稳中求变变中求新
2021-01-11文尚平黎福庆
文尚平 黎福庆
2021年高考全国甲卷数学试题以我国高考评价体系、高校人才选拔要求和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》为命题依据，贯彻了“五育”并举的全面育人方针，命题理念由过去“知识立意、能力立意”转变为“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”，充分突显了数学学科本质，体现了数学的科学价值和理性价值，很好地把握了稳定与创新、稳定与改革的关系，体现了稳中求变、变中求新的新高考理念，对推进我国高考评价综合改革、引导中学数学教学起到了积极的引领作用.
一、试题设计分析
（一）考查内容、呈现题号及分值分布，追求一个“稳”字
与往年的全国Ⅲ卷数学试题相比，今年全国甲卷数学试题继续围绕三角与向量、数列与不等式、函数与导数、立体几何、概率与统计、解析几何6大主题展开考查（见表1、表2），且各模块题目数量与分值保持稳定，试题结构、体例、内容比例及整体难度都没有太大变化.
（二）考查内容与考查目标（层级）对标高考评价体系，追求一个“准”字
由表1、表2不难看出，本套试卷主要聚焦学生对主干知识的理解和应用，更强调试题的基础性、综合性、应用性、创新性，更关注课程标准“十个核心概念”“六素养”“四基”“四能”“三会”的精准渗透.下面，我们从“数学学科核心素养的18层级评价指标体系”和“必备的思想与方法”两个维度出发，对全国甲卷数学试题的考查内容和目标层级做具体分析（见表3）.
二、试题特点分析
通过试题设计分析可发现，全国甲卷数学试题在内容改革、题型创新、试卷结构改革及难度科学调控等方面进行了积极探索与实践，试题难度适中，没有偏题怪题，侧重通性通法的考查，具体表现为以下几个特点.
（一）体现学科特色，彰显数学育人功能
1.联系生活实际，贯穿劳动教育.德智体美劳“五育”互为依托，全国甲卷数学试题中的三角函数、函数极值、概率与统计等考查内容，凸显了“五育”中的劳动教育思想.
如，全国甲卷数学（文理）试题第17题：甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品.为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.
本题以工厂生产产品的质量检测为背景，考查了频数的统计、频率的计算和独立性检验等知识，而且题干设计与生产劳动相关，旨在培养学生的劳动精神.
2.联系生活实际，关注社会与经济发展.今年全国甲卷数学试题（文/理）第2题，以我國2021年扶贫脱贫工作取得全面胜利和乡村振兴战略为背景，通过频率分布直方图呈现某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，考查了考生处理数据、分析问题和解决实际问题的能力.解答该题的关键是掌握频率的求解方法和平均数的计算方法.设计该题既考查了考生应用频率分布直方图解决生活问题的能力，又加强了试题与生活的联系，增强了考生关注现实、关心社会的意识.
3.合理创设情境，关注“五项管理”之“体质管理”.培养身心健康的学生是素质教育的核心内容之一，今年全国甲卷数学理科试题第4题、文科试题第6题均关注了这一内容，反映了全社会对青少年视力问题的重视（题略）.
（二）坚持适度开放，注重学生创新能力的培养
2021年全国甲卷数学试题在全面落实高考评价体系的基础上，从题型设计、考查方式等方面进行了创新，为稳步推进高考内容改革做出了积极的探索.该套试卷最突出的一个创新点，是对结构不良试题的适度开放.信息加工理论的观点认为：问题的初始状态、目标状态、算子和对算子的约束四者中至少有一个没有明确界定的试题称为“结构不良试题”.这类试题有助于发展学生的思维能力、创新能力和迁移运用能力，有助于培养学生应用数学和解决问题的能力.如，全国甲卷数学理科试题第18题就属于结构不良试题（题略）.该题要求考生在给出的三个选项中任选两个选项作为条件证明另一个选项成立，体现了一定程度的开放性.从答题情况看：选择以①③证明②的考生最多，证明简单，得分最高;选择以①②证明③的考生最少，证明最难，得分最低;有接近30%的考生选择以②③证明①，难度适中，得分一般，并且这一证明组合方式与文科试题第18题完全一致，较多考生直接用等差数列定义进行证明，也有部分考生利用数学归纳法进行证明.通过让考生选择不同条件、结论组成命题并进行论证，有益于考生在不同层面上展现自己的数学水平，开拓数学思维，培养多角度思考问题的意识.
