月面着陆器INS/CNS深组合导航方法

孙洪驰，穆荣军，李云天，崔乃刚

(哈尔滨工业大学航天工程系，哈尔滨 150001)

0 引 言

在月面着陆器下降过程中，需要快速调整姿态，要求导航系统具备高实时性、高精度和高可靠性[1-2]。当前深空探测任务中姿态精度最高的导航方式为天文导航，其姿态精度可达角秒级[3-5]。为提高导航系统的可靠性，月面着陆器通常都携带惯导与星敏感器，采用惯性/天文组合导航方式进行导航解算[6-7]。惯性/天文组合导航系统一般可分为松组合和紧组合两种模式。松组合模式下惯导和星敏感器各自独立地进行导航解算，然后将导航误差作为观测量进行组合[8]；紧组合模式下星敏感器不再进行独立解算，而是作为测量星点矢量的传感器使用，根据星点矢量误差构建量测方程[9]。无论是松组合模式还是紧组合模式，星敏感器均需要采用星图识别算法进行导航星的识别，这一过程往往是天文导航所有流程中耗时最多的环节[10-11]。

针对上述问题本文提出一种惯性/天文深组合模型，能在不进行星图识别的前提下实现导航解算，有助于提高天文导航算法的计算效率，降低系统的功耗，减少对硬件资源的占用。同时在导航星数目不足3颗时仍可正常工作，可有效提高导航系统的实时性与可靠性。

1 月面着陆器运动学模型

月面着陆器运动学模型包括姿态微分方程、速度微分方程和位置微分方程。月面着陆器姿态采用四元数进行描述，姿态微分方程可以表示为

(1)

(2)

对于月面着陆器，在固连系下的速度ve为

(3)

将速度ve转到导航系中，得

(4)

进一步整理，可得

(5)

(6)

式中:fb为体系下的比力；gn为导航系下的月球重力加速度。

记p=[L,λ,h]T，月面着陆器位置微分方程为

(7)

综上所述，式(1)、式(6)和式(7)共同组成了月面着陆器运动学模型。

2 星敏感器测量模型与惯性/天文松、紧组合模型

2.1 星敏感器测量模型

在星敏感器中，图像是以像素的形式进行采集和存储的，为了能建立起星点矢量与像素坐标之间的关系，引入视觉导航领域常用的内参数矩阵构建星敏感器的测量模型。假设某导航星sk在星敏感器坐标系下的方向矢量为lsk=[X,Y,Z]T，则其在像平面中的坐标为

(8)

式中:f为星敏感器焦距。将星点坐标转换到像素坐标系下，得

(9)

式中:α和β描述了像平面坐标和像素坐标的缩放关系，物理含义是单位长度内的像素数目；cx和cy描述了像平面坐标和像素坐标的平移关系，单位为像素数；fx=αf,fy=βf，作用是简化模型。将式(9)写成矩阵形式，得

(10)

式中:A即为星敏感器的内参数矩阵，且各项参数出厂后是固定不变的。l′sk为lsk的归一化矢量。

2.2 惯性/天文松组合模型

惯性/天文松组合是最常见的组合方式，该模式下惯导与星敏感器各自独立工作，利用二者输出的姿态之差构建观测量。状态方程选取捷联惯导系统的误差传播方程，具体推导过程参照文献[12]。

姿态误差传播方程为

(11)

速度误差传播方程为

(12)

位置误差传播方程为

(13)

(14)

(15)

(16)

记δq=[δq0, (δqv)T]T，δq0和δqv代表δq的标量部分和矢量部分。当φ为小量时，令φ=|φ|，有

(17)

由式(17)可以得到观测量为φ=2δqv。

选取姿态失准角、速度误差、位置误差、三轴陀螺仪零偏和加速度计零偏作为状态变量，松组合模式下状态量、状态方程和量测方程为

(18)

(19)

