架设阶梯化解计算难点

2021-01-10高房

高考·下 2021年10期

高房

摘要：在中学数学教学过程中，方差教学一直是教学重点，也是教学难点。本文旨在运用新颖的教学方法，结合我校学生的特点，设计了借助表格、降低步骤难度的教学过程，用以化解计算难点。更想让学生理解方差的意义及方差在现实生活中的实际运用，架构阶梯化解计算难点，激发了学生做题积极性，提高了学生答题正确率。

关键词：中学数学;阶梯化解;方差;平均数

一、内容及其解析

（一）内容

方差的意义及简单应用。

（二）内容解析

在統计学中，数据的平均数、中位数、众数能反映数据的“集中趋势”，数据“离散程度”也是我们平时关注的重要统计量之一。刻画数据离散程度的统计量有极差、方差、标准差、平均差等。

方差是刻画一组数据波动大小的统计量，方差越大，数据越不稳定。当一组数据的平均数相等或相近时，它们的波动大小可以通过画图观察得到;为了量化数据的波动大小，这样方差的公式就自然合理地产生了。方差与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着重要的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点，在理解方差意义的基础上准确计算方差。

二、目标及其解析

（一）目标

1.了解方差的意义。

2.会计算方差比较两组数据的波动大小。

（二）目标解析

达成目标1的标志是：在经历画图、观察、探索及量化数据离散程度的过程中，增进对方差意义的了解，体会方差的作用。

达成目标2的标志是：会计算一组数据的方差，用方差来描述数据的波动程度。

三、教学问题诊断分析

由于刚学习了“数据的集中趋势”，学生可能会习惯于用所学的平均数、中位数、众数去解决生活中的统计问题，所以研究数据波动的必要性需要学生充分体会。由于方差的计算公式较复杂，学生难以记忆，这些都需要教师在遵循学生的认知规律的基础上借助典型事例加以说明。

基于以上分析，我校学困生在计算方面体现“嫌烦怕难”的特点，对于计算步骤较多而且小数较多的题目大多数学生会在第一时间选择放弃。但是方差这种类型的题目又是中考的常见题型，必须要掌握。

本节课的教学难点是：在对于方差意义理解的基础上，计算方差并描述数据的波动程度。

四、教学过程设计

（一）创设疑问，引入思考

问题1：乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行检测，结果如下（单位：mm）：

A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1;

B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2。

根据这些数据估计，我们应该选择哪个厂的乒乓球呢？

追问1：乒乓球的质量可用什么量来描述？请计算后说明。

师生活动：教师提出问题并引导学生思考、阐明自己的看法，计算得两个厂乒乓球的质量标准（平均数）都是40mm。

追问2：平均数一样的情况下，如何考查乒乓球质量的稳定性呢？

师生活动：教师引导，学生分析，可用每个球的尺寸与平均尺寸进行比较;同时，关注学生在提出问题的解决方案时能否结合生活实际。

设计意图：联系生活实际，激发学生的学习兴趣。追问1复习了平均数在生活中的应用，追问2又让学生理解仅用平均数不能解决质量稳定性问题，它需要描述数据的波动性，让学生感受到研究数据波动性的必要性，为方差的导入进行铺垫。

问题2：研究乒乓球质量的稳定性，就是了解数据的分布情况，采用什么方法可以描述数据的分布情况？

追问1：用图反映出乒乓球质量的分布情况。

追问2：为反应波动性，应该将每个球的尺寸与什么量进行比较？

师生活动：教师引导学生分析乒乓球质量的稳定性，现实意义在于研究每个乒乓球的差异性，其本质是研究数据波动性;学生进行分组合作，探索问题2的解决方案，若不能解决，再通过追问引导，活动中要引导学生注意图的合理性与直观性。

引导学生直观地表示乒乓球的平均尺寸，并与各个球的尺寸进行比较，初步得到结论;A厂乒乓球的尺寸较集中分布在平均尺寸附近，波动较小，而B厂乒乓球的尺寸波动较大，所以A厂的乒乓球质量较稳定。

（二）合作交流，强化计算

为了刻画一组数据波动的大小，用画图的方法可以给我们以直观的感受，但统计中常用公式的方法进行计算：

但是对于我们专门学校的学生来说，方差的计算不仅步骤多，而且计算烦琐，很多学生都不愿意计算。为了解决这一问题，教师给出较易于操作的方式：

设计意图：直接呈现方差公式，并进行适当的解释;为了降低计算的烦琐性，通过表格分散每一步的计算量，也可以减少学生对于计算的畏难情绪。

问题3：学生结合自己所画的数据分布图与方差计算公式，分组讨论;教师听取学生的意见，引导学生分析，找出规律;当数据分布比较分散（数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的平方和较大，方差就越大，反之亦然。学生分组计算后，进一步感受方差描述数据波动大小的合理性，理解用方差刻画一组数据波动大小的合理性。

显然，SA2

设计意图：在教师的引导下感受新知，通过合作交流，得出方差的规律，获取新知。再通过计算验证，初步理解新知，并渗透用样本方差估计总体方差的统计思想。

（三）应用概念，解决问题

例：已知三组数据1，2，3，4，5;11，12，13，14，15和3，6，9，12，15。

1.分别求这三组数据的平均数、方差。

2.对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？

师生活动：学生分组完成简单问题，板书解题过程，学生思考问题，并和教师一起计算、判断、解决问题。总结用方差估计数据波动程度的步骤。

设计意图：巩固方差公式，再一次体验方差在生活中的应用，结合例题理解方差的意义，熟悉公式的计算过程为：先计算平均数，再求差，平方后再求平均，进而规范解题格式。

（四）练习反馈，学以致用

教科书后练习题。

师生活动：学生独立完成，教师课堂内指导有困难的学生。

设计意图：通过对方差的计算，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的;先从图中获取信息，再计算方差，与图进行对比，进一步理解方差的意义。