都是双杆惹的祸——电磁感应双杆切割模型探秘

◇ 云南 蒋金团

电磁感应现象中的“杆＋导轨”模型是高考中常考不衰的经典模型.从力的角度讲,模型中涉及的安培力动态变化,能较好地考查学生应用牛顿运动定律解决力学问题的能力;从能的角度讲,感应电流的产生必然涉及电能和其他形式能之间的转化,能较好地考查学生的能量观念;从电学的角度讲,感应电荷量和电功率的计算,能较好地考查学生应用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、串并联电路特点等知识综合处理电学问题的能力;从动量的角度讲,安培力冲量的计算,能加深学生对“力对时间的累积效应”的本质认识.“杆＋导轨”模型涉及如此庞大的体系,使得学生处理这类问题时往往有“心有余而力不足”的感慨,若试题以“单杆切割”的形式呈现,学生尚能勉强应对,但若以“双杆切割”的形式呈现,很多学生根本理不清两杆之间的关联,出现无从下手的尴尬局面.经常听到学生说这样一句话:这次物理没考好,就是因为双杆切割那道题浪费了时间.“双杆”惹的祸,有没有解决之道?当然有!事实上,无论是“单杆切割”模型还是“双杆切割”模型,只要抓住感应电流的收尾状态,这些问题都能迎刃而解.

1 双杆运动模型

如图1所示,空间中有方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场中有两根位于同一水平面内且足够长的平行金属导轨,导轨的宽度为L;两根质量均为m、内阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上,棒与导轨接触良好,t＝0时,ab棒以初速度v0向右滑动,请分析两棒的收尾速度、闭合回路中的收尾电流、闭合回路中的感应电荷量及两棒之间的相对位移.

1)两棒的收尾速度

两棒之间发生相对运动后,闭合回路中产生了感应电流,由楞次定律可知,感应电流的方向为逆时针方向(俯视图),再由左手定则可知,ab棒受到水平向左的安培力,cd棒受到水平向右的安培力,ab棒做减速运动,cd棒做加速运动;根据牛顿第二定律,两棒的加速度大小为由于相对速度v相越来越小,加速度的大小逐渐减小,当两棒共速时,相对速度为零,加速度也为零,此后两棒以相同的速度一起做匀速直线运动,两棒的v-t图象如图2所示.

图1

再以两棒组成的整体作为研究对象,整体所受的合外力为零,由动量守恒定律得mv0＝2mv共,解得两棒的收尾速度均为.

图2

2)收尾电流

设ab棒的瞬时速度为v1,cd棒的瞬时速度为v2,由右手定则可知两棒产生的感应电动势方向相反,所以回路中的感应电流为I＝,由于相对速度v相越来越小,感应电流也越来越小,最终趋于零.感应电流随时间变化的I-t图象如图3所示.

图3

3)感应电荷量

设ab棒开始运动到两棒速度恒定,流过导体棒的感应电荷量为q,则有,以cd棒作为研究对象,由动量定理得,解得感应电荷量为

4)相对位移

设ab棒开始运动到两棒速度恒定,两棒间的相对位移为Δx,由法拉第电磁感应定律可以得出,电流平均值为感应电荷量为q＝,联立两式解得

例1(多选)如图4所示,在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,有两根位于同一水平面内且间距为L的平行金属导轨(导轨足够长);两根质量均为m、内阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上(导体棒与金属导轨接触良好),t＝0时,ab棒以初速度3v0向右滑动,cd棒以初速度v0向左滑动,关于两棒的运动情况,下列说法正确的是( ).

图4

A.当其中某根棒的速度为零时,另一根棒的速度大小为2v0

C.ab棒的收尾速度大小为v0

D.cd棒的收尾速度大小为2v0

解析

点评

本题主要从力学的角度来设置选项,若从动量和能量的角度来设置选项,我们还可以探究两棒从开始运动到共速的过程中各自产生的焦耳热及流过导体棒横截面的感应电荷量.

例2(多选)如图5所示,光滑导轨由宽度分别为2L、L的两部分组成,其中水平导轨部分置于方向竖直向上的匀强磁场中,弧形导轨部分置于匀强磁场之外.现将导体棒ab置于导轨的右侧,再将导体棒cd从弧形轨道中高度为h的位置由静止释放,已知匀强磁场磁感应强度的大小为B,两导体棒的质量均为m,两导体棒的内阻均为r,两导体棒与导轨均接触良好,重力加速度为g,若闭合回路中的电流为零时,导体棒cd依然处于宽度为2L的区域,导轨电阻不计,下列说法正确的是( ).

图5

A.导体棒cd刚进入磁场时的速度为 2gh

D.从导体棒cd开始进入磁场到闭合回路中的电流为零的过程中,导体棒ab产生的焦耳热为

解析

点评

2 双杆受力模型

如图6所示,空间中有方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,磁场中有两根位于同一水平面内且足够长的平行金属导轨,导轨的宽度为L;两根质量均为m、内阻均为r的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上,棒与导轨接触良好,t＝0时,对导体棒ab施加向右的水平恒力F,请分析两根导体棒的运动情况及回路中的收尾电流.