（三）注重素养导向，突出理性思维的考查
理性思维是一种有明确思维方向、充分思维依据，能指导人们对事物或问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的一种思维，它在学生数学核心素养的培养中具有最本质、最核心的作用.全国甲卷数学理科试题第4题、文科试题第6题（指数、对数运算的转化与运算），理科试题第7题（数列的函数特性、充分必要条件），文科、理科试题第10题（古典概型的概率求解），文科试题第13题、理科试题第14题（平面向量数量积、模的求解）等题目，都考查了考生的理性思维.
如，理科试题第20题、文科试题第21题：抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且⊙M与l相切.
（1）求C，⊙M的方程;
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1 A2，A1 A3均与⊙M相切.判断直线A2 A3与⊙M的位置关系，并说明理由.
本题第（1）问为抛物线、圆的方程的求解，第（2）问为直线与圆的位置关系的判定，涉及圆锥曲线的几何性质和数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想等知识，考查了考生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养，突出理性思维的考查.
（四）落实评价体系，重视考查关键能力
《中国高考评价体系》指出：关键能力是培育核心价值、发展学科素养必须具备的能力基础，是高水平人才素质的重要组成部分.2021年全国甲卷数学试题的命制全面落实了“基础性、应用性、综合性和创新性”的基本要求，并在应用性上进行了深入探索，重视考查考生的关键能力.
1.注重考查数学阅读与理解能力以及数学应用能力.如全国甲卷数学理科试题第8题：2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足[∠A′C′B′=45°，][∠A′B′C′=][60°.]由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面[A′B′C′]的高度差[AA′-CC′]约为（[3≈1.732]）（ ）.
A.346 B.373
C.446 D.473
本题以测量珠穆朗玛峰高程为情境，突出了理论联系实际，要求考生在理解三角高程测量法的基础上，根据示意图和相关数量关系进行计算：先过C点作[BB′]的垂线，垂足为H，过B点作[AA′]的垂线，垂足为M，得∠BCH=15°、[∠C′A′B′=75°];然后在RtΔBHC中算出[CH=][BHtan∠BCH=100（2+3），]则[C′B′=100（2+3）];继续运用正弦定理算出[A′B′=C′B′sin∠C′A′B′·sin∠A′C′B′=][100（3+1）]，[AM=100（3+1）]，于是得出[AA′-CC′=][AM+BH=][100（3+1）+100≈373.]解答本题需要考生正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识，借助几何直观、正余弦定理等建立问题的函数模型，侧重考查考生的数学应用能力.另外，该题有近150个字符，是一道字符较多的题目，一定程度上考查了考生能否快速捕捉、把握关键信息和重要数据的数学阅读与理解能力.
2.注重考查信息转化能力.如全国甲卷数学理科试题第15题、文科试题第16题：已知F1，F2为椭圆[C：x216+y24=1]的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 .
本题以椭圆的知识为考查点，通过数形结合思想、方程思想把平面问题转化与化归为代数问题，构建面积模型，考查考生的运算求解能力与信息转化能力.
3.注重考查抽象思维能力.如，全国甲卷数学理科试题第12题：设函数f （x）的定义域为R，f （x+1）为奇函数，f （x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时， f （x）=ax2+b.若f （0）+f （3）=6，则[f（92）=]（ ）.又如，全国甲卷数学文科试题第12题：设f （x）是定义域为R的奇函数，且f （1+x）=f （-x）.若[f（-13）=13]，则[f（53）=]（ ）.
以上两道题都考查复合函数奇偶性、周期性和图象的变换等知识，以及函数与方程、数形结合、数学抽象、直观想象等核心素养，考生需要对函数奇偶性条件进行等价转化才能正确解题.如解答理科试题第12题：由f （x+1）为奇函数，f （x+2）为偶函数，得出f （x）的周期为4，且f （1）=0，结合f （0）+f （3）=6，可求得a，b的值，从而得到当x∈[1，2]时，f （x）的解析式.本题解题的关键是抽象出已知函数的性质（对称性），然后结合图象变换得出周期.
