运用欧拉动力学方程解决力学竞赛两道理论力学试题1)

付靖宇 赵增辉，†， 孙 伟

*(山东科技大学能源与矿业工程学院，山东青岛266590)

†(矿业工程国家级实验教学示范中心(山东科技大学)，山东青岛266590)

全国周培源力学竞赛作为我国最高级别的大学生力学竞赛，已成为大学生展示自我的重要科技竞赛平台，也是各大院校展示基础力学教学成果的重要舞台，在推动力学科普、培养力学人才、提升基础力学教学水平等方面发挥了重要作用[1-3]。很多高校已经将该项赛事竞赛成绩作为选拔力学尖子生的重要依据。

周培源力学竞赛的个人赛试题注重基础性、实践性、趣味性和开放性。在命题特点方面，经历了三个阶段，第一届到第五届命题形式为理论力学、材料力学各出一张试卷，题量和难度较大。第六届到第十届竞赛，命题更注重综合性、趣味性和开放性，理论力学和材料力学命制在同一张试卷上，由4～5个题目组成，题量大幅减少但综合性和趣味性明显增强。从第十一届开始，命题在结构和内容上做了较大调整，试题分为基础题与提高题两部分，既能考察参赛学生对基础力学基本内容的掌握程度，又可以考验参赛学生对知识的深入领悟和综合应用能力[4-6]。该项赛事试题均为原创命题，具有很好的开放性，引起了很多力学工作者的兴趣[7-10]。提炼和研讨这些题目的解法对于提升学生的力学素养和教师的教学水平是大有裨益的。笔者在本文中将就第一届和第十二届竞赛的两道理论力学题目在解法上加以延伸讨论。

1 欧拉动力学方程与刚体固连系的灵活选取

基于角动量定理推导出的欧拉动力学方程组与质心运动定理一起构成求解三维刚体任意形式运动的二阶微分方程组。通常而言，选取刚体的一个固连坐标架可写出如下欧拉动力学方程组[11]

式中，Ii(i=1，2，3)是刚体的 3个主惯性矩，ωi(i=1，2，3)是刚体的角速度在3条主轴上的分量，Mi(i=1，2，3)是作用在刚体上的外力矩在3条主轴上的分量。当研究对象是非对称陀螺(I1/=I2/=I3)时，求解过程较为复杂，需要引入雅可比-椭圆积分函数；当研究对象是对称陀螺(I1=I2/=I3)时，求解过程较为简单，尤其当无控制力矩即刚体自由运动时，由式(1)中第3个方程可直接得到ω3守恒的结论，且前2个方程也自动简化为线性易求解的；当研究对象是球陀螺(I1=I2=I3)时，求解过程更为简单。然而，如果刚体固连系相对惯性系的几何位形较难描述，那么无论是非对称陀螺还是球陀螺，都将面临计算量方面的困难。这就需要灵活运用欧拉动力学方程。回到最初推导过程，即利用转动系导数与惯性系导数之间的关联列写的角动量定理

2 旋转球的稳定性问题

2.1 问题描述

第一届全国青年力学竞赛理论力学试题第9题，原题为：半径为r，质量为m的均匀圆球在半径为R的完全粗糙的另一固定圆球的外表面上纯滚动。求当动球转速超过多少时可以在定球的最高点处稳定地转动。重力加速度为g。

2.2 简易求解

本题给出的原解答是首先导出两球心连线方向的角速度分量保持不变，然后通过联立6个动力学方程构成的方程组，得到稳定模式对应的二元动力学方程组。优点是运用理论的普适性较强，但过程稍显繁琐。下面笔者给出另外一种解法，可以转化为一个二维斥力平面上原点附近的稳定性问题，书写方便且相对简单。

以初态运动球球心为原点建立一个球面直角坐标架Oxy(x轴和y轴的经度相差 90°)，如图 1所示。在原点附近，这个曲面坐标架和平面直角坐标架在一阶小量上无差异。设x和y两个方向上的摩擦力大小分别为fx和fy。对运动球质心(x，y)，由动量定理得

