对于复杂的知识结构，以及常用的运算方法、技巧，教师要进行总结.以“三阶行列式的定义”为例，对于某些学生来说，不明白展开式中的6项怎么得到的.这时要求教师对概念进行详细讲解，在黑板上写出由123所组成的所有三级排列，即123、132、213、231、312、321，一共6个，分别对应每一项的列标，另外再结合这6个排列的奇偶性，分析每一项前面的符号.通过老师的讲解，学生对知识有了全面、正确的理解.

3)提出问题，分组讨论

主要知识讲解完成后，提出几个问题，考察学生对于数学知识的应用能力.学生分组展开讨论，教师通过超星平台的选人或抢答功能，选择两名学生，将其小组讨论结果拍照上传至超星平台，请他们给大家汇报解题思路、论证过程以及运算结果.老师对学生的汇报进行分析、总结，指出其中存在的问题，避免其他学生再次出现类似的错误.如果学生做法正确、过程书写标准，则给予鼓励和褒奖，以此激励学生的进一步成长.另外，通过小组讨论、汇报的环节，还可以培养学生的协同合作能力.

以“利用初等行变换化行最简形矩阵”为例，不同的学生给出了不同的化简步骤，通过对比分析，总结方法技巧，让学生明白怎样选择化简步骤比较简单.

以“向量组的秩与矩阵的秩”为例，在讲授了两者的概念、求法与关系后，引导学生把“向量组的秩、矩阵的秩、向量组的极大无关组”与“线性方程组”联系在一起，向学生提出问题：“当增广矩阵的行向量组线性相关时，线性方程组有多余的方程，请结合所学知识，分析有多少个多余方程，多余方程的个数由什么确定？[1]并给出一个具体的例子进行分析.”通过开展小组讨论，学生对知识的理解不再是单一与刻板，而是变得更加深入与灵活.

4)知识扩展，提高能力

根据学时安排及教学进度情况，对现有知识进行一定的扩展，拓展学生的知识面，培养学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养.主要从以下三个方面进行知识的扩展：(1)线性代数包含的数学思想、数学文化及发展历史；(2)基于Mathematica或MATLAB的线性代数实验案例；(3)线性代数在经济学、密码学、工程学、生物学、运筹学等领域的应用案例.例如，给出斐波那契数列问题：如果一对兔子出生一个月后开始繁殖，每个月生出一对后代，现有一对新生兔子，假定兔子只繁殖没有死亡，问第k月月初会有多少对兔子？[1]可以借助于矩阵的特征值与特征向量来求解该问题.

以线性代数在密码学中的应用为例，通过引入希尔密码，把26个英文字母与26个数字一一对应，将要发送的单词字母从左到右, 每m个字符分为一组, 最后不足m个字符的用空格补上，对应得到一个编码矩阵B，然后选择一个加密矩阵A(可逆矩阵)，用A左乘B,得到密文矩阵C,即C=AB.让学生用A的逆矩阵A-1左乘C, 即可得到译码矩阵A-1C，然后将译码矩阵用对应英文字母表示就可以得到原信息[2].课堂上学生通过讨论与演算，了解了加密、解密过程，课堂气氛活跃，学生的学习兴趣和积极性得到了很大的提升.

2.3 课后环节

1)布置作业

课后布置作业，学生完成后上传至超星教学平台，教师进行评阅，也可以尝试学生互评.另外，要求学生上传思维导图，由于线性代数的概念较多，矩阵、行列式、方程组、向量组之间存在千丝万缕的联系，随着学习的深入，学生难以把握里面复杂的关系，思维导图有助于学生建立知识的联系网络.

2)个性化辅导

通过QQ、钉钉等工具，建立班级群，课后进行师生之间、生生之间的互动和交流，开展个性化辅导.对学生提出的问题进行归纳总结、分类研究，在网络教学平台上建立问题库并给出相应解答，为以后各级学生提供教学服务.

