浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用

杨龙琴

摘要：伴随新课改的逐渐深化推进，分类讨论在高中数学解题中得到推广及运用。分类讨论思想是一种具有逻辑性解决数学问题的办法，也是一种数学思维，在简化研究对象、发展思维层面上起着至关重要作用。在高中数学解题过程中，运用分类讨论能够把数学题目所研究的对象进行分解，把复杂的问题简单化，降低问题难度，从而帮助高中生发展数学思维。

关键词：分类讨论  高中数学  解题应用

引言

分类讨论思想对学生看待问题的角度起着决定性的影响作用，教师运用分类讨论思想时需要在待解决的问题中提取特征点，并联系同类问题帮助学生建立问题的分类标准，这是教学中的重中之重。学生也可以通过学习提取问题特征点并联系同类问题，进而更好地理解知识的重难点，从而掌握这一类型问题的解决方法，在遇到不同的數学问题时能做到触类旁通、举一反三。

一、对分类讨论思想的相关认识

（一）分类讨论的原则

一致性原则 问题中给出对象时，分类需要根据统一标准来进行，每划分一次不能同时使用几种分类标准

相斥性原则 分类后的每一个小项应是互不相容的，也就是说，每一个小项间需维持互相排斥关系，分类之后数学元素不可专属于某一个小项

层次性原则 对高中数学对象的分类也是有次数之分的，可多次划分或一次划分。然而多次划分是将分类的子项还可以再进一步分类，直到不能够再次进行分类，即所有结果符合需求

完善性原则 划分后各类子项的总和需与母项相等，即解决数学问题运用分类讨论时，步骤需要完善，从而得出正确结论

（二）分类讨论的思想

分类就是将问题按照各自的属性进行特征点的提取，再结合数学知识中的概念，将不同的问题归纳成多个类型。而为了方便解出一类问题的答案，对问题进行抽象化和简化，之后再进行分类，这就是数学中的分类讨论思想。分类讨论思想常见的几种类型主要有数式分类、函数分类、三角形分类以及圆的分类等。数式分类主要是指数学课本中出现的公式、特殊数字以及一些公理和定理，函数分类是对一些带有参数的指数或对数函数等进行的分类，三角形和圆的分类主要是对解决和图形有关的几何问题进行的分类。

（三）分类讨论的标准

分类讨论可将分类换作划分，按照对象的差异特点与相同特点，将其分为不同类的逻辑办法，而在高中数学范围的划分是依据数学对象的差异特点与相同特点，同时数学对象也分为不同种类。

二、分类讨论在高中数学解题中的应用

（一）在概率中的运用

在解答概率题目时，科学地运用分类讨论思想可有助于高中生较好地处理问题及解答问题。在具体解答概率问题时，高中生需根据问题实际对其实施分类，掌握问题所属的概率类型，并在此基础上再实施分类剖析，而后方可获得相对答案。在具体解题中，一般采用以下顺序加以解答：先要融合问题中给出的条件来确立题目类型，明确其属于哪种类型题。在明确题目类型后，就可对题中要素加以剖析，在剖析期间便能通过分类讨论思想来对题中解答对象变量实施假设剖析，把存有任何可能性列举出来，然后逐一实施针对性的剖析讨论，最终便可算出正确结果。

（二）在空间几何中的运用

课本知识是固定的，但教师的教学方式是多样的。最简单的教学方式就是传授知识，将课本知识如数讲述给学生听。比如在学习《空间几何体》这一课时，教师直接给出各种几何体的相关图形要求学生进行记忆，就是最传统的教学方法。还可以将教学内容展开，进行分类讨论思想渗透。教师可以向学生展示多个不同形状的物体，让学生画出自己看到的物体形状。因为角度不同，学生看到的物体截面也会不同。这时候教师就可以让学生自由讨论思考哪些同学看到的截面是一样的，看到相同截面的同学与物体的距离、角度之间又有什么关系，不同的物体之间又是否会出现相同的截面等问题，帮助学生在实际问题的解决过程中提高分类讨论的能力。这种教学方法结合具体的例子启发学生发散思维，联系学到的数学知识和利用分类讨论思想寻找问题的解决办法，在教授课堂知识的同时锻炼了学生的抽象分类能力和交流讨论能力，帮助学生形成了一种良好的数学思维。

（三）在数列中的运用

在数列教学中，特别是在核算数列的等比数列求和题及周期性题的层面，用分类讨论思想进行处理的效果最好。运用该思想解题可把数列中存在的多种可能进行单独剖析，从而简化该题分解过程，降低答题难度。例如：等比数列{an}公比为b，其前n项和Sn>0（n=1，2，3，…），那么b的真实值范围是什么？在处理这道题时，先要考虑将题中所有条件实施细化分析，在剖析后能发掘一个主要元素：题中b的值不确定，b能取任何值。此种状况下第一需考虑的是：什么是等比数列求和公式？依据课堂知识得出，等比数列求和公式是：b取值是不是1会对所解答案产生影响，所以在具体解答中，可按照分类讨论思想来讨论b的，分别在b=1或者b≠1两种状态下进行分析，在一一讨论后最后获得b的取值范围。

（四）在函数与导数中的运用

学习《基本初等函数》这一单元时，在教授学生基础的函数知识后，教师可以给学生提供多个函数，让学生寻找这些函数之间的相同点和不同点并自行分类。自行分类后，引导学生进行小组讨论，学生在交流过程中加深了对分类思想的理解，也在实际中体会到数学分类讨论的乐趣，从而能更好地理解课堂所学内容。这些都需要教师提前对教学内容进行思考，为学生提供更多可供分析讨论的分类思想具体案例，帮助学生进行反复训练。因此在高中课堂教学活动中，教师需要引领学生对教材内容进行课外扩展，不仅要学习课本知识，更要补充更多学习案例，达到在反复训练中加深学生对分类讨论思想理解的效果。

三、分类讨论思想在高中数学中的最重要作用

使高中生学会全方位考虑问题并活跃思维，学生在应试学习与考试中遇到烦琐问题时才不至于束手无策，在处理问题时能清楚方法，思维缜密，将来面对考试时内心也会稳定，得心应手。虽然基础知识占据大多数，但对数学思维掌握是不可忽略的，它可令高中生从被动学习转化成自主思考，这也是学习模式的一大改变，让高中生在考试中占据有利优势。分类讨论思想能促使师生间友好交流学习，而思维培养更需高中生自身不断的努力，逐渐在实践中积累符合自身答疑解惑的经验。

结束语

综上所述，在高中数学教学中对进行学生分类讨论思想的培养是探索当前高中数学课堂教学改革的必经之路。教师只有在高中数学中培养学生的分类讨论能力，才能帮助学生在以后的学习过程中更快更好地学习新知识。

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责任编辑：黄大灿