图1 旋转球稳定性分析示意图

式中g为重力加速度。设运动球的初始角速度ω方向竖直向上。Serret–Andoyer固连系的其中一条坐标轴始终与刚体的角动量矢量重合，而笔者命名的“Serret–Andoyer近似固连系”的其中一条坐标轴始终与刚体的主角动量矢量重合。所谓主角动量是指忽略一阶小角动量的角动量，可以理解为零阶角动量，即本题中与ω对应的角动量(由方程组(1)的第3个方程易知此角动量的大小是不变的，方向始终沿着两球球心连线)。则Serret–Andoyer近似固连系相对惯性系的角速度为(˙y/(R+r)，˙x/(R+r)，0)，代入式(2)并忽略二阶小量即得

式(4)已经利用了纯滚动的约束条件，即

联立以上各式得

假设稳定模式为

式中λ为待定常数。将试探解(7)代入微分方程组(6)得特征根方程组

令特征根方程组对应的系数行列式为零，使得试探解不平凡，化简得特征根须满足的一元二次方程

令该一元二次方程的判别式恰好等于零，即可解得临界转速 (也就是使得运动球能稳定平衡的最低初始角速度)。所以稳定平衡的条件即为

式(10)与原题给出的答案是一致的，但求解过程更为简便。

2.3 拓展讨论

该问题条件进一步放松，若令固定球也绕过球心的竖直轴以角速度ω匀速旋转，是否仍然存在一个使得运动球稳定平衡的最小ω值呢？求解过程如下。

换到固定球不转的参考系中观察，显然这是个非惯性参考系，运动球还会受到惯性离心力和科里奥利力的作用。由质心的加权平均值定义易知惯性离心力的等效作用点在球心处。科里奥利力对运动球的作用在数学形式上相当于一个竖直方向的匀强磁场B对一个均匀带电q球的作用，如图2所示，且满足

计算磁矩得

式(12)已经利用了纯滚动约束条件。

图2 固定球转动时旋转小球的稳定性分析图

对运动球质心(x，y)，由动量定理得

对运动球由角动量定理得

同理有特征根方程组对应的系数行列式为零

再令式 (15)的判别式恰好等于零即可解出临界转速，所以稳定平衡条件为

2.4 工程应用

比较两种情况下的临界转速可知前者是后者的(R+r)/r倍，相比较而言，后者的稳定临界转速要求更低一些，亦即后者的稳定条件更加宽松。这就启发我们在工程设计中为提高旋转结构的稳定性采用后者方式更优，亦即使承重台随着非完整约束物绕垂直于台面的轴同步旋转。而且，从比例(R+r)/r=1+R/r中还可以看出，若取承重台尺寸远大于约束物尺寸，那么同步旋转的优越性将更加凸显。

3 存在内力驱动的刚体定点运动问题

3.1 问题描述

第十二届全国周培源大学生力学竞赛第 3题，原题：在真空中处于失重状态的均质球形刚体，其半径r=1 m，质量M=2.5 kg，对直径的转动惯量J=1 kg·m2，球体固连坐标系Oxyz如图 3所示。另有质量m=1 kg的质点A在内力驱动下沿球体大圆上的光滑无质量管道(位于Oxy平面内)以相对速度u=1 m/s运动。初始时，系统质心速度为零，质点A在x轴上。当球体初始角速度ω0=(1 s－1，0，0.4 s－1) 时求球体的角速度ω和角加速度ε(提示：建立另一个动系Ox′y′z′，使质点A恒在x′轴上)。

图3 非惯性参考系下球体运动

3.2 拓展讨论

原题中质点所处纬度是零，考虑一般情况，现在将管道圈所处纬度抬升至θ/=0，如图 4所示，不妨取M=m。建立一个动坐标架使得质点坐标恒为(rcosθ，0，rsinθ)。该固连系即上文命名的所谓 “虚固连系”。含义是此固连系并不是相对球体固定而是相对体系的几何位形固定，相当于虚构了一个新的动球面以使得质点A和z轴与真实球面的交点在该虚构球面上的位置保持恒定。以此动坐标架写下太空参考系中球体的角动量

