带有死亡和意外返还条款的DC 型养老金的最优投资问题

陈佳辰, 荣喜民, 赵 慧

(天津大学数学学院，天津 300354)

1 引言

上世纪50 年代，Markowitz[1]提出的资产选择理论认为投资的分散化有利于消除非系统性投资风险.保险基金的规模巨大，其安全性直接关系到被保险人利益和社会稳定，因此应该考虑采用组合投资的方式进行风险分散，来消除非系统风险.以Sharpe[2]、Lintner[3]和Mossin[4]为代表的经济学家从实证出发，探索Markowitz 理论在现实实践的简化，从而产生了资本资产定价模型.该模型描述了投资者采用Markowitz理论进行投资管理的条件下，市场价格均衡状态的形成，实现了证券理论从定性分析到定量分析的转变，成为研究证券市场中资产的预期收益率与风险之间关系的基本模型.其中Sharpe[2]给出的资本资产定价模型，提供了一种衡量风险价值的方法，可以帮助投资者判断风险与投资收益是否匹配.荣喜民等[5]提出的组合证券投资最优化模型在一定程度上克服了Markowitz 理论的不足.

养老保险是一种重要的社会保险，有两种不同的设计方式，一种是DB 型，另一种是DC 型.在DB 型养老金中，每期的给付额是在缴费前确定的，是依据被保险人的最终工资水平以及工作年限计算得到，而缴费率是在估值过程调整得到的.而在DC 型养老金计划中，每期的缴费率是在缴费前确定的，而积累过程中每期的给付额是依靠缴费率和保险基金投资的收益计算得出的，投资过程的风险是由投保人承担[6].在DC 型养老金计划的最优投资策略的研究中，现在一般有两种方式，一种是期望效用最大化，另一种是以均值-方差为目标.Boulier 等[7]、Cairns 等[8]在幂效用函数下考虑了DC 型养老金计划的最优投资问题；Xiao 等[9]在对数效用函数下分析了DC 型养老金计划的最优投资问题；Devolder 等[10]、Battocchio 和Menoncin[11]在指数效用函数下研究了DC 型养老金计划的最优投资问题.Markowitz[1]在1952 年提出了单期离散时间的均值-方差模型；Zhou 和Li[12]得到连续时间的均值-方差模型；Li 和Ng[13]利用随机控制理论改良模型，将单期离散时间模型推广到了多期.Højgaard 和Vigna[14]在均值-方差模型下研究了DC 型养老金的最优投资问题.

He 和Liang[15]研究了一种带有退还保费条款的DC 型养老金计划的最优投资策略.而这种有返还条款计划强调了被保险人在保险有效期内死亡，保费退还给其继承人的条款.因其涉及死亡退出，所以对本文研究的带有死亡和伤残返还的养老金计划有借鉴意义.研究带有返还条款的文章还有柴忠芃等[16]、Bian 等[17]以及Li 等[18]等.本论文将依据被保险人寿命的不确定性，借鉴有返还条款的养老保险最优投资策略的相关研究，探讨带有死亡和伤残返还的养老保险投资问题，通过建立养老金及其风险投资的财富过程，应用随机最优控制理论，得到相应的Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程.通过设解和分离变量等方法求解得到最优投资策略.所得基金投资的最优策略，可为保险公司提供有价值的决策依据.

本文共分五节，其中第2 节和第3 节为本文的核心部分：第1 节为文献综述，介绍国内外DC 型养老金相关问题的研究进展，对本文研究思路以及文章结构进行了概括.第2 节建立了数理模型，包括金融市场以及养老金的财富过程.第3 节运用动态规划方法得到相关的HJB 方程，求解投资问题的最优投资策略以及有效边界.第4 节分析各个参数对价值函数和有效边界的影响.第5 节是文章的总结，概括了本文的创新点，提出了本文模型的局限性及日后可以改进提升之处.

2 数理模型

本节将引入金融市场模型以及带有返还条款的养老金模型，并给出相应养老金计划的财富过程.

假定市场上有两种资产供保险人选择，即一种风险资产和一种无风险资产.定义t 时刻无风险资产的价格为S0(t)，其满足如下微分方程

其中r >0 为无风险资产利率.

定义风险资产的价格过程为S1(t)，假设其服从几何布朗运动，即满足以下微分方程

其中c 和σ 分别为风险资产收益率和波动率，都为正常数.B1(t)为概率空间(Ω,F,P)上的一个标准布朗运动.

