Heisenberg群上与Schrdinger算子相关的Poisson半群的分数阶导数估计

孙传红，李澎涛

(青岛大学数学与统计学院，山东 青岛266071)

1.引言

令L=-ΔHn+V 为Heisenberg群Hn上的Schrdinger算子，其中ΔHn为Heisenberg群Hn上的次Laplace算子，非负位势V 属于逆Hlder类BQ/2，这里Q为Heisenberg群Hn的齐次维数.Heisenberg群Hn在Lie群上的底流形是R2n× R，它的乘积为(x，t)(y，s) = (x + y，t + s +它的左不变向量场的Lie代数为

这里所有非平凡关系为[Xj，Xn+j] = -4X2n+1，j = 1，2...，n.次Laplace算子ΔHn定义为梯度∇Hn定义为∇Hn=(X1，...，X2n).

Hn上的伸缩为δr(x，t) = (rx，r2t)，r ＞0，左不变距离为d(η，g) = |η-1g|，那么以g为球心，r为半径的球可以表示为

球的体积为|B(g，r)|=cnrQ，这里并且Q=2n+2为Hn的齐次维数.

设V 是一个Hn上非负局部Lq可积函数，如果对Hn上的每个球B，都存在C ＞0使得逆Hlder不等式

性质1.1[1]存在C ＞0和m0≥1使得对任意的Hn上的g和η，有

在文[11]中，MA等人得到了Rn上与Schrdinger算子有关的Poisson核正则性估计，本文中，我们将其推广到Hn上.

定义1.1Hn上的一个连续函数f属于(Hn)，0 ＜α ≤1，如果

且

令Un是在Cn+1上的Siegel上半空间，

这里Un全纯等价于Cn+1中的单位球.Heisenberg群Hn是Un的一个自同构的幂零子群.Heisenberg群Hn也可以用边界∂Un定义[12].我们用Heisenberg坐标(g，t) = (x，s，t)来表示在Un上的点，这里

对于Hn上的任意球B =B(g，r)，我们定义在球B上的Carleson方体Ω(g，r)为

如果Un上的一个非负的Borel测度µ满足

则称µ为分数阶的Carleson测度.

下面我们给出与L相关的BMO型空间.

定义1.2一个局部可积的函数f属于(Hn)，0 ≤α ≤1，如果存在一个常数C使得

注1.1如果0 ＜α ≤1，那么和是等价的，参见文[13].

2.主要定理及其证明

设β是一个正数，m = [β] + 1表示大于β的最小整数.令F(g，t)是一个函数，其中g ∈Hn和t ＞0.类似于[14]，我们定义

本文我们用Γ和B分别表示Gamma函数和Beta函数.

引理2.1令0 ＜γ ＜1，f是一个连续函数，并且使得|f(g)|≤Cρ(g)γ，这里ρ是在(1.1)中定义的辅助函数.那么有

(i) 对任意的ε ＞0，函数f(g)(1+|g|)-(Q+γ+ε)可积;

(ii) 对任意的β ＞γ和N ＞0，存在一个常数Cβ，N，f使得

(iii) 对任意的N ＞0，存在一个常数CN，f使得

证对于(i)，只需证明积分

是有限的.通过不等式(1.2)，我们得到ρ(g)≤Cρ(0)2j，因此

对于(ii)，由命题2.1(b)和引理1.1，对于常数C =Cβ，N，f，我们有

(iii) 可以类似的证明，这里我们略去细节.

