和函数图像的盒维数的一个注记

杜玉坤

（广东茂名幼儿师范专科学校 理学院，广东 茂名 525200）

维数是分形几何的中心概念，其中盒维数是应用最广泛的维数之一.文献［1-2］给出了盒维数的定义.部分分形是以函数图像的形式出现的［3-11］，当把众多现象绘制为时间的函数时，就会显示分形的特征，例如风速、股票数据等.本文先讨论函数图像盒维数的性质，再具体研究函数和图像的盒维数，在理论和应用上对研究函数图像的分形性质都具有重要意义.关于函数图像的盒维数的具体详细细节可以参考文献［12］.

1 预备知识

定义1设f∶I→R是连续函数.设δ＞0，x∈I，记Of，δ（x）为函数f在点x的δ-振幅，即：

定义2设［a1，b1］∈I，函数f在［a1，b1］上的δ-变差Vf，δ［a1，b1］定义为f的δ-振幅在［a1，b1］上的积分：

在不产生混淆时，可以简单地记为Vf，δ.

命题1设f，g∶I→R是连续函数，则Vf，δ-Vg，δ≤Vf+g，δ≤Vf，δ+Vg，δ.

引理1设f∶I→R是连续函数，有dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I）=inf.称dimBГ（f，I）为函数f图像的上盒维数，dimBГ（f，I）为函数f图像的下盒维数.若：dimBГ（f，I）=dimBГ（f，I），则称这共同的值为函数f图像的盒维数，记为dimBГ（f，I）.

命题2设f，g→I上的连续函数，如果Vf，δ＞|a|Vg，δ，则dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.

证dimBГ（f，I）==dimBГ（g，I）.

命题3f是I上的连续函数，若dimBГ（f，I）存在，则：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）（a≠0）.

证dimBГ（af，I）=sup

同理可证：dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

由于dimBГ（f，I）存在，故dimBГ（af，I）=dimBГ（f，I）.

引理2如果dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），则dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.

引理3设f在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，则dimBГ（f，I）=2-s.

因此有如下几个问题：（1）dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）时，对于dimBГ（f+g，I）我们能得到什么呢？（2）dimBГ（af+bg，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}，（a，b≠0）是可能的吗？（3）若f，g在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，那么对dimBГ（f+g，I），我们能得到什么结果？

2 定理及证明

定理1设f，g是I上的连续函数，若dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有：

证由假设可知，对于所有充分小的δ＞0，有Vf，δ＞Vg，δ，即max{Vf，δ，Vg，δ}=Vf，δ.由命题1和引理1得：

则由式（1）、（2）可以得到：

由式（1）可以得到：

由命题3知：

进而得到：

由式（3）、（4）可以得到：

进而由式（2）、（5）可以得到：

定理得证.

定理2［12］若f，g是I上的连续函数，且dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），dimBГ（f+g，I）=max{dimBГ（f，I），dimBГ（g，I）}.

证不失一般性，设dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I），有dimBГ（f，I）＞dimBГ（g，I）.由定理1得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）；由引理2得dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）.故：

推论2.1设f，g是I上的连续函数，若dimBГ（f，I）≠dimBГ（g，I），且a，b≠0有：

证当a，b≠0，由定理2得：

由命题3得：

进而推论得证.

下面讨论f，g在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件时，两个函数和图像的盒维数.

定理3设f，g在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，则：

证由引理3知，dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s. 由于f，g在I上满足一致与反一致s阶赫尔德条件，则存在正常数c1，c2，d1，d2，使得对任意δ＞0，x∈I，有c2δs≤Of，δ（x）≤c1δs，d2δs≤Og，δ（x）≤d1δs.

对不等式两边积分，得：

由命题1知：

由引理1知：

故dimBГ（f+g，I）=dimBГ（f，I）=dimBГ（g，I）=2-s.

3 结语

本文首先证明了两个函数图像的盒维数都存在且不相等时，那么这两个函数和图像的盒维数是存在的，且等于这两个函数图像盒维数的最大值；其次证明两个连续函数满足一致与反一致s阶赫尔德条件时，两个连续函数和图像的盒维数等于其中任何一个连续函数图像的盒维数.