式中e1，e2和e3分别为3条坐标轴的单位矢量。

图4 纬度为θ时小球的运动分析示意图

质点的角动量

由于球心不固定，这里引入了折合质量

由动量守恒可以确定球心速度大小与质点速度大小的比例关系，从而将球心对体系质心角动量的贡献拼到质点角动量里去，比例系数便体现在这个折合质量上，这是《理论力学》研究孤立二体系统常用的等效方法。由角动量守恒知

将式(20)对时间求导，利用式(2)，即

式中，等号左边为惯性系中观测角动量变化率，等号右边第一项是虚固连系(e1，e2，e3)中观测角动量变化率，第二项是二者差值(由角动量方向变化而为变化率带来的贡献)。可得

式(22)对任意时刻的(e1，e2，e3)恒成立，故三个方向单位矢量前的系数均为零。由此解得

3.3 求解结果讨论

3.3.1运动特性分析

取m=1 kg，r=1 m，θ=π/4。由数值方法解析在不同初始条件下体系的运动。设三个角速度分量的初值，分别为ω01，ω02和ω03。

图5为三种不同情况下，三个角速度矢之间的变化规律曲线。由图5(a)，取ω02=ω03=0，令ω01依次取不同的值时，角速度变化范围先缩小后扩大。由图 5(b)，取ω01=ω03=0，令ω02依次取不同的值，角速度变化范围不断扩大，且当取值增大到某种程度后，变化曲线出现“纽带”现象。由图5(c)，取ω01=ω02=0，令ω03依次取不同的值时，角速度变化范围不断扩大。综合以上结论，可以猜想，当ω01恰好取到某关键值时，角速度变化范围最小，甚至可以小到变化率为零，即恒定不变。角动量是守恒的，也就是说，对于某个给定的初始角动量，它在动坐标架(e1，e2，e3)的各根坐标轴上的投影量是会随着坐标架的转动而改变的。但如果角动量为零，那么在各根坐标轴上的投影也为零，且恒为零，这便相当于找出了上述关键值。

3.3.2特殊情况下的结论

当初始角动量L0=0时，由式(20)可解得

图5 小球运动特性分析

也就是说：初值为零且初始变化率同时为零，不难判断此值将保持恒定。所以题目中所述的动坐标架将绕定矢量ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3的方向做定轴转动，亦即质点做匀速圆周运动。如图4所示。而球体的角加速度

实体球和 (e1，e2，e3)固连的虚构球的角速度仅在e3方向上差一项u/(rcosθ)，所以式 (25)相当于一只以自转角速度ωs=u/(rcosθ)e3绕ω1e1+[ω3+u/(rcosθ)]e3轴公转的陀螺。综上所述，质点做匀速圆周运动，球体作陀螺式进动。

从以上分析来看，由于陀螺进动具有稳定性，那么如果将航天器简化为球体模型，宇航员视为生物质点，则这种运动模式可提高人造卫星的自转稳定性。

4 结语

全国周培源大学生力学竞赛已成为一项促进高等学校力学基础课程改革、加强理工科高校学生素质教育和创新能力的重要科技活动。比赛难度大，含金量很高，灵活性强，可以全面考察大学生的力学素养和知识掌握深度。

本文针对第一届和第十二届全国周培源大学生力学竞赛两道理论力学试题进行了拓展讨论。从分析过程来看，无论是力矩的参考系变换关系还是以此推出的欧拉动力学方程，均是求解刚体三维运动的制胜武器，且坐标架的选取更是直接关系到这一武器的“操纵”难度。深入挖掘问题本质有利于发掘对工程设计的实际应用价值。全国周培源大学生力学竞赛试题很好地体现了这一点。