4.注重考查逆向思维能力.如，全国甲卷数学文科试题第15题：已知函数f （x）=2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则[f（π2）]= .又如全国甲卷数学理科试题第16题：已知函数f （x）=2cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则满足条件[[f（x）-][f（-7π4）]][[f（x）-f（4π3）]] >0的最小正整数x为 .
这两道题的图象完全一样，主要考查三角函数的图象和性质，以及如何通过图象判断函数值的大小，只是具体考查任务略有不同，解题过程都需要考生比较熟练地运用转化与化归的思想与方法，进行逆向思考、分类讨论、推理论证，考查考生的逻辑推理能力、逆向思维能力.
5.注重考查批判思维能力.批判性思维是一种通过一定标准对过程进行评价，依据评价结果对过程进行优化改进的思维，是一种合理的、反思性的思维，既是思维技能，也是思维倾向.批判性思维能力越强，学生的解题能力就越强.在解决问题过程中，运用批判性思维有利于明确解题方向、合理选择解题策略、监控并优化解题过程，还能及时提醒考生进行解题反思、提炼思想方法，使会一题、明一路、通一类.
如，全国甲卷数学理科试题第21题：已知a>0且a≠1，函数[f（x）=xaax（x>0）].（1）當a=2时，求f （x）的单调区间;（2）若曲线y=f （x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.
解法分析：（1）求导，利用导数与函数单调性的关系进行求解.求导[f ′（x）=x（2-xln2）2x，]可知函数f （x）在[0，2ln2]上单调递增，在[2ln2，+∞]上单调递减.
（2）函数构造是解答本题的关键，本题常见的构造有差函数、商函数两种.
构造一：[f（x）=xaax=1⇔ax=xa⇔xlna=alnx⇔lnxx][=lnaa，]设函数[g（x）=lnxx]，则[g′（x）=1-lnxx2]，令[g′（x）=]0，得x=e，在（0，e）内[g′（x）>0]，g（x）单调递增;在（e，+∞）上[g′（x）<0]，g（x）单调递减;所以g（x）max=g（e）=[1e].完成以上步骤，再运用数形结合思想继续解题：由g（1）=0，当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，且因为曲线y=f （x）与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g（x）与直线y=[alna]有两个交点的充分必要条件是[0<lnaa<1e]，即0 构造二：设g（x）=f（x）-1=[xaax]-1（x>0），[g′（x）=][xa-1（a-xlna）ax.]①0 本题考查函数与导数的知识.解这道题，考生需要对无序的信息进行筛选、分类、归纳，然后运用已有的知识进行审慎思考、分析推理、评价重构.另外，对于函数构造常见的两大方法——作差法、作商法，选择哪一种方法更有效、更快捷，也需要学生进行理性的批判和选择. （五）科学设计难度，坚持“低起点、多层次、高落差”的调控策略 1.坚持让每一名考生都有获得感，兼顾高考选拔功能.今年高考全国甲卷数学试题的选择题、填空题及解答题，均遵循起点低、入口宽、难度渐次提升的规律，注重考查考生掌握知识的宽度和扎实程度.其中，文科、理科试题第8题、第10题、第11题、第15题、第19题的难度设计体现了思维的层次性，第12题、第16题、第20题、第21题则注重考查考生思维的灵活性、深刻性，突出解题方法的综合性、探究性和创造性，这些题都很好地体现了高考的选拔功能. 2.把握新高考过渡期的考试重点，有序推进高考改革.如，圆锥曲线的定义、方程及性质是必备知识，这些必备知识的学习又蕴含着关键能力、必备品格的培养，是高考的重点考查内容.今年高考全国甲卷数学就设计了这样的试题.如，理科试题第5题：已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）.又如，文科试题第5题：点（3，0）到双曲线[x216-y29=1]的一条渐近线的距离为（ ）.