理论力学教具DIY系列(二)十字轴万向节及转角差异的演示模型

高云峰

(清华大学航天航空学院，北京100084)

十字轴万向节是一种在工程中应用较为广泛的传动系统，它的主动轴与从动轴可以存在一定的夹角。十字轴万向节具有制造简单、可靠耐用等优势，但存在主动轴与从动轴转速不等的情况。在主动轴旋转 360°的过程中，虽然从动轴也同样旋转 360°，但两者的转角、角速度并不总是相等，这就是十字轴万向节的不等速性。

在理论力学的运动学教学中，十字轴万向节是如何运动的，以及两轴转动的角度关系是一个难点。在实验室中通常将两轴转动的差异用电信号进行转换处理，学生感到不够直观。为了解决这一问题，本文首先设计制作出一个简单的万向节模型，然后导出万向节的转角差异关系，最后设计制作出了一个改进的万向节模型，可以让学生直观地看出两轴转动角度的差异。

1 简化版的万向节设计及制作

十字轴万向轴的要点是：主动轴与从动轴的夹角可以在一定范围内变化，十字轴绕其中心点做定点运动。因此在设计时要考虑这两个因素。

利用 AutoCAD软件进行设计，利用激光切割机对密度板进行加工，可以很快获得十字轴的零部件(图1)。设计中考虑了接口的过盈配合，不需要胶水就可以把框架拼好(图2)。

十字轴的连接轴也用密度板来实现，框架与连接轴之间留有微小缝隙，拼装好后可以灵活转动(图3)。万向节的底板分为两大块，两者可相对做圆周运动且始终保持接触，以方便圆弧边缘有刻度显示主动轴与从动轴的夹角；底板上可以插上立柱，而立柱可与十字轴连接(图4)。

图1 十字轴的零部件

图2 轴的拼装

图3 十字轴的连接

用2根铁轴分别连接十字轴两端的边框，并分别插到底板立柱的孔中，就做好了一个简版的十字轴万向节，它可以实现两轴平行(图5)以及两轴有偏角(图6)时的运动演示，很直观。

图4 可以改变角度的底座

图5 两轴平行情况

图6 两轴有偏角情况

激光切割的精度很高，误差在0.1 mm以内，所以整个装置拼好后，精度还是比较高的。当然以后如果可以用金属来加工，误差可以更小，摩擦也更小，演示效果也会更好。

2 万向节的转动角度关系

结合简易版的万向节模型，可以做运动分析，下面特别关注两轴的转角差异问题。

万向节的运动坐标系如图7所示，所有坐标原点均在O点，但为了方便观看，图中原点放在不同的位置。固定坐标系x0y0z0，初始时刻动坐标系x1y1z1与x0y0z0重合，且主动轴OM固连，OM轴沿x1方向，OA沿y1方向；动坐标系x2y2z2与从动轴ON固连，ON轴沿x2方向，OB沿z2方向；假设OMN始终在x0y0平面内，OM轴与ON轴的夹角为偏角α；OM轴转动φ1后A到了A′，动坐标系变为x3y3z3；ON轴转动φ2后B到B′，动坐标系变为x4y4z4。

图7 万向节的运动分析

在这种假设条件下，A01是单位矩阵，其余各坐标系之间的方向余弦矩阵为

设rA′表示从O到A′的矢量，而表示rA′在坐标系xiyizi中的列阵，根据矢量的列阵在不同坐标系之间的转换关系，则有

因为OA′垂直于OB′，有rA′·rB′=0，或，代入式(1)和式(2)后有

从而得到

由此可见万向节两轴的转动角度是不同的，设Δφ=φ2-φ1，式(3)可以变化为

图 8显示了不同偏角情况下两轴转角的差异。偏角α越大，两轴转角的差异就越大。

图8 不同偏角时两轴差异的关系

进一步对式(3)两边求导，可以得到

即两轴角速度之比也随时间周期性变化。

通常在理论力学求解万向节角速度的习题中，会有意识地让φ1=0或φ1=π/2，就是为了避免复杂的运动学分析，但这也容易让学生误解，以为两轴角速度之比是常数。

3 改进版的万向节的设计及制作

为了直观看出万向节两轴转角的差异，可以巧妙利用锥齿轮，把两个非平行的转轴变为两个平行的转轴，再类似钟表的处理方式，把两个平行轴变为共轴的“分针”和“秒针”转动，这样就可以通过“分针”和“秒针”的夹角，直接看出两轴转角的差异。

具体设计中的要点是：在装置示意的俯视图(图 9)和正视图 (图 10)中，齿轮C通过锥齿轮与OM轴连接，然后与齿轮D1连接；齿轮E通过锥齿轮与ON轴连接，然后与齿轮D2连接。而齿轮D1和D2共轴且轴的延长线过O点。

图9 齿轮的位置安排(俯视图)

图10 齿轮连接关系(正视图)

这样的设计保证了当ON轴和OM轴保持不同的偏角α时，齿轮E总可以与齿轮D2啮合。共轴设计将OM和ON的转角同时在齿轮D1和D2中反映出来，再将指针分别与D1和D2齿轮固接，就可以通过看两指针夹角的变化，直观地看出万向节两轴转角的差异。

图11和图12是改进后的装置，其中C，D，E齿轮的齿数还可以适当改变，目的是将两轴转动的差异进行放大。

图11 把水平轴变为竖直轴

图12 变为共轴运动