在本文中，我们研究养老金计划在积累过程中的最优投资策略.在养老金计划中，被保险人会在积累过程中投入一个确定的保费P，其中这个保费是提前确定好的，每期都不会发生改变.被保险人在投保阶段内将一直持续投入保费，积累过程将在此过程中一直持续.假设积累过程从ω0岁开始持续到ω0+T 岁，即养老金计划的时间长度为T.在这个过程中，基金管理者将会把养老金投资在股票和债券上进行保值增值，其中一部分π 将会分配在股票上，剩余部分1 −π 将会分配在债券上，这里的π 是一个可控变量.若被保险人在积累过程中未发生意外，即保险合同中的赔付条款未被执行，他/她将会在积累过程结束后得到养老金的投资收益，这个数目不是提前确定的，它会受到意外发生概率以及养老金的投资收益所影响.在这里，我们假定该意外为被保险人死亡和伤残事故.若被保险人在积累过程中死亡，按照养老金合同的一般规定，受益人将会获得一笔事先确定的赔偿金；同理，当被保险人发生伤残事故时，受益人也会获得相应的赔偿.在模型中，我们假设死亡赔偿金为M，用∆tqω0+t表示从ω0+t 岁到ω0+t+∆t 岁的死亡率，这里的∆tqω0+t是一个精算符号，表示在ω0+t 时刻存活，但在∆t 时间段内死亡的可能性.所以在t 到t+∆t 时刻要赔付的保险金数额为M∆tqω0+t，赔付后，积累值和赔付值之差将会分配给存活的被保险人的养老金账户.而当被保险人生存时，就有可能发生伤残事故，在本文中，我们假设在t 到t+∆t 时间段内，伤残事故的赔偿由一个复合Poisson 过程表示.又因为被保险人依然存活，所以积累值和赔付值之差将不会在存活的被保险人的养老金账户上进行分配.

首先，定义伤残事故的赔偿为R(t)，其形式为

其中N(t)是一个强度为λ 的时间一致泊松过程，表示t 时间段内发生伤残事故的次数；Yi为均值为η、二阶矩为σ22的随机变量，表示发生伤残赔偿金.

然后，考虑基金规模为X(t)在时间t+∆t 时的形式

从(3)可以看出，基金规模X(t)会受以下因素影响：投资分配，保险费，死亡率以及积累值与赔付值的差值等.

设

则等式(3)变为

采用精算中的死亡力函数µ(t)来简化(5)，则条件死亡概率满足

根据上式计算∆tqω0+t可以得到

当∆t →0 时，µ(ω0+t)在积累过程中的值不大时上式成立，从而可以得到

因此可知

从而等式(5)化为

根据∆δ∆tt 和∆R(t)的定义，当∆t →0 时，有

因此，基金规模X(t)可以表示为如下连续时间随机微分方程

为了简化模型，我们引入Abraham De Moivre 模型[19]来描述死亡力函数µ(t).在这个模型中，生存函数s(t)和死亡力µ(t)有以下形式

其中ω 是生命年表的最大值，则随机微分方程有以下形式

根据文献[20-22]，我们对复合泊松过程进行近似

其中B2(t)为概率空间(Ω,F,P)上的一个标准布朗运动，与B1(t)的相关系数为ρ.代入(10)中，可得

因此，保险账户的基金累计值可以被一个根据保险精算规则建立的连续时间随机过程描述.从积累过程结束后保险人的角度看，保险公司希望可以使基金规模X(t)最大化，并且X(t)的波动最小化.本文选择均值-方差作为评价准则，则问题可以化为养老金连续时间优化控制问题.基金经理可以选择最优投资策略，即在股票和债券上分配投资来满足保险人的目标要求.该优化问题可以描述为

这里的Π ={π|π ∈[0,∞)}是投资策略的集合.

3 最优投资问题求解

在这部分中，我们将求解优化问题(12)，优化分配在股票和债券上的比例，求出有效边界的形式.首先，利用Bjork 和Murgoci[23]的方法将(12)等价转化为下面的带价值函数的时间不一致优化控制问题

最优投资策略π∗满足V(t,x)=J(t,x,π∗).这里γ 是一个正常数，代表的是Vart,xXπ(T)的风险厌恶系数，即通过它描述被保险人的风险厌恶程度.在这里，γ 同时作为一个参量，代表被保险人有不同的风险厌恶程度，会影响投资策略的策略的选择.

假设

则价值函数V(t,x)变为

定理1(验证定理) 若存在三个实函数F, G, H :[0,T]×R →R 满足下面的HJB方程

其中

则满足V(t,x)=F(t,x), yπ∗=G(t,x), zπ∗=H(t,x)的π∗是(13)的最优投资策略.

证明 该定理的证明与文献[15,24]类似，在这里略去证明.