3)教学评价

依托超星教学平台的数据统计功能，将考勤、课前预习、课堂抢答、讨论、作业等环节的学习数据进行导出，计算出平时成绩.然后将平时、期中、期末三项成绩按照一定的比例计入考试评价系统.由于混合式教学包括线上和线下部分，因此特别要注重过程评价，一方面可以督促学生注重平时学习表现，另一方面，过程评价符合混合式教学的教学理念.

3 线性代数混合式教学中出现的问题与建议

通过开展混合式教学实践，在教学过程中出现的一些问题值得我们思考与探讨，下面从教学安排、学习管理、学时分配、慕课形式四个方面给出一些建议与参考.

3.1 教学安排

开展混合式教学，并不意味着每节课都要进行混合，或者每个教学环节都要混合，也不意味着一定照搬固定模式，文中给出的教学设计只是一种参考.教师应结合课程特点，采用灵活多样的形式，做好教学设计与安排.由于线性代数重视逻辑推理，较为抽象难懂，个别章节内容较难，学生看视频难以看懂，反倒打击了学生的信心和积极性.这时，需要教师根据实际情况安排学习任务，不要拘泥于固定的模式，灵活开展混合式教学活动.

3.2 学习管理

混合式教学需要学生课前预习，这就对学生的自律性和自主学习能力提出了较高的要求.为此，首先加强学生的学习管理，提高学生的自律性；其次加强学习服务，通过定期开展学习方法指导、学习经验交流活动，教会学生如何自主学习.另外，混合式教学坚持“以学生为主体”的教学理念，教学过程与教学环节需要学生的参与和配合.如果学生不积极参与，可能会出现无人抢答、发言的尴尬情况.因此，需要通过多种方式提高学生的学习兴趣和积极性，让学生积极参与混合式教学活动.

3.3 学时分配

根据混合式教学设计理念与设计思路，需要留给学生一定的自学时间，通过观看视频，完成课前预习任务.但根据实际教学情况观察发现，学生白天学习任务较重，基本上只有晚自习时间可以自由安排，同时面对几门课的预习任务，学生很难保质保量完成.同时考虑到有些学生的自律性较差，课下无人监督的情况下较难完成自学任务.因此，在实际教学中，可以考虑将前30 min时间留出，用于开展混合式教学的课前预习环节，后面70 min开展翻转课堂教学环节，这样使得混合式教学得以顺利开展，教学效果较好.

3.4 慕课形式

课前预习的慕课视频，任课教师可以自行录制，教师使用较多的录屏软件有Camtasia、EV录屏等.另外，也可以利用网络资源，目前使用较多的资源平台有中国大学慕课、超星、智慧树、学银在线等，在线资源数量较多、内容丰富.任课教师录制视频可以根据学情，把握难度、深度，以适合本校学生使用.但一般情况下视频效果一般，教师一般不入镜，并且缺乏后期剪辑、美化等深层次制作，观赏性一般.网络教学资源的优点是经过精心制作，尤其是国家级精品课，从内容到形式都非常优秀.但同时也存在一些问题，比如教材匹配度以及难度深度问题，另外在线视频资源内容设置太过完整，一方面加大了学生的预习难度，另一方面没有为翻转课堂教学留够一定的素材和空间.

以上两种方式各有优缺点，教师可以根据具体教学情况灵活安排，不局限于某一种方式，两种方式可穿插使用.另外，在线资源有些章节内容较难较多，教师可以安排学生观看其中一部分，剩余内容可以留到课上开展翻转课堂.

4 结语

混合式教学坚持以学生为主体的教学理念，利用网络教学平台，将慕课和翻转课堂进行有机结合，是一种新型的教学模式.在这种新的模式下，教师应积极转变角色，探索新的教学策略与教学方法，制定相应的授课计划，满足不同专业、不同层次的学生需求.通过开展线性代数混合式教学，学生的自学能力以及分析问题、解决问题的能力有了显著提高.