图6

1)收尾电流的分析.设ab棒的瞬时速度为v1,cd棒的瞬时速度为v2,则回路中的感应电流为I＝.根据楞次定律,感应电流最终趋于稳定,因此收尾电流值要么为零,要么为非零常数.在此模型中,若收尾电流值为零,则导体棒ab将做匀加速直线运动,导体棒cd将做匀速直线运动,回路中将再次产生感应电流,这就与“收尾电流值为零”产生矛盾,因此本模型的收尾电流值为非零常数.当电流为恒定值时,有,即收尾条件为a1＝a2＝a.将两根棒看成一个整体,由牛顿第二定律得以导体棒cd作为研究对象,有BIL＝ma,联立各式解得收尾电流为

2)两根导体棒的v-t图象(如图7所示).

图7

例3(多选)如图8所示,U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上,ab边和dc边平行,且与bc边垂直.ab、dc足够长,整个金属框电阻可忽略.一根具有一定电阻的导体棒MN置于金属框上,用水平恒力F向右拉动金属框,运动过程中,装置始终处于竖直向下的匀强磁场中,MN与金属框保持良好接触,且与bc边保持平行.经过一段时间后( ).

图8

A.金属框的速度大小趋于恒定值

B.金属框的加速度大小趋于恒定值

C.导体棒所受安培力的大小趋于恒定值

D.导体棒到金属框bc边的距离趋于恒定值

解析

当bc边切割磁感线时产生感应电流,使得导体棒MN受到向右的安培力,做加速运动,bc边受到向左的安培力,向右做加速运动.当MN运动以后,设bc边和导体棒MN的瞬时速度分别为v1、v2,感应电流为,金属框和导体棒MN受到的安培力大小均为以导体棒 MN 为研究对象,有m2a2;以金属框为研究对象,有m1a1,两棒初速度均为零,则a2从零开始逐渐增大,开始逐渐减小.当a1＝a2时,相对速度v1－大小恒定.综上所述,金属框的加速度趋于恒定值,安培力也趋于恒定值,选项B、C正确.金属框的速度会一直增大,导体棒到金属框bc边的距离也会一直增大,选项A、D错误.故选B、C.

点评

本题是等长双杆受力模型,收尾状态为a1＝a2;若题目改为非等长双杆受力模型,感应电流为,电流恒定时有

此时收尾状态为L1a1＝L2a2.

例4(原创)如图9-甲所示,两根足够长、电阻不计且相距L＝1m的平行金属导轨固定在倾角为θ＝37°的绝缘斜面上,两导轨间有一磁感应强度大小B＝1T、方向垂直斜面向上的匀强磁场,现将两根质量均为m＝1kg、电阻均为R＝1Ω、长度均为L＝1 m的金属棒放置在导轨顶端附近,金属棒与导轨接触良好,金属棒ab与导轨间的摩擦忽略不计,金属棒cd与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.75.t＝0时,将金属棒ab由静止释放,此时金属棒cd锁定在斜面上;t＝t1时,将金属棒cd由静止释放,金属棒中的电流随时间变化的关系如图乙所示,g取10m·s－2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8.

图9

(1)t＝t1时,求金属棒ab的加速度a1及金属棒cd的加速度a2.

(2)若在0～t1时间内,金属棒ab沿着斜面下滑的距离为x1＝0.5m,求这段时间内金属棒ab产生的焦耳热Q.

(3)若t＝t2时,金属棒ab的速度为v2＝9m·s－1,求t＝t2＋1s时,金属棒cd的速度v.

解析

(1)由牛顿第二定律得

联立各式解得a1＝5.5m·s－2,a2＝0.5m·s－2.

(2)t＝t1时,设金属棒ab的速度为v1,则有

由能量守恒定律得

联立各式解得Q＝1.25J.

(3)t＝t2时,设金属棒cd的速度为v′2,则有

当金属棒中的电流稳定时,两根金属棒以相同的加速度一起做匀加速直线运动,对于整体,由牛顿第二定律得

对于金属棒cd,由牛顿第二定律得

由匀变速直线运动规律得v＝v′2＋a·1s＝6m·s－1.

解答电磁感应力电综合问题,可按如下步骤进行分析:

(1)找出等效电源,电磁感应中产生感应电动势的那部分导体相当于电源;

(2)分析电路结构,利用闭合电路欧姆定律计算回路中的电流;

(3)对导体棒进行受力分析,尤其注意安培力的动态变化情况;

(4)找出收尾状态,收尾状态的分析往往是解决这类问题的突破口;

(5)分析能量的转化情况,进而算出各部分产生的焦耳热.

综上所述,在双杆切割模型中,找准感应电流的收尾值是解决问题的关键,若电流收尾值为零,利用收尾状态能找出两棒间的速度关系;若电流收尾值为非零常数,利用收尾状态能找出两棒间的加速度关系,再结合牛顿运动定律、动量定理和能量守恒定律,这类问题便可迎刃而解.