立足“四基”，发展数学思维品质

蔡支梅

摘  要：“四基”是学生数学思维品质发展的基础. 文章以“圆中的相似三角形”专题复习课观课为例，阐述对“圆中的相似三角形”的理解，从教学起点、问题设置、教师导学、教学立意四个方面进行对比分析，指出专题复习设计应立足“四基”，设置适切的问题情境，适时合理地提问引导，聚焦学生的数学思考，以培养学生数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性，发展学生的数学思维品质.

关键词：四基;圆中相似;专题复习;思维品质

笔者在江苏省苏州市“守教育初心，担育人使命”践行有效教学课堂展示研讨活动中观摩了两节“圆中的相似三角形”（以下统称“圆中相似”）的专题复习课. 在观课后，对于“圆中相似”的专题来源、教学定位、教学立意等方面进行了思考，试图更深入地认识这个专题，更好地发挥专题复习的教学价值，以提高专题复习的质量. 为了掌握更多的文献资料，笔者在中国知网以“圆中的相似三角形”为主题进行检索，仅检索到2篇文献，且这两篇文献都来源于苏州地区. 从九年级复习教学的实际情况来看，这个专题受到江苏省苏州市一线教师的广泛关注，但相关研究成果较少. 下面结合对“圆中相似”的理解，简要呈现两节课的教学设计，从教学起点、问题设置、教师导学、教学立意四个方面进行对比分析，最后给出教学建议，供一线教师研讨交流.

一、对“圆中相似”的理解

数学是研究数量关系和空间形式的科学. 关系是数学的核心和灵魂. 有效的课堂教学，除了要解决是什么、为什么、怎么样等知识性问题，还应研究从哪里来、怎样来、到哪里去、如何去等研究性问题. “圆中相似”指的是以圆为背景的相似三角形的图形问题，涉及两个数学概念——圆、相似三角形. 圆和相似三角形怎么会联系起来呢？在圆中蕴含着丰富的相等关系. 例如，直接的相等关系：半径、同弧、等弧、等弦等;间接的相等关系：垂径、切线、直径等，这些是圆的“天然优势”. 而相似三角形的问题主要涉及边、角的关系，具体来说是边成比例、角相等的问题. 将相似三角形置于圆的背景中，呈现注重基础性、关联性和综合性的专题复习内容，是培养学生综合运用数学知识解决问题能力的良好载体. 因此，“圆中相似”的专题复习受到一线教师的青睐.

苏科版《义务教育教科书·数学》在“圆”和“相似三角形”两个单元分别设置了20课时、15课时的教学内容，涉及概念、定理、证明、应用等诸多知识，在一节课上复习两个单元的知识，是一项艰巨而又充满挑战的教学任务. 因此，专题复习教学要有所取舍，少取多舍，抓住两个单元的核心知识，在两者之间搭建桥梁，融会贯通，立足“四基”的培养，发展学生的数学思维品质，使复习教学由有效到增效，再到高效.

二、教学设计呈现

1. 课例1的教学设计

引入  如图1，图中有没有相似三角形？添加一个外接圆，有相似三角形吗？

基础练习：如图2，在⊙O中，[AB]与[CD]相交于点[E.]

（1）试找出图中的所有相似三角形;

（2）若添加条件“[AC=BC]”，找出图中的所有相似三角形;

（3）若添加条件“[AC2=AE ∙ AB]”，找出图中的所有相似三角形.

典型例题：如图3，在⊙O中，[AC]为直径，[AC⊥][BD，] 交点为点[F.]

问题1：如图4，若点[E]为[AB]上一动点，连接[CE，DE，] 设[CE]交[BD]于点[G.] 如果[BG=2，DF=4，][CG=3，] 求[CE]的长.

问题2：如图5，若点[E]在[CD]上运动（点[C]和点[D]除外），直线[CE]与直线[BD]相交于点[G，] 连接[DE，][△GCD]与[△DCE]相似吗？若相似，试说明理由.

问题3：如图6，连接[OB，BC，] 如果[OB=4，OF=][1，] 求[AB，BD]的长.

问题4：如图7，在问题1的条件下，如果点[E]在[BC]上运动，[AE]与[OB]交于点[M，] 且点[M]为[OB]的中点，[BC]与[DE]相交于点[G，] 求[BG]的长.

问题5：如图8，如果点[E]在[AD]上运动（点[A]和点[D]除外），直线[AE]与直线[OB]相交于点[M，] 直线[BC]与直线[ED]相交于点[G]，[△ABM]和[△DBG]是否相似？试说明理由.

问题6：如图9，在问题3的條件下，如果点[E]运动到点[A]，[△ABM]与△[DBG]是否相似？试说明理由.

问题7：在问题2的条件下，如果点[E]在⊙O上运动，且[△ABM，△DBG]存在，那么这两个三角形是否仍然相似？（教师展示10幅拓展图，图略.）

2. 课例2的教学设计

引入  相似的基本图形有哪些？（学生说，教师画.）

回顾与反思：图10中有相似三角形吗？若有，试写出来并说明理由.

