初探基于学科素养下的三角函数图像和性质的教学设计

李东槐

摘要：三角函数的图像是常考的知识点，主要考查已知函数图像求解析式，函数的图像变换及对称问题，利用图像解应用题等，三角函数的单调性、奇偶性、周期性等在考试中出现的频率较高。解决函数问题关键在于建立数学模型和目标函数。

关键词：三角函数;图像;性质;教学设计

教学内容

把“问题情景”译为数学语言，找出问题中的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解。

教学重点难点：

三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法. 同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法。

学情分析

高中阶段的学生已经相对成熟，在逐步获取知识的过程中其思维能力也在稳步地成长，数学知识也逐渐丰盈。在面对这一类较为复杂的问题时学生经常面临的就是不知道从何下手、不知道该通过哪种思路进行解题，这些经验上的不足难以通过常规的教学进行解决，因此需要以原有题型作为基础选择不同的分析方案。

教学设计：

首先，我不覺得在课堂上应该更多的发挥学生的主体作用。例如，本节课我处理热身题时，让学生到前面写了变化的过程，但没有让她讲解，学生写完我直接给予表扬就让她回去了。课后我反思这部分教学时，应该让学生用投影把她在学案上写的过程展示给大家，并讲讲自己的想法，互相评判一下对错，说的好的要及时表扬鼓励，说的错了可以让学生之间讨论为什么错了，让学生说说她的想法和变换过程，这样处理即节省了黑板上书写的时间，又能互相讨论，加深学生对这部分学习的印象。

其次，学生对所学过的知识有印象，但是深究知识点还是有漏洞，重点要重复，强调要到位。课堂上，有一个男同学提出了可以用画图的方法解决，但是当时由于时间的原因，没采取这个方式。我当时说：“直接画图的方法也很好，大家可以课下体会一下”。但是现在反思，是我当时有些着急完成教学任务，赶时间，其实这个题可能学生已经把图像画出来了，我可以叫这名同学到展台上，把他画的图展示给大家看看。用图像变换的过程比用诱导公式可能更节省时间，而且这个方法对其他同学完成题目也是一个很好的提示。

本节课我的教学目标基本完成，通过学生做的例题，可以看出来多数学生有了正确的思路并得出正确的答案。由于是借班级上课，课堂的气氛没有平时活跃，掌控课堂的进度还是有些着急，以后再上课，还是以学生为主体，老师起到一个引导的作用，分析一个题就要分析透彻，既然学生提出了不同的思路或者方法，就让他说完，或者让他给大家讲讲想法，互相评判一下，老师再做一个提升。

教学反思：

三角函数的图象与性质的本质是周期现象的直观表示与代数表示，也是函数图象与性质研究的延续.

三角函数是刻画周期现象的重要模型，函数的图象是周期现象的直观体现，函数的性质是周期变化规律的代数表现，所以模型思想、数形结合思想是学习三角函数的图象与性质中的重要思想方法. 同时，由局部的正弦曲线得到完整的正弦曲线、由正弦曲线得到余弦曲线的过程中也蕴涵了换元转换的思想方法.

三角函数是特殊的函数，是研究度量几何的基础，作为函数的主要知识，基本遵从函数的图象与性质的研究路径：现实背景—函数概念—图象—性质—应用. 由于三角函数自身的特殊性，要充分借助单位圆及圆周运动的特性去研究三角函数的图象与性质. 因此，研究正弦函数的图象与性质是根据定义借助单位圆直接画出函数的图象，再利用图象直观研究函数的性质;而研究正切函数的图象与性质是以定义为岀发点，先研究函数的部分性质，再结合定义和这些性质研究函数的图象，然后借助观察图象进一步获得函数的其他性质.

用三角函数来刻画圆周运动时角度与点的“位置”间的对应关系，这种思想方法帮助人们在观察客观事物的运动变化时，能建立起不同要素之间的联系，并用这种联系去研究、发现事物的运动变化规律，对提升人们的认识水平有重要意义和价值. 因此，学习三角函数的图象与性质很有必要. 一方面，帮助学生进一步熟悉函数的图象与性质的研究路径;另一方面，引导学生感受周而复始运动现象的变化规律及相应性质，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等素养.

蕴含的数学之美：

联系之美. 事物的发展总是相互联系的，数学问题的研究也不例外. 在三角函数图象的研究过程中，既联系以往指数函数、对数函数和幂函数图象的研究路径，也联系三角函数的定义、单位圆、三角函数的基本性质（即诱导公式）. 三角函数图象的研究堪称范例，完美诠释了函数图象的研究过程，也为其他复杂函数图象的研究提供范式，即结合基本性质，由定义（解析式）先画出某区间上的图象，再通过扩展画出完整的函数图象.

变换之美. 三角函数图象的另一种研究方法是图象变换. 这也给出了复杂函数图象的研究范式，即利用图象变换由简单函数的图象得到复杂函数的图象.

任意之美. 要求准确描绘函数[y=sinx，x∈0，2π]的图象上的任意一点. 这是数学的普适性和一般性的表现.

几何之美. 将圆周12等分，这些点在单位圆上是对称的，从0到[2π]进行12等分，这些值的分布是均匀的，这就是数学的特点——对称美、均匀美.

参考文献：

[1]王明福. 高中数学三角函数教学要领的整体把握[J]. 新课程学习（下），2015（2）.

[2]徐阿根. 探讨如何整体把握高中数学三角函数教学[J]. 数理化学习（教研版），2016（12）.