谈小学数学模型建构的三个步骤

陕西省旬阳市城关第二小学 涂几会

陕西省安康市教学研究室 李 志

数学核心素养是数学教学的灵魂，“抽象、推理、建模”是数学三大核心素养。《数学课程标准（2011版）》指出：“数学模型的建立是学生体会与理解数学与外部世界联系的基本途径。”数学模型是指对于一个现实对象，为了达到某种特定的目的，根据其内在的规律，做出必要的简化，再用适当的数学工具将对象转化为一个数学结构。通俗地说：数学模型就是借用数学的语言讲述现实世界的故事。客观地讲：只有模型建立成功的数学课，才是一节有着深远意义的课，学生的学才是有深度的学。但实际的教学中，一部分教师只注重了数学知识的传授，忽视了数学模型的建构，导致学生应用意识差，不会举一反三。

如何在课堂教学中引导学生建立数学模型呢？笔者将用一年级上册“减法的认识”与三年级下册数学广角“搭配”两课来说明数学模型建构的一般步骤。

一、精选问题，创设情境，感官参与

现实世界中有大量的关于数量关系与空间图形的客观现象与事物，这些现象与事物都可以从数学的角度去观察、分析、解释；从这些现象与事物中可以抽象出大量的数学模型，生活问题就是数学模型的原型。生活问题的呈现方式多种多样，语言叙述呈现、故事讲述呈现、图表图片呈现、操作演示呈现、表演呈现、游戏呈现、实物呈现等，这些方式的呈现目标都只有一个，将其转化为数学问题。这些现实问题种类也是多种多样，有关于生活的现实、有关于数学的现实、有关于其他学科的现实，或与学生的生活很接近、或体现了时代的特点与要求，这些情境内容符合学生的年龄特征，有利于学生通过对比、观察、分析、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用，经历一个完整的学习过程。总之，它们都能够很好地激发学生的数学学习兴趣，能够为模型的建立提供很好的探究素材，蕴含着数学知识与数学思想方法。生活情境的呈现，能够激发学生调动多种感官，眼、手、耳、脑并用，在倾听或者观察的过程中，分析、抽象、概括、发现并提出数学问题，培养学生数学意识与问题意识。

例1：一年级上册“减法的认识”

课本呈现的情境是一幅图，教师可以引导学生分解成两幅图来阅读，第一幅图有4个气球，第二幅图飞走了1个气球。在这个过程中可分层观察，从第一幅图中获取了什么信息，第二幅图呢，能把两句话连起来完整地说一说吗？根据这两句话，你能提出一个数学问题吗？学生得出：“有4个气球，飞走了1个，还剩几个气球？”将生活问题转化成数学问题，为下一步的探究提供了素材。

例2：三年级下册数学广角“搭配”

老师创设了这样的生活情境，周末丽丽要去参加一个社会实践活动，妈妈拿出了2件漂亮的上衣与3条裙子，丽丽犹豫了，到底穿哪件上衣和哪条裙子呢？将生活中的问题转化成数学中的问题：“2件上衣、3条裙子，要搭配一套衣服，共有几种搭配方法？”为下一步的探究提供了素材。

二、逐步抽象，抽丝剥茧，建立模型

说到底，数学的所有知识都是以模型结构呈现出来的。例如，一个具体的数字、数的意义、一个具体的算式、四则运算的意义、运算定律、一个具体的方程、方程的意义、典型的数学问题等都是数学模型。数学模型如何建构，必须有一个不断抽象的过程，将生活情境抽象成数学情境。数学情境抽象成数学事实，数学事实抽象成数学事理，数学事理抽象成数学算式或符号或图表等结构模型。在这个过程中，数学问题是探究的素材；学生是经历这个过程的主体；观察、对比、分析、实验、猜测、推理、交流、抽象、概括、反思都是学生建模要使用的方法与手段。学生利用这些方法一步步抽象、抽丝剥茧，去除数学问题中的非本质的属性，留下最本质的东西，形成数学模型。

例1：一年级上册“减法的认识”

