一道经典电磁感应题目的深入分析

董静雨

(石家庄市第二中学,河北 石家庄 050000)

在中学“电磁感应”教学中,有一些电磁感应过程,在中学阶段是难解释清楚的．如有这样一道经典题目,题目主要考察学生利用楞次定律判断闭合回路中的感应电流方向．笔者在通过对学生的错误解答的深入分析后,又从理论角度进行推导,发现本题中的另一番风味．

1 一道经典题目

图1

AOC是光滑的直角金属导轨,AO沿竖直方向,OC沿水平方向,ab是一根靠立在导轨上的金属直棒(开始时b离O点很近),如图1所示．它从静止开始在重力作用下运动,运动过程中a端始终在AO上,b端始终在OC上,直到ab完全落在OC上,整个装置放在一匀强磁场B中,磁场方向垂直纸面向里,则ab棒在运动过程中

(A) 感应电流方向始终是b→a.

(B) 感应电流方向先是b→a,后变为a→b.

(C) 所受安培力方向垂直于ab向上.

(D) 所受安培力方向先垂直于ab向下,后垂直于ab向上.

本题的正确选项是(B)、(D)．几乎所有可查到的分析均如下:初始,ab与直角形金属导轨围成的三角形面积趋于0,末状态ab与直角形金属导轨围成的三角形面积也是趋于0,所以整个运动过程中,闭合回路的面积是先增大后减小．根据楞次定律的增反减同,判断电流方向先是逆时针后是顺时针,选项(A)错(B)对．根据左手定则判断安培力可得安培力先是垂直于ab向下,后垂直于ab向上,选项(C)错(D)对．

2 错因分析

学生的错误答案是选项(A)、(C)．其原因是因为学生在分析此题时,认为金属棒ab在运动过程中切割磁感线产生电动势,b点的速度始终水平向右且有垂直于棒向上的分速度,故利用右手定则判断出感应电流方向始终是b→a,再利用左手定则判断出所受安培力方向垂直于ab向上,从而得出错误的答案选项(A)、(C)．

学生认识到回路中产生的电动势实质是动生电动势,这一点是正确的．这一电动势是金属棒ab在运动中切割磁感线产生的．然而,由于学生知识所限,在分析金属棒切割方向时出现错误,导致得到错误答案．

在切割类电动势中,动生电动势的大小为Blv．在磁感应强度B、导体棒切割长度l和切割速度v3个参量中,若其中任意两者平行,则不会产生动生电动势．

图2

金属棒ab的运动,在题给图示位置时,b端有水平向右的速度vb,同时a端有竖直向下的速度va,如图2所示．

两速度在沿棒方向的分速度v∥相等,这一分速度并不切割磁感线,对电动势没有贡献．但是,b端垂直棒向上的分速度vb⊥与a端垂直棒向下的分速度va⊥均切割磁感线,对回路电动势有贡献．这种切割可以等效为金属棒ab在绕着棒上某点O2逆时针旋转切割磁感线．O2点是金属棒中仅有沿棒的分速度而没有垂直棒的分速度的一点．因此O2b端切割产生的电动势方向为b→a,O2a端切割产生的电动势方向为a→b,整个金属棒ab中的电动势为两者之和．在初始瞬间,a点速度沿棒方向,垂直棒方向分速度为0,b点速度垂直棒方向,沿棒速度为0,故O2点在a点;在末态瞬间,a点速度垂直棒方向,沿棒速度为0,b点速度沿棒方向,垂直棒速度为0,故O2点在b点．在运动过程中,O2点从a点逐渐移动到b点,前一段时间内O2b长度大于O2a长度,O2b段产生电动势大于O2a段电动势,故金属棒ab中电动势方向为b→a;当O2点位于棒中点时,金属棒中电动势为0,此后过程中由于O2a长度大于O2b长度,O2a段产生电动势大于O2b段电动势,故金属棒ab中电动势方向为a→b．结合左手定则可得到本题正确选项为(B)、(D)．

上面是从定性角度对题目进行分析,下面从定量角度再次对题目做更深入详尽的讨论．

3 理论分析

根据感应电流与感应电动势的关系,我们可以通过定量计算金属棒滑动过程中任意时刻ab两端的动生电动势,进而分析回路中感应电流．

为了简化金属棒中感应电动势的计算,我们假设金属棒与直角金属导轨绝缘接触,即电路开路,仅有感应电动势,没有感应电流．在这种情况下,金属棒由静止状态在重力作用下顺着墙壁滑下,金属棒减少的重力势能转化为其增加的动能.

ΔEp=-ΔEk.

(1)

在某一时刻t,金属棒到达图2所示状态,设金属棒质量为m,棒长为L,a端纵坐标为y,金属棒的动能为Ek．从初始状态到此时刻,根据能量守恒有

(2)

在此时刻,选取金属棒的速度瞬心O1为参考点,此时金属棒仅有转动动能,故Ek可以表示为

(3)

式中I为金属棒绕速度瞬心的转动惯量．在不同时刻时,金属棒的速度瞬心不同,根据图中几何关系及平行轴定理[1],能够证明任意时刻时金属棒绕速度瞬心的转动惯量均为

(4)

(5)

过金属棒的速度瞬心作金属棒的垂线交金属棒O2点,此O2点只有沿金属棒的速度,没有垂直金属棒的速度分量．因此,金属棒ab中的电动势可以认为是金属棒aO2和金属棒bO2分别绕O2点旋转切割磁感线产生的电动势的和，即

(6)

式中rb和ra分别表示金属棒bO2和金属棒aO2的长度．根据几何关系得

(7)

由(5)～(7)式解得金属棒ab的电动势为

(8)

利用MATLAB软件模拟出在B=0.5 T,L=1.0 m,g=9.8 m/s2的情况下,金属棒中的电动势变化规律如图3所示．

图3

图4

4 拓展

若将直角形金属导轨换成固定的圆形导轨,如图4所示．根据上述分析可知金属棒ab在转动过程中速度瞬心O1一直保持在圆形导轨圆心处不变,故棒上只有沿棒速度的点O2始终固定在棒的中点,此时切割可等效为棒绕中点的旋转切割,且两端的电动势始终等大反向,总和为0．

5 小结

中学阶段对于电磁感应现象中感应电动势的讨论,由于所学知识的限制,在很多情况下,如本题所给情景,是没有办法给出详细解释的．以上对本题目的讨论中,不仅对学生的能力提出了更高的要求,同时也对教师的能力提出了更高的要求．对于学生的错解,归根结底在于学生的“想当然”,没有严谨深入地吃透物理模型．在高中物理题目中偶有相似的题目出现,其中的错误具有很强的迷惑性．作为高中物理教师,应该从普通物理的高度去理解知识,准确地把握物理模型的内涵,才能在高中物理知识的讲解中做到清晰透彻,不被此类的错误所迷惑．

以上是笔者的一孔之见,不妥之处,请各位同仁赐教．

参考文献：

1 漆安慎，杜婵英. 普通物理学教程·力学[M]. 北京:高等教育出版社,2011(9)： 225-226.