线上线下一体化教学研究与实践——以打造线性代数金课为例

周永强，李燕娟

(1.兰州理工大学 理学院，兰州 730050； 2.兰州交通大学 博文学院 教务处，兰州 730000)

2018年6月21日，教育部部长陈宝生在新时代全国高等学校本科教育工作会议上首次提出“金课”概念[1]。同年11月24日，教育司司长吴岩在第十一届“中国大学教学论坛”上作了题为“建设中国金课”的报告，该报告中将“金课”概括为“两性一度”，即“高阶性、创新性、挑战度”[2]。陈建龙基于东南大学线性代数的教学实践，从讲清几个关系、重点与难点的处理、挑战与深化三方面给出了具体的教学方案[3]。李艳艳将线性代数课程线上利用中国大学MOOC、全国高校数学微课程教学设计竞赛一等奖的获奖作品，线下采用翻转课堂、案例式、探究式教学[4]。单陆冬栋提出了线上与线下联合、实现一体化并与“互联网+”相结合的混合式教学模式[5]。

1 以学生为主体，教师为主导，线上线下教学深度融合

线性代数32学时中，16学时为线上直播，16学时为线下讲授，穿插进行，线上线下有机结合。

线上直播前，对于学生：利用中国大学MOOC、超星泛雅平台、全国高校数学微课程教学设计竞赛一等奖的获奖作品、雨课堂等资源预习自学；在平台上签到。对于教师：提醒学生课前预习；提前制作PPT或学科组集中备课制作PPT或使用优质在线资源；准备随堂提问内容、作业题目；做好直播的课堂设计(设计内容讲解时间、应用案例、相关故事等)。

线上直播中，对于学生：对于自主学习时遇到的问题，随时在直播课堂中提问；做好课堂笔记。对于教师：在线直播本节内容；解答学生提出的问题；为了避免线上直播时学生存在“挂机”情况，增加课堂互动(可随时提问、讨论)，减少线上直播的不可控性。

线上直播后，对于学生：消化本节课所学知识；完成教师布置的作业，以班级为单位，注明专业+名字+学号，集中发给各班学习委员，由学习委员打包发给教师。对于教师：总结经验，撰写课程小结；查阅作业，给学生反馈存在的问题。

线下讲授中，教师要合理设计讲授内容。线性代数包含的理论性知识点较多，对于相对抽象的内容，仅仅通过优质在线资源预习和线上直播，很难能使学生深刻理解和熟练应用。因此，教师进行线下教室“面对面”讲授很有必要，比如矩阵的乘法、矩阵的秩、向量组的线性相关性等内容，通过黑板板书并结合案例讲解更容易被学生接受和理解。

2 打造线上线下一体化协同教学金课，完成课堂从“单工”到“全双工”的参与式创新性转变

学生返校后绝大部分高校要采用线下教学，在此背景下，如何线上线下一体化协同教学，改变传统教学教师的“单方面输出”，将课堂从“单工”到“全双工”的参与式创新性转变，是本文研究的主要方向。

线下课堂教学之前，督促学生基于“互联网+”，利用碎片化学习时间搜集查阅丰富的线上网络资源，线上讲授之后将重要知识点录制15～20 min微课，定期推送给学生。线上搜集工作不宜过多，而且要有一定的趣味性、创新性、高阶性，以便激发学生的兴趣。下面通过线性代数中的几个重要知识点，研究与实践线上线下一体化协同教学：

第一，线下讲授克拉默(Cramer)法则之前，先向学生提出问题：Cramer法则是不是Cramer最先提出来的。一般情况下，用人名来命名一个法则或定理，这个法则或定理多半是由这位数学家做出来的，但Cramer法则却是个例外，以此引发学生的好奇心。在好奇心的驱使下，学生会主动线上查阅Cramer的生平、学习经历、主要著作等。学生查阅资料的过程也是学习的过程，也能启迪学生思考与探索。1750年，Cramer在其著作“代数曲线的分析引论”中，为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“Cramer法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式，但该法则于1729年就由英国数学家麦克劳林得到了，于1748年发表，Cramer的优越符号使之流传，这提示学生合理使用符号的重要性。

完成Cramer法则的线下讲授之后，将Cramer法则定理、逆定理、齐次线性方程组只有零解及有非零解的条件等知识点录制15min左右视频，以微课形式推送给学生，以供学生线上利用碎片化时间学习。

第二，线下讲授齐次线性方程组解的结构之前，为了说明系数矩阵的秩在线性方程组中的含义，即系数矩阵的秩表示“齐次线性方程组中真正起作用的方程的个数”，安排学生线上重温“韩非子·内储说上”中“滥竽充数”的故事。学生能够在重温故事中了解到齐宣王的300人吹笙乐队中，其实只有除南郭处士之外的299人会吹，也即是乐队中真正起作用的只有299人，就好比系数矩阵的秩表示齐次线性方程组中真正起作用的方程的个数。齐湣王继位之后，好一一听之，不会吹笙的南郭处士在乐队中就无立足之地了。本故事还具备思政效果，教育学生学得真本领方能立于不败之地。

完成齐次线性方程组的线下讲授之后，将n元齐次线性方程组只有零解及有非零解的充要条件、基础解系的求法、通解的表示录制20min左右视频，以微课形式推送给学生，以供学生线上利用碎片化时间学习。

第三，线下讲授方阵的特征值与特征向量之前，先让学生线上做两个工作：其一，查阅一个故事，即动力系统与斑点猫头鹰：1990年，在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上，北方的斑点猫头鹰成为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止，猫头鹰将面临灭绝的危险。数学生态学家R.Lamberson加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究，并建立了种群模型形如的差分方程。这种方程被称为离散动力系统，描述系统随时间推移的变化过程。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键。让学生了解特征值与特征向量出现的一个应用背景。其二，线上搜集A.L.Cauchy(柯西)、A.Cayley(凯莱)等在特征值与特征向量方面做出的突出贡献。

方阵的特征值与特征向量线下讲授时给出定义：Aξ=λξ。这是一个神奇的定义，因为一个偌大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，这与学生线上查阅的资料相呼应，加深学生对本部分内容的理解。

3 结语

线上线下一体化教学深度融合，将打破传统课堂“填鸭式”、“单方向输出”及原有线上教学“孤立化”的学习模式，线上线下一体化教学将成为一场适应时代潮流的教学内容、教学方式方法的革命。