引理2.2[1]对于任意的N ＞0，存在一个常数c，并且对于每一个N都有一个常数CN＞0使得

令

引理2.3[1]令δ =2-Q/q ∈(0，1)，存在一个常数c，并且对于每一个N都有一个常数CN使得

(i)

(ii) 对所有|u|≤t，

(iii)

注2.1令0 ＜δ′≤δ，从引理2.3(iii)可以得到对于任意的N ＞0，存在一个常数CN使得

通过(2.2)式和参考文[15]中的Bochner从属公式，我们有

对于任意的g ∈Hn，t ＞0，Poisson核可以表示为

下面通过(2.1)计算Poisson核的分数阶导数，我们利用Hermite多项式Hm(r)，这里m ∈通过(2.3)和(2.4)，可得

因此，对任意m ≥1，有

由β ＞0和m=[β]+1，我们可以得到

命题2.1令β ＞0，对任意的0 ＜δ′≤δ，0 ＜δ′＜β和N ＞0，存在一个常数C = CN，β，δ′，使得

证首先证明(a)，通过(2.4)的第二个等式和引理2.2，可以得到

对于I1，进行变量替换: z =(t2+|η-1g|2)/u，我们有

对I2，有

故(a)得证.

下面证明(b)，我们估计在(2.5)中括号里的积分

通过(2.5)和引理2.3(i)，可得

这就证明了(b).

对于(c)，通过(2.5)和(2.6)式的估计，以及引理2.3(ii)，可得

对于(d)，令0 ＜δ′≤δ和0 ＜δ′＜β，通过注2.1和变量替换: w =t/v，可得

我们把(2.7)式中的积分分为两部分，一方面，

另一方面，我们分两种情况讨论.当t/ρ(g)≤1时，有

当t/ρ(g)＞1时，可得

因此，(d)成立.

引理2.4算子从L2(Hn)到是等距的，并且有

命题2.2令f ∈0 ＜α ≤1，B = B(g，r)，其中r ＜ρ(g)，那么存在一个常数C =Cα使得

证设j0是一个正整数，使得2j0r ≤ρ(g)＜2j0+1r，因为所以有

注2.2从命题2.2的证明可以看出，如果f属于BMOL(Hn)=(Hn)，B =B(g，r)和r ＜ρ(g)，我们有

在文[10]中，YANG等证明了如下函数空间的对偶关系.

定理2.1令q ＞Q和0 ≤α ＜1，则的对偶空间是

类似于[11]中的结果，我们可以得到如下BMO型空间的等价刻画.

定理2.2令0 ＜α ＜1，f是一个使得对任意ε ＞0，都有f(g)(1+|g|)-(Q+α+ε)可积的函数，当β ＞α，q ＞Q时，下面的叙述是等价的：

(ii) 存在一个常数c1，β使得

(iii) 存在一个常数c2，β使得对Hn上所有的球B =B(g0，r)，令={(g，t): g ∈B，0 ＜t ≤r}，有

证证明(i)⇒(ii).令我们有

通过命题2.1(b)，可得

对I2，我们分两种情况讨论.当ρ(g)≤t时，由命题2.1(b)，有

当ρ(g) ＞t时，因为q ＞Q，所以δ = 2-Q/q ＞1.我们取δ′使得α ＜δ′≤δ，δ′＜β.通过命题2.1(d)，可得

证明(iii)⇒(i).类似于文[16]，利用Hardy型空间的原子分解，我们可以证明下面平方函数

定理2.3假设q ＞Q，令σ是一个正数，0 ＜α ＜1，并且

(iii) 令a是一个在[0，∞)上的有界函数并且定义

证首先证明(i).因为所以有

通过引理2.1(iii)，由|f(g)|≤Cρ(g)α，可得

这里0 ＜N1＜σ，并且N2＞α+σ.因此，Lf(g) ≤Cρ(g)α+σ.通过引理2.1和定理2.2，对任意的β ＞α+σ，可以证明由(2.9)式和引理2.1，用Fubini定理，可得

这里w =t+s.因为β ＞α+σ，通过定理2.2可得

下面证明(ii).对任意的β ＞α，由于0 ＜σ ＜α ＜1，我们有

这里I1(g，t)表示从0 到t的积分.因为通过引理2.1(ii)，可得

在引理2.1(iii)中，取N =α，有

由于β ＞α，通过定理2.2，可得

通过定理2.2和Fubini定理，可得

所以(ii)得证.

通过引理2.1(ii)，β =1和N ＞α，可得

因此，|m(L)f(g)|≤Cρ(g)α.

通过定理2.2和Fubini定理，得到