高中数学解题中构造函数的有效应用

许娟

摘 要：构造函数是解决高中数学问题的重要思路之一，是高考考查的重要知识点。构造函数建立在对数学问题深入理解的基础上，对学生的综合能力要求较高。为使学生掌握应用构造函数解决相关习题的思路与方法，使其树立解题自信，应做好相关数学习题的归类，展示构造函数在不同题型中的应用。

关键词：高中数学;解题;构造函数;应用

从构造函数在高中数学解题中的应用来看，构造函数主要分为两种类型：构造学习过的函数、构造陌生的函数。大多数习题需要构造出陌生的函数，而研究陌生函數的最常用工具是导数，因此，应用构造函数解题时应牢牢把握“构造”“求导”两个重要环节。

一、用于比较大小

运用构造函数比较较为复杂式子的大小关系是近年来高考的重要题型之一。解答该类题型构造函数仅仅是最为基础的环节。构造出函数后还需研究构造函数的单调性，通过比较函数的自变量大小得出最终的结果。

已知θ∈（0，），a=，b=c=，则a、b、c的大小关系为：__       ___。

a、b、c表达式的格式较为一致。运用整体思想认真审视各表达式，找到其特征相同的部分，使用自变量x表示不难找到要构造的函数。构造出函数后，便将复杂的比较大小的问题转化为比较自变量的问题。

构造函数f（x）=，观察可知f（2-x）=f（x），函数f（x）的图像关于x=1对称;f'（x）=，当10，函数f（x）单调递增，∴0

∵θ∈（0，），∴0b。由对称性可知f（2cos2θ）f（sinθ），即，a>c，综上可知b

二、用于求最值

求最值是高中数学较为常见的一类题型。根据经验求最值需要应用函数的性质，因此解题分为两步：（一）确定函数。根据题干创设的情境，明确函数是否是基本函数。如不是基本函数，及时构造出新的函数。（二）确定函数性质。求导后确定导函数在某个区间与零的大小关系，找到极值或最值。

已知函数f（x）=e3x-1，g（x）=+lnx，若f（m）=g（n），则n-m的最小值为_            ___。

分析该题可逆向推理。求“n-m的最小值”→确定n、m的表达式→构造函数→研究构造函数的单调性→计算出最小值。其中确定n、m的表达式需根据题意引入新的变量t，后续研究工作基于t的取值范围。

根据题意，令f（m）=g（n）=t（t>0），则e3m-1=t，+lnn=t，lnn=t-。

∴3m-1=lnt，m=（lnt+1），n=，则n-m=-（lnt+1）

构造函数H（t）=-（lnt+1）（t>0），H'（t）=-·，容易得到H'（t）在（0，+∞）为增函数，且当t=时，H'（t）=0。

∴当0时，H'（t）>0，H（t）为增函数，即，t=时H（t）取得极小值也就是最小值，则H（）=-（lnt+1）=1-（ln+1）=，即，n-m的最小值为。

三、用于解不等式

解答抽象函数的不等式是高中数学的难点问题。解答该类问题有个统一的思路：确定函数的单调性，运用题干条件将具体的数值转化函数的值，去掉函数的对应法则，运用不等式性质求解。其中确定函数的单调性有时需在构造函数的基础上通过定义法、求导法等确定。将具体的值转化为函数的值时应注重隐含条件的应用。

已知函数f（x）为奇函数，且0≤x1

题干中给出的函数为抽象函数。破题时对求解的问题进行变形，构造新的函数，借助已知条件确定其单调性。同时，注重R上的奇函数f（0）=0，这一隐含条件的应用。

∵x-3≤f（x）≤x，∴-3≤f（x）-x≤0，构造函数g（x）=f（x）-x

∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴g（-x）=f（-x）+x=--f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），∴g（x）为R上的奇函数，则g（x）=0。

当0≤x1

∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）+2=3，∴-g（2）=3，则g（2）=-3，又∵g（0）=f（0）-0=0，∴-3≤f（x）-x≤0g（2）≤g（x）≤g（0），则2≤x≤0，∴不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]。

四、用于求参数范围

求解参数范围的常规思路为分离参数。分离参数后往往会产生一个新的较为复杂的式子。构造函数后运用导数对其性质进行研究，在给定的取值范围内确定其最值，问题也就不难解决。

已知不等式|mx3-lnx|≥1（m>0），对（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是__              __。

习题中的不等式带有绝对值，去掉绝对值会形成两个新的不等式，因此，需要分离参数，构造新的函数后，对其进行分类讨论，舍去不满足题意的参数。

∵|mx3-lnx|≥1，∴mx3-lnx≥1或mx3-lnx≤-1

当mx3-lnx≤-1时，即，m≤，而当x=1时，=0，因此，当m>0时对（0，1]不恒成立。接下来主要研究mx3-lnx≥1的情况，整理得到：m≥。

构造函数f（x）=，f'（x）==，令f'（x）>0，解得0

五、用于证明结论

研究陌生函数的性质时往往在求导后构造新的函数，方便对该新函数的性质继续进行研究，从而更加准确地把握原函数的变化趋势，掌握原函数与自变量之间的关系，推理出要证明的结论。

已知函数f（x）=ex-x2-2x，证明：f（x）存在唯一极小值点x0，且-2

习题题干较为简单，但难度并不小，需要灵活运用导数知识研究原函数导数的变化情况，以确定原函数极小值的唯一性。同时根据原函数取得极值时与导函数之间的关系，确定极小值的取值范围，最终通过等价代换找到函数极小值的取值范围。

∵f（x）=ex-x2-2x，f'（x）=ex-2x-2，接下来构造函数

令g（x）=ex-2x-2，则g'（x）=ex-2，令g’（x）=0，解得x=ln2，即，當xln2时，g’（x）>0，g（x）递增;则g（x）在x=ln2处取得极小值，g（ln2）=-2ln2<0，表明g（x）一定存在两个零点，分别对应函数f（x）的极大值和极小值。设极小值点为x0，则g（x0）=-2x0-2=0，f（x0）=-x02-2x0=2-x02。

∵g（）=-5<0，g（2）=e2-6>0，表明x0∈（，2），而f（x0）=2-x02∈（-2，-）得证。

结束语

构造函数在高中数学解题中有着广泛的应用。为使学生掌握不同数学题型的构造思路，构造出正确的函数，为后续解题的顺利进行做好铺垫，应针对不同题型做好构造思路的总结，并展示构造函数的具体实现过程，使学生更好地把握构造细节。

参考文献

[1]陆昌荣.高中数学解题中构造法的运用[J].高中数理化，2021（4）：7-8.

[2]章君.解析构造函数在高中数学解题中的应用[J].中学课程辅导（教师通讯），2020（24）：76-77.

[3]李鸣.论高中数学解题中构造函数的有效应用[J].数理化解题研究，2020（31）：66-67.

[4]周华.刍议高中数学解题中构造函数的应用[J].中学生数理化（自主招生），2020（3）：20.

[5]孙云涛.解析构造函数在高中数学解题中的应用[J].中学数学，2019（19）：33-34.

[6]顾建峰.构造函数法在高中数学解题中的应用[J].语数外学习（高中版中旬），2019（2）：39.

[7]武基云.基于“构造法”的高中数学解题思路探索[J].数学学习与研究，2021（1）：152-153.