二维趋化N-S方程解的唯一性准则

2021-01-07郭猫驼苑佳

应用数学 2021年1期

郭猫驼，苑佳

(北京航空航天大学数学科学学院，北京100191)

1.引言

在本文中，我们研究的是不可压趋化Navier-Stokes方程（简称为趋化N-S方程），其表达式如下：

系统(1.1)描述的是不可压流体中微生物的趋化现象，关于这类方程的解的适定性问题有很多的研究工作.在2010年，DUAN和Lorz[3]证明了系统(1.1)在二维以及三维的有界区域（不含通量的边界条件）内弱解的局部存在性；随后，LIU和Lorz[4]在关于χ(c)，f(c)的假设

以及c0，Φ的初值很小的条件下，得到了系统(1.1)在二维空间中的整体存在性.在2013年，系统(1.1)的古典解在二维和三维空间中的局部存在性在文[5]中被建立.在2014年，Chae，KANG和Lee[6]证明了在二维以及三维空间中，系统(1.1)光滑解的局部适定性并且在Hm，m ≤3的框架中建立了解的某些爆破准则.之后，ZHANG[7]把该结果拓展到了Besov空间.同样在2014年，在κ = 1且χ(c)为常数的情况下，ZHANG和ZHENG[8]获得了能量解的整体适定性.在2017年，对系统(1.1)考虑一个额外的细菌密度增长源时，Braukhoff[9]在二维空间上建立了古典解的整体存在性和唯一性以及在三维空间下弱解的整体存在性.同时在2018年，在满足‖n0‖L1(R2)足够小并且对于χ(c)，f(c)满足χ(c)，f(c)，χ′(c)，f(c) ≥0时，解的整体适定性以及时间衰减估计在文[10]中被建立.但是在三维条件下，系统(1.1) 带有大初值问题的解是否整体存在、是否爆破依然是一个公开的问题.

我们要研究的是二维趋化N-S方程系统中的一类，其表达式如下：

对于上述系统(1.2)，在初值属于X0≜{(n0，c0，u0)|n0∈L1∩L2(R2)，n0＞0;c0∈L2∩L∞(R2)，c0＞0;u0∈H1(R2)}时，从文[1]中已经有了弱解的存在性的结果，其结果如下：

并且满足n(x，t) ＞0，c(x，t) ＞0.但是系统(1.2)弱解的唯一性研究依然是一个公开的问题，本文主要工作就是为系统(1.2)的唯一性研究做进一步的推进工作，我们得到了系统(1.2)的唯一性准则，结果如下.

定理1.1对于任意的(n0，c0，u0)∈X0以及∇φ ∈L∞(R2)，若系统(1.2)的弱解满足

那么系统(1.4)的弱解具有唯一性.

2.预备知识

首先引入如下的单位分解定理[2]：

定理2.1设Ψ是一个以原点为中心，长半径为短半径为的环，则存在两个径向函数满足且

在以上单位分解定理的基础上，引入一些记号如下：

根据以上的Littlewood-Paley算子Δj的定义，有如下的非齐次Littlewood-Paley分解

同时可以有如下非齐次Besov空间的定义：

定义2.1设(p，r)∈[1，+∞]2，s ∈R，那么非齐次Besov空间(Rd) 定义为：

定义2.2当T ＞0，ρ ≥1时，记表示满足下列表达式的所有缓增广义函数的集合，

定义2.3当T ＞0，ρ ≥1时，我们记表示满足如下条件的缓增广义函数u的集合

根据Minkowski不等式，发现：当s ∈R，ρ ≥1且(p，r)∈[1，∞]2时，如果r ≥ρ，嵌入到如果ρ ≥r，嵌入到在本文定理证明的过程中需要用到以下引理.

引理2.1(Bernstein不等式) 令1 ≤p ≤q ≤∞，假设f ∈Lp，那么存在一个不依赖于f和j的常数C，满足

3.定理1.1的证明

为证明定理1.1，我们需要首先证明以下的引理3.1与引理3.2，这两个定理对于定理1.1的证明有很重要的作用.

引理3.1在初值属于X0条件下，系统(1.2)的弱解有如下正则性:

证首先用算子Δq(q ≥0)作用系统(1.2)的第三个方程两边，从而有

然后在上述式子(3.1)两边同时乘以Δqu，并且对于空间变量积分，应用Bernstein不等式，可以得到

学生在教师阶梯式课外阅读教学方法中，将会根据自身的阅读水平接触到适合自己的读本，有利于自己在能力范围内进行阅读学习，循序渐进地提升自己的阅读能力。教师不应急于求成，而是通过有效的课外阅读教学方法，逐步实现自身的教学目标，也是教师教学质量和水平不断提升的有力展现，可以使学生在教师教学方法的帮助下，自身的阅读能力得到发展和完善。