总结与提升：具体内容如图11所示.

[三角形和四边形的内、外角] [圆中的线段关系][构造相似][找等角][直径、切线、垂径定理] [图11]

问题1：如图12，四边形[ABCD]内接于⊙O，且[△ABD]为正三角形，写出图中的所有相似三角形.

问题2：如图13，由直径[AB]的端点[A]引两弦[AC，AD]和过点[B]的切线分别交于点[E，F，] 求证：[EFCD=AFAC.]

问题3：如图14，直线[l]与半径为4的⊙O相切于点[A，][P]是⊙O上不与点[A]重合的一个动点. 过点[P]作[PB⊥l，] 垂足为点[B，] 连接[PA.] 设[PA=x，PB=y，] 求[x-y]的最大值.

问题4：如图15，[BC]是半圆[O]的直径，[D]是[AC]的中点，四边形[ABCD]的对角线[AC，BD]交于点[E，] 求证：[AC ∙ BC=2BD ∙ CD.]

问题5：如图16，已知[△ABC]内接于⊙O，[AB]是⊙O的直径，点[D]在⊙O上，且[OD∥BC.] 过点[D]作[DE⊥AB，] 垂足为点[E]，连接[CD]交[OE]于点[F.]

（1）求证：[△DOE]∽[△ABC;]

（2）求证：[∠ODF=∠BDE;]

（3）连接[OC，] 设[△DOE]的面积为[S1，] 四边形[BCOD]的面积为[S2，] 若[S1S2=27，] 求[sin∠CAB]的值.

三、对比分析

1. 教学起点

课例1从无圆的“8字形”相似开始（如图1），随后把基本图形放入圆中，连接BC，分别添加条件[AC=BC，AC2=AE · AB，] 探究图形中所有的相似三角形，立足基本图形，通过探究活动感悟圆与相似三角形的联系，引出课题. 课例2从“A字形”“斜A形”“8字形”“母子形”等基本相似图形开始，随后把基本图形放入圆中（主要选用了“斜A形”“8字形”），由学生完成找相似、写相似，并说明相似的依据. 两个课例都注重以相似三角形的基本图形作为复习教学起点，然后引入圆，借助圆的有关性质找出相似三角形. 虽然对教学起点的把握很准确，但是对圆与相似三角形的关系方面关联不够，引导学生思考不足. 简单地说，就是学生不知道为什么要研究“圆中相似”. 从发展学生思维品质的视角来看，基本图形是学生已有认知的起点，教师引导学生观察、发现、提炼、概括圆中的相似三角形的特点是教学手段，学会借助圆的性质探究相似的问题，最终解决圆的有关问题是教学终点.

2. 问题设置

课例1采用“一图一课”的教学设计，先以一个特殊的“8字形”相似为背景，再以“母子形”相似为背景，呈现动点E在不同“位置”下的对应图形，探究动点E运动下的相似三角形，发现运动视角下的相似不变性，立意比较高. 但在一节课上连续变式并呈现了7个相对复杂的问题，涉及多幅复杂的图形，节奏快、容量大、难度高，对学生的学习提出了非常高的要求，观察发现课堂上教与学出现“脱轨”现象. 课例2共设置了5个问题，分别涉及找相似、证相似、用相似、倍线段及综合应用等方面，每个问题的设置目标明确，由浅入深、层次清晰，尤其在找相似环节，指出了圆中有关等量关系与相似三角形的关系，引导学生思考如何运用圆的性质构造相似三角形，感悟“圆中相似”的学习价值，对学生数学思维品质的培养大有裨益. 但设置的5个问题在内容、方法和思想上没有体现出系统性和关联性，显得零散.

3. 教师导学

课例1利用几何画板软件快速呈现动点运动后形成的相应图形，留给学生的思考时间较短，紧接着挑选部分优等生实施一对一的对话式教学，教师“蜻蜓点水”式地点拨解题思路，极少部分学生与教师有互动，而大部分学生一脸茫然、不知所措. 在观课中就近观察身边的学生，发现部分学生甚至还没弄清当前的问题，教师便快速呈现了下一个问题. 观课的总体感觉是教师讲得开心，学生听得茫然. 课例2的教学节奏比较慢，教学中充分体现学生的主体地位，让学生思考、表达、交流、书写，启发引导适时、适度、适切，学生在基础知识、基本技能、基本思想等方面的发展得以有效落实. 两个课例在引导学生分析问题、弄清题意、拟定计划等方面做得不够深入，对方法的提炼不够，更倾向于解决问题，却对“你是怎样想的？”“还可以怎样想？”等有利于培养思维品质的问题不够重视，对学生的高阶思维能力、数学思维品质的培养有待加强.

