基于Henstock积分在区间子列上的可和性研究*

李 伟

(集美大学理学院, 福建 厦门 361021)

20世纪初，在测度理论[1]基础上建立的Lebesgue积分[2](简称L-积分)，是经典积分理论的突破，它为现代实函数论的研究奠定了基础[3]．但是，由于L-积分是绝对型的，即“f∈L⟺|f|>∈L”,使得L-可积范围受到了限制，例如，广义黎曼可积不一定是L-可积，由此可见，L-积分还存在一定的局限性．1912年，Denjoy从函数的可微性和ACG*性质出发，定义了Denjoy积分[4](简称D-积分)，1914年，Perron定义了Perron积分[4](简称P-积分)．1921年，人们证明了D-积分与P-积分其实是等价的，并证明了它们是Riemann积分[5](简称R-积分)的全部推广，且各自均包容了L-积分．这种积分的本质是非绝对型的，因此，也称之为非绝对型积分[6]．但由于D-积分和P-积分的定义非常繁杂，这样就给积分理论的推广及应用带来了诸多困难．1957年、1958年，J．kurzweil和R．Henstock分别独立地给出了一种完全Riemann型的积分，称之为kurzweil-Henstock积分[7,8]，简称Henstock积分(简记为H-积分)．20世纪80年代初，人们证明了“H=D=P”．由于Henstock积分无需用到繁杂的测度理论，加之又是Riemann型的，因此，它的出现让积分理论充满了生机，使得对有关理论的研究和应用焕然一新[9，10]．

本文就非绝对型Henstock积分理论进行研究．首先阐述δ(x)精细分法及Henstock积分概念，然后引进区间[a,b]上的非绝对型Henstock积分的有限可和性等性质定理，进而在Henstock引理等有关理论基础上，给出Henstock积分在区间子列上的可和性的定理(定理6)，并给予详细证明．

1 定义及其预备知识

定义1[7]区间[a,b]上给出正值函数δ(x)>0，所谓在区间[a,b]上的分法T是δ(x)精细的，是指T的有序分点：a=x0

ξi∈[xi-1,xi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)), (i=1,2,…,n)．

可以看出所谓[a,b]上的δ(x)精细分法T，是区间[xi-1,xi]与ξi所组成的集偶：

{([xi-1,xi],ξi)，i=1,2,…,n}，

它满足：

2)[xi-1,xi]两两无公共内点；

3)ξi∈[xi-1,xi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))．

因此，以后提到区间[a,b]上的δ(x)精细分法T，有时可直接写为：

{([xi-1,xi],ξi)，i=1,2,…,n}，

为避免产生误解，简写为：

{([u,v],ξ)} 或 {[u,v],ξ}．

定义2[7]设函数f(x)定义于区间[a,b]，若存在常数I，满足下列关系：对任给的ε>0，存在δ(x)>0，对任何δ(x)精细分法T，其分点为：a=x0

(*)

则称f(x)在[a,b]上是Henstock意义下可积，简称H-可积的，且I称为f(x)在[a,b]上的H-积分，记为：

以上Henstock积分称为广义Riemann积分；也称为完全Riemann积分．

这个积分定义不同于Riemann积分定义，主要在于它的积分和并不要求对所有充分细密分法及一切ξi∈[xi-1,xi]都能使(*)式满足，而仅仅是要求对于任何δ(x)精细分法中相应的分点xi与结点ξi使(*)式满足就够了．这样减弱了对分法及ξ选择的要求，就有可能使本来不是Riemann可积的函数，成为Henstock可积的函数．

定理1[8]若函数f1(x)、f2(x)在[a,b]上Henstock可积，k为实数，则f1(x)+f2(x)和kf1(x)在[a,b]上也是Henstock可积的，且：

定理2设u

证明：令f=fX[u,w]+fX[w,v]，其中X[u,w]和X[w,v]分别为[u,w]上和[w,v]上的特征函数，则定理的结论由定理1即可得证．

定理3[8](H-积分的有限可和性)设{[ai,bi]}为[a,b]中互不相重的有限区间列，且[a,b]=

定理4[8](Henstock引理) 设g(x)是区间[a,b]上的Henstock可积函数，且存在原函数G(x)，即

则对任给ε>0，存在δ(x)>0，使得对[a,b]上的任何δ(x)精细子分法，即

a≤a1

且：ξi∈[ai,bi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))．(注意，所谓精细子分法是不要求[a,b]=∪[ai,bi]的精细分法．)有：

定理5[11]设F(x)在[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在每个[c,d]⊂[a,b]上的Henstock原函数，则F(x)也是f(x)在[a,b]上的Henstock原函数．

2 定理及其证明

定理6 设E是一个有界闭集，a，b分别是其下、上确界，{Ik}是[a,b]内连接于E的区间列．如果f(x)在E和每个Ik上H-可积，且

则f(x)在I=[a,b]上H-可积，且

其中O(H,f,Ik)为f(x)的原函数Fk在Ik上的振幅，简记为Ok．

证明：当Ik为有限时，由Henstock引理立即得证．下面假设Ik(k=1,2,…)为无限序列．

任给ε>0，由定理5，因f(x)在Ik=[ak,bk]上H-可积，故在Ik上存在δk(ξ)>0，存在Ik上定义的实函数Fk，对所有的Ik上的δk精细分法D，有

|∑kf(ξ)(v-u)-Fk(IK)|> < 2-Kε．

(1)

因Fk在Ik上的振幅Ok=O(H,f,Ik)组成的级数收敛，故存在N，使得

(2)

|∑*f(ξ)(v-u)-A
|> <ε．

(3)

注意，这里ξ∈E．还要求当ξ≠a、b、ak、bk(k=1,2,…,N)时，满足

在[a,b]上定义δ(ξ)为

任作δ-精细分法D，注意到

(ⅰ)对于k≤N，ak,bk必属于分点集{ξ}，对于端点ak，当其不是分法区间端点时，即：

ak∈(u,v)⊂[ak-δ(ak),ak+δ(ak)]，将[u,v]分为[u,ak]与[ak,v]；

对于bk也作类似的分解，分解后仍是δ-精细分法，且∑f(ξ)(v-u)的值不变．由此必有子族

{[u,v]；[u,v]⊂(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)，ξ∈[ak,bk]}覆盖[ak,bk]，k=1,2,…,N；

(ⅱ)分解后的δ-精细分法还必有子族

{[u,v]；[u,v]⊂(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)，ξ∈E}覆盖E；

(ⅲ)对于k>N，可能没有分法D中的ξ∈(ak,bk)，但如果有若干ξ∈(ak,bk)，则它们必相邻．

由于|∑kf(ξ)(v-u)-Fk(ak,bk)|>表示ξ∈[ak,bk] (k≤N)的部分和，由(1)知小于2-kε，因此

(4)

|∑*f(ξ)(v-u)-A|>表示ξ∈E中的部分和，由(3)知小于ε；

∑k*[f(ξ)(v-u)-Fk(u,v)]表示[ak,bk]上δk精细分法中的部分和(如果没有则为0)，由Henstock引理，|∑k*[f(ξ)(v-u)-Fk(u,v)|><2·2-kε，因此

(5)

于是：

ε+ε+2ε+2ε=6ε．

证毕．

该定理说明：前述的有限可和性定理成为该定理的推论．