把生活中的问题抽象成数学中的问题。“一共4个气球，有1个飞走了，还剩几个气球？”学生异口同声说出：“4-1=3。”教师这样做：1.用手中的圆片代替气球摆一摆，边摆边说4、1、3分别表示什么。2.找学生拿着磁性教具在黑板上边摆边汇报。有的学生用情境中的气球说明了4、1、3所表示的意义，有的用圆片叙述了4、1、3所表示的意义，有的用贴圆片的磁铁叙述了4、1、3所表示的意义。在这个环节中，教师引导学生观察，用气球情境来抽象符号算式4-1=3，同时很巧妙地引导学生由具体到抽象，脱离了气球情境，学生用图形操作理解了4-1=3的意义，逐步加深对具体算式“4-1=3”这个模型的认识。

例2：三年级下册数学广角“搭配”

学生将生活中的穿衣服问题转化成数学中的搭配问题，并能够用2件上衣图片与3条裙子图片，通过连线的方法有序地思考，教师接着引导学生进一步抽丝剥茧，建立模型。师：“看来同学们都有了自己的想法，但是我们不能每次遇到这样的问题都要用衣服图片来摆一摆吧。能用比较简洁的方法表示出你的想法吗？”几分钟以后，学生开始汇报。有的用A1、A2表示两件上衣，用B1、B2、B3表示三条裙子；有的用A、B表示两件上衣，C、D、E表示3条裙子；有的用1、2表示上衣，3、4、5表示裙子；有的用简笔画画出来。这些都是通过列举或者连线得到6种搭配方法。紧接着学生在对比中优化方法，进一步抽象出2件上衣、3条裙子搭配的比较完美的树状符号结构模型。

三、回归生活，拓展外延，深化认知

当数学模型初步建立成功以后，教师绝不可以戛然而止。引导学生建立数学模型的意义何在，就是为了学生能够应用新知识模型，灵活解决生活中的数学问题，从生活中来，又回到生活中去，使得学生感受数学的价值与趣味。这时候的数学模型还不够牢固，教师还需要设置一定的活动引导学生牢固掌握这个数学模型。这个过程中，一般有两种方法，第一种方法是利用数学模型讲述生活中的故事，加深学生对模型的认识。二是设置层次性的练习，在练习的过程中加深对数学模型的认识。

例1：一年级上册“减法的认识”

当学生理解了“4-1=3”这个算式模型不但可以表示气球问题，还可以表示圆片问题和磁铁问题时，教师为了拓展模型的外延，让学生讲几个关于“4-1=3”的故事。学生讲的故事可真丰富，有关于喝牛奶的故事，有关于用钱的故事，有关于吃苹果的故事，有关于小兔子的故事等。通过思维的发散与联想对模型加以扩张和推广，赋予“4-1=3”更多的“模型”意义。学生学习减法，重在理解“减法”是怎么一回事，对减法的“□-□=□”有生动的认识。学生知道了，从整体中去掉一部分，求剩余的就会用减法。同时对于具体的算式“4-1=3”这个模型，它不光可以用来计算气球的问题，还可以用来计算牛奶、用钱等更多的问题。

例2：三年级下册数学广角“搭配”

学生抽象出2件上衣与3条裙子有几种搭配穿法的基本树状符号模型，也通过理解得到了衣服搭配的乘法模型“2×3=6”。这时候，能搭配几套服装的模型刚刚建立，教师要继续引导，使模型得到进一步的拓展与扩张。教师追问：“如果有3件上衣3条裙子，有几种搭配方法？4件上衣3条裙子呢？5件上衣3条裙子呢？100件上衣3条裙子呢？”从乘法的意义出发，将“上衣件数×裙子的条数=搭配总数”这一算法作为模型，突破教材的思路，向前延伸，向后拓展，以“一个几为母体”，生出“几个几”的组合，由简到繁，再化繁为简，也能充分彰显数学“模型”的魅力。

接着教师又让学生讲故事：“A1、A2表示上衣，B1、B2、B3表示裙子，得出搭配的穿法有2×3种，生活中还存在哪些类似的问题，A1、A2，B1、B2、B3还可以表示什么呢？你能举一个例子吗？”黑板上的搭配树状模型，不仅适用于衣服的搭配，对于菜的搭配，路的搭配，早餐的搭配，男女生跳舞的搭配等搭配问题，都可以用这个模型来解决。

由上面的例子可以看出，数学教学的本质就是不断地抽象，逐步去掉数学结构的物理属性；不断地概括，总结出数学的本质属性；不断地模式化，形成特定的数学结构。“问题情境”到“建立模型”再到“拓展验证”这三个步骤，是模型的建构过程的基本步骤。