4. 教学立意

从总体上看，课例1的“一图一课”的教学立意更高，试图以一个基本图形为起点，借助动点问题，呈现复杂多变的图形情境，引导学生探究圆中的相似三角形，解决与相似有关的问题. 但在问题设置的数量、层次、难度等方面尚需取舍与优化，真正做到理解学生，遵循学生的认知规律，设置适切的问题情境，教学核心应该放在引导学生学会思考、掌握方法上，帮助学生提高数学思维品质. 课例2的“例题教学”立意一般，先以相似三角形的基本图形为抓手，再辅以“一例一解”的方式由师生共同完成问题的探究，属于常态化教学处理. 在教学中，课例2注重引导学生从圆中寻找构造相似三角形的条件，很好地体现了本节课的教学重点，值得学习借鉴. 但设置的5个问题需进一步统整、关联、优化，使问题更具典型性、系统性，指向数学本质，帮助学生理解专题复习的主旨要义.

四、教学建议

林崇德教授认为，思维品质主要包括思维的深刻性、灵活性、创造性、批判性和敏捷性. 就数学学科而言，数学思维品质是指在数学学习过程中的思维习惯和思维方式的个性化表现，是数学思维的个性特征，是数学思维能力的特点及表现. 培养数学思维品质是发展学生数学思维能力的突破点和有效路径. “四基”是数学教学的根基，是培养学生数学思维品质的基石. 离开了“四基”，数学思维品质的培养就是无源之水、无本之木. 因此，专题复习教学设计应立足“四基”，设置适切的问题情境，引导学生回顾基础知识、习得基本技能、感悟基本思想、积累活动经验，在探究活动中经历观察、思考、发现、归纳、思辨的过程，培养数学思维品质.

1. 设置适切的问题情境，发展思维的深刻性和灵活性

在复习导入环节，依据先行组织者理论，明确教学起点，先让学生画出相似三角形的基本模型（基本图形），然后再引入圆的背景，让学生自主完成探索圆与相似三角形关系的学习任务，主动完成圆中相似的意义建构. 课例1设置的问题能唤醒学生的基础知识、基本技能、基本思想，为接下来的探究做好准备，值得借鉴. 在解决问题环节要增加问题情境的深度、广度和难度，以促进学生数学思维的深刻性. 高质量的问题在内容、方法和思想上应具备整体性、系统性、关联性. 例如，在学生的最近发展区内设置“结论开放性”问题，即设置只给出题干图形、自行推导、发现结论类的问题，呈现具有挑战性的学习任务，引导学生在探究学习中经历综合、分析、比较、优化等数学思维活动，学会顺向综合、逆向分析的思考方法，在一题多解、多解归一的思维活动中，发展学生数学思维的灵活性.

2. 适时合理地提问引导，发展思维的独创性和批判性

问题情境是学生数学思维活动的载体，教师通过适当的提问启发学生思考，以实现有效教学，培养学生的理性思维. 教师提问的质量决定了教学的质量，有质量的问题必须把握好启发的“度”，也就是适度原则. 章建跃博士认为，适度的提问必须满足两个条件：反映数学本质和在学生思维最近发展区内发问. 例如，在教学中始终抓住圆与相似三角形的核心知识，以“圆何以助相似”为问题主线，依托基本的数学概念和性质，帮助学生从本质上理解专题复习的教学意义，使学生经历新颖、独特、有意义的思维活动. 从观课中我们看到，课例1的提问是有质量的，但是问题太多、节奏太快，导致复习效果一般. 教学中，要给学生留有充足的时间去思考、想象、探究、类比、化归、推理，交流展示应聚焦在“我是怎样想的”“还可以怎样想”，引导学生从知其然到知其所以然，再到知何由以知其所以然，从一题多解到解法优化，发展数学思维的独创性和批判性.

3. 聚焦学生的数学思考，发展思维的交互性和敏捷性

学生是数学课堂教学的主体，教学起点与教学终点都是为了学生更有效的学，教学立意的核心是学生的学，这里的学包括学习过程、学习结果、学会思考. 一节高立意的专题复习课应该准确把握学情、找准教学起点、选好教学路径、明确教学终点. 就本节课而言，教学起点是相似三角形的基本图形，学生的学习障碍点是引入圓背景之后的问题情境，教学路径是问题探究. 课例2践行“慢教育”理念，充分体现学生的主体地位，问题的分析和解决都由学生完成，适时追问，使学生的数学思维得到了一定的发展. 但是笔者认为，这样还不够，教师的引导应该聚焦在学生怎样思考上. 在问题探究活动中，引导学生剖析问题，正确判断，迅速给出结论，体会基本思想和方法，在师生、生生的交互中学会数学思考，发展数学思维的敏捷性.

参考文献：

[1]马莉莹. 基于活化思维的专题复习教学设计与思考：以“圆中的相似三角形”一课为例[J]. 初中数学教与学，2019（4）：1-3.

[2]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.