式中:W为陀螺角速度测量白噪声和加速度计比力测量白噪声；V为星敏感器测量白噪声；F阵各元素取值参照式(11)致式(15)，G阵和H阵各元素取值如下

(20)

2.3 惯性/天文紧组合模型

惯性/天文紧组合模型以星点矢量误差为观测量，该模式下星敏感器不进行姿态解算。紧组合状态方程仍为惯导系统的误差传播方程，仅观测方程有所不同。在紧组合模型中，星敏感器测量到的星点矢量ls可以表示为

(21)

式中:ln为该星点矢量在导航系下的投影，φ为导航系的姿态失准角。

(22)

(23)

当视场中存在N颗导航星时，观测方程可以表示为

(24)

观测矩阵H阵各元素取值如下

(25)

3 惯性/天文深组合模型

惯性/天文深组合模型根据惯导输出的姿态，预测此姿态下理论上星敏感器应观测到的星图(记为预测星图)，然后利用预测星图和实测星图的灰度误差进行失准角的估计，从而在像素层面构建新的观测模型而非对单个星点进行处理，故深组合时不需要星图识别。

3.1 基于李群李代数理论的灰度误差函数

群是一种集合加一种运算组成的代数结构，李群指具有连续性质的群。构建灰度误差函数需涉及到其中一个特殊的李群—特殊正交群SO(3)，是由姿态阵C构成的，其数学定义为

SO(3)={C∈R3×3|CCT=I,det(C)=1}

(26)

对于每一个C，都有对应的李代数，SO(3)的李代数so(3)定义为

so(3)={(φc×)∈R3×3|φc∈R3}

(27)

so(3)反映了SO(3)的导数性质，对姿态阵C求微分，有

(28)

式中:φc的物理意义是姿态阵C对应的等效旋转矢量，式(28)为关于C的微分方程，求解后得到

C=exp(φc×)

(29)

图1 灰度误差函数构建过程

如图1所示，I1为星敏感器拍摄星图，I2为惯导预测星图，设p1为I1中第i个像素点，满足

p1=Aps

(30)

(31)

(32)

(33)

ps和p′s可视为同一矢量的真值及惯导预测值，pn为该矢量在导航系下的投影，满足

(34)

由式(34)即可得到φ与φs的关系式为

(35)

3.2 基于阻尼牛顿法的姿态优化算法

图2 深组合模型基本原理

根据灰度不变假设，式(32)可进一步写为

(36)

图3 某星点窗口内灰度误差优化方向

(37)

(38)

接下来分别计算这3项偏导数，∂I2/∂ϑ为I2在ϑ处的像素梯度，记ϑ像素坐标为ϑ=[ua,ub]T，则像素梯度为

(39)

记ρ=[Xρ,Yρ,Zρ]T，利用式(10)，可以求得∂ϑ/∂ρ的具体形式为

(40)

(41)

根据BCH公式，有

(42)

(43)

3.3 惯性/天文深组合滤波模型

为提高算法的计算效率，可针对月面环境特征对状态方程做进一步简化。例如，月球自转速度很小，且月面着陆器下降过程时间较短，所引起的导航系旋转也很微弱，月面重力较弱，其误差项δgn对速度误差的影响也是小量。忽略状态方程式(11)-式(15)中的小量后，可得简化后的状态方程为

(44)

量测方程与式(19)一致。状态与量测方程都是线性模型，离散化后可采用标准卡尔曼滤波进行状态估计。

4 仿真校验

4.1 算法鲁棒性验证

利用惯导姿态预测星敏光轴指向，估算的星点和实际观测星点不一定完全匹配，惯导预测星图会出现缺星和多星的现象。但根据式(33)可知，本文所提出的深组合算法，其优化对象为所有导航星堆叠而成的全局灰度误差，优化结果为最小二乘意义下的最优解，故理论上个别星点的不匹配不会对最终结果造成太大影响，接下来通过仿真进行验证。