这两道题都呈现出了新高考过渡期的命题特点，体现了新高考的考查趋势. 随着第三批新高考试点省份参加2021年新高考，使用新高考全国卷的省份已经增加到10个，广西也于2021年9月开始“3+1+2”新高考模式下第一届学生的培养，取消了文理分科.在此背景下的高考备考，更要重视“突出重点，常考常新”的试题特点.总体来说，今年高考全国甲卷数学的命题有破有立，打破了不少约定俗成的模式，数学知识的考查难度有所下降，数学思维和方法的考查难度有所上升，凸显了“稳中求变、变中求新”的特点. 三、2022年高考数学学科备考的几点思考 （一）重视课本，构建知识网络 通过对今年高考全国甲卷数学试题进行分析，我们发现许多试题都可以从教材中找到出处，它们有的来自课本例题、习题，有的来自阅读材料.因此，教师应当重视课本，加强对教材中核心概念、定理、公式及规律等知识的产生与发展过程的研究、解读，通过类比、转化与化归等方法展开对教材中例题、习题的讲解，并组织学生进行迁移、拓展训练，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力和素养.在2022年高考备考过程中，除了重视“四基”训练，教师还要组织学生学会归纳、梳理教材的知识结构以及各板块之间的基本关系，教会学生以思维导图的方式构建起整个高中数学知识网络，达到“牵一发而动全身”的目的. （二）对标教材、国家课程标准和高考真题进行深入分析，发挥高考的导向性作用 课程标准、教材是高考备考的两大教学实体，是备考的基本依据，教师要充分研读《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》，领会其中的要求和精神，指导学生对标课程标准展开学习，做到复习内容把握到位，复习目标定位准确，复习过程任务清晰.同時，由于高考试题是备考的风向标，具有明确的指导性和重要的示范性，所以教师要有研究高考试题的意识，通过研究最近五年课标卷的高考真题，明确高考考查的方向，试题的难度，试卷结构的变化，如此方能科学备考. （三）立足课堂，做好单元主题教学 在用好课本、理解课标、研究真题的基础上，教师还需改变课堂教学的组织形式及呈现方式，尤其要做好主题单元教学，通过整体规划本单元的复习内容（如图1），围绕一条主线展开复习，让学生更深刻理解教材、理解数学.在“一核”四层“四翼”的新高考评价体系之下，站在单元的角度进行高考备考，是保障高三备考成效的一项举措. （四）重视通性通法，提升关键能力 我们不能否认刷题在数学高考备考过程中的重要性，因为学生对数学概念的内涵与外延的理解需要通过解题来实现，但我们必须拒绝只重解题技巧、轻概念生成，追求习题讲解最大化而将概念学习最小化等急功近利的教学行为.学生的解题训练应以培养学生关键能力和核心素养为目标，通过一题多解、多题一解，可以有效地引导学生走出“题海”，帮助学生理解概念，掌握通性通法，提升关键能力. （五）重视数学阅读，贯穿数学文化，突破数学应用瓶颈 在进行高考备考时，教师应打破高三课堂不预习的“怪象”.预习是高三课堂教学的一个重要环节，通过预习了解所学内容的重点、难点、目标及其与其他板块知识的关联，是培养和提高学生数学阅读能力的重要途径和方法.另外，教师要多开展基于现实情境、数学情境、科学情境背景下的解题训练，培养学生的关键能力和核心素养，突破数学应用的瓶颈. 参考文献： [1]梁越.基于学科核心素养培育的高中数学课堂教学评价指标体系构建研究[D].陕西师范大学，2019. [2]任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020. [3]曾小英.批判思维训练对创造性问题解决的影响[D].西南大学，2016. [4]黄丽. 《中国高考评价体系》下的原创命题探索：新情境创设下的素养与能力落实[J].教学考试，2020. [5]闵彦利.一题多变，拓展思维：培养学生创新思维能力的有效途径[J].中学数学，2016. 注：本文系广西教育科学规划2021年度“乡村数学教师能力素质提升”专项课题“乡村振兴战略背景下数学教师单元教学能力提升的策略与实践研究”（立项编号：2021ZJY190）的阶段研究成果. （责编 蒙秀溪）