接下来，我们将求解上述HJB 方程.首先，根据f(t,x,y,z)的形式，可以得到

则有

将上式代回(14)，并对π 求微分可得

将(18)代回(14)和(15)

假定F(t,x)和G(t,x)有以下形式

将(21)代回(19)和(20)，可得

使上面两个式子中x 的系数和常数项之和为0，则有

则最优投资策略π∗(t)满足

其中Xπ∗(t)为随机微分方程(11)的特解.

显然，Xπ∗(t)是在时间t，最优投资策略π∗所对应的最优基金规模.从式(24)可以看出π∗是风险厌恶程度γ 的函数.因此，不同的风险厌恶程度的保险人有不同的投资策略，则会产生不同的效用边界.

接下来给出效用边界，首先由式(13)，有

代入α(t), β(t)和B(t)计算可得有效边界为

其中

相比于文献[15]中仅有死亡赔偿、没有伤残赔偿的有效边界，这里的有效边界多出了两项，分别为

其中第二项在[0,T)内恒小于0，而第一项在通常参数设定下也是小于0 的.这也表明，考虑伤残赔偿后，有效边界会向下平移，即在承担相同的风险的情况下，获得的收益会下降.所以保险公司若要获得与之前相同的收益，需要承担更大的风险，将有更多的资金投资于风险资产.

本文假设两个布朗运动的相关系数ρ ̸= 0 是考虑到实际情况中可能存在一些重大的造成伤残的事故，也会同时影响金融市场.比如：若煤矿发生重大安全事故，在造成人员伤亡的同时，国家可能会进一步加强相关产业的安全监管，要求企业加强安全措施及安全教育，造成企业运营成本增加，从而影响市场对该行业未来盈利能力的信心，导致金融市场出现波动.若确定B1(t)与B2(t)为相互独立的，可以得到以下推论.

推论1 若布朗运动B1(t)与B2(t)相互独立，则可以得到DC 型养老金的最优投资策略及有效边界分别为

4 数值模拟

在这一节中，将讨论各个参数对效用边界、价值函数以及投资策略的影响.首先，本节中各个参数的默认值如表1 所示.

表1 本节中参数的取值

在第三节中，得到了价值函数V(t,x)的表达式，其形式如下

图1 V(t,x)在不同死亡赔偿金M 和伤残赔偿金η 下关于t, x 的变化趋势

根据该表达式可以得到图1.从图1 左图来看，价值函数的取值关于M 是减函数，这说明提高死亡赔偿金，会降低养老金计划的最终收益，此时保险人为了保证经营管理活动正常进行，应该要提高在风险资产上的投资比例，来获得更高的投资收益，来保证有足够的资金来支付给被保险人.同理，从图1 右图可以看出，提高伤残赔偿金，也会降低养老金计划的最终收益，所以应该采取和以上同样的方法.

从图2 可以看出，当死亡赔偿金和伤残赔偿金上升时，有效边界会向y 轴下方移动.这就意味着，在承担相同风险的时候，获得的收益会下降，在获得相同收益的时候，承担的风险会升高.这表明，保险人应采用合理的赔偿金，否则过高的赔偿金，会增加公司的运营成本，使公司承担更多的风险.

图2 有效边界在不同死亡赔偿金M 和伤残赔偿金η 下关于t, x 的变化趋势

5 结论

本文中所用的精算模型是单生命模型，是以概率论为工具，讨论个体从生存状态到死亡状态的转换规律的模型.而本文所讨论的连续时间投资组合优化问题则是金融数学所研究的核心内容之一，是将金融数学理论运用到实际之中的有效渠道.目前，组合证券投资方法已经被广泛应用在养老保险投资策略中，相关研究成果很多，He 和Liang[15]考虑了带有死亡返还的养老保险投资策略，本文的创新点是在考虑死亡返还的同时，加入伤残返还，是对之前工作的深化.

由于研究工具等方面所限，本文对于保险公司实证研究还没有深入展开，仅停留在理论阶段，而且还存在一些局限性：

1) 在简化个人的死亡力时，采用了Abraham De Moivre 模型，这个模型提出时间较早，并不能很好的描述实际中的个人寿命，随着计算机技术的发展，人们可以借助计算机处理更复杂的死亡力函数，所以目前在实务中已经很少使用De Moivre 模型；

2) 本文假设股票价格服从几何布朗运动模型，很明显这个模型不能很好的描述金融市场的实际情况，我们可以进一步考虑股票符合其他可以更好描述市场的模型，如CEV 模型、Heston 模型等，来改进本文结果，使其更贴近实际情况.