采用SAO星表数据进行仿真验证，岁差、章动采用IAU1980模型进行补偿，光行差只考虑一阶修正项，极移修正量由国际地球自转服务(International earth rotation service，IERS)提供。星图不确定度按低(不确定度：17%)、中(不确定度：50%)、高(不确定度：70%)三种情况进行仿真验证。

图4 低、中、高三种不确定度下姿态误差曲线

从图4(c)中可以看出，即使在高不确定度下，惯导仅正确预测30%的导航星，深组合算法依然收敛，三种工况仅精度略有不同。这说明深组合算法具有较强的鲁棒性，惯导仅需要正确预测到其中的几颗亮星即可进行导航解算。

(45)

式(45)表明，对全部导航星做优化等价于只优化正确匹配的星点，不匹配的星点由于灰度误差为常值，不影响优化结果。

4.2 三种组合方式对比仿真

本文所提出的方法主要针对月面着陆器姿态调整段进行设计，仿真轨迹设置为姿态调整段一条持续时间60 s的轨迹。着陆过程中着陆器姿态变化及星敏感器视场内的星图变化如图5所示。

采用阻尼牛顿法一般迭代3～4次即可使姿态达到收敛。取第1、4次迭代优化结果，对比其图像灰度误差，对比结果如图6所示。

图5 仿真工况设计

图6 某星点窗口内图像灰度误差迭代结果

接下来对比惯性/天文松、紧、深三种组合模式下的组合导航精度和算法计算耗时。紧组合模式只进行星图识别不进行QUST解算，故算法耗时应少于松组合。深组合模式则是采用图像梯度优化算法获得姿态，一般迭代4次算法已经收敛，平均每颗星占据3×3即9个像素点，故平均每颗星需要优化算法迭代计算36次；而紧组合的星图识别算法，采用星表分割后(极限星等+6Mv)平均每个子星表依旧含有196颗导航星，角距搜索空间大小为196×196/2=19208，即平均每颗星需要进行的搜索次数为19208次，显然这一过程的计算量要大于深组合的优化算法。三种组合方式的解算精度和算法耗时统计仿真结果如图7和图8所示。

图7 松、紧、深组合导航模式精度对比

图8 松、紧、深组合导航模式计算耗时对比

分析图中不同阶段的三种导航模式精度曲线和计算耗时统计直方图，可以得到以下分析结果：

1) 0～20 s内导航星充足(≥3颗)，松、紧、深三种组合导航模式的姿态精度基本处于同一量级；

2) 20～40 s内视场中可见导航星降为2颗，星图识别算法失效，松、紧组合模式导航结果开始发散，深组合模式依旧可以进行导航解算；

3) 40～60 s时视场内可见导航星数目恢复到≥3颗，此时松、紧组合导航模式迅速收敛，三种导航模式的姿态精度基本处于同一量级；

4) 俯仰、滚转轴姿态精度整体上优于偏航轴，这是因为偏航轴与星敏感器光轴重合，星敏感器光轴方向的姿态精度较其余两轴差一个量级；

5) 经统计，松、紧、深三种组合模式的单次计算耗时均值分别为0.0074 s、0.0061 s、0.0029 s。深组合模式计算耗时最低。

5 结 论

本文针对月面着陆器设计了一种惯性/天文深组合导航方法。仿真结果表明，在导航星数目充足的情况下，松、紧、深三种导航方式姿态精度处于同一量级；在导航星数目不足时，松、紧组合方式无法实现导航星的识别，算法开始发散，而深组合模式依然可以正常工作；在计算耗时方面，深组合模式相较于紧组合时间缩减50%、相较于松组合时间缩减60%。深组合模式计算耗时短，有利于提高月面着陆器导航实时性，降低对硬件资源的占用，同时可保证在星敏感器视场内星点数目不足时，导航结果不发散。将其应用于月面着陆器等实时性需求较高的背景中，可以有效提升导航系统的快速响应能力并节约系统功耗，为未来月面着陆器导航系统设计提供理论参考。