培养学生数学推理能力的方法举隅

陈一叶

2016 年，中国学生发展核心素养研究课题组公布了中国学生发展核心素养总体框架及其基本内涵，将核心素养的概念界定为“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。关键能力是核心素养的内核，也是学科教学的价值所在。德国教育家梅滕斯认为：关键能力是一种普遍的、可迁移的，在个人的工作、个性发展和社会活动等方面起关键作用的能力。小学数学学科的关键能力主要指运用数学的思维去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，具体包括抽象能力、推理能力和数据分析能力等。推理又称“推论”，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程。数学推理能力是学生数学能力的重要组成部分。课标明确指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法”。研究表明，学生的推理能力随着年龄的增长而不断增强。因此，教师在教学中要把握好学生推理能力发展的关键期，着力培养学生的推理能力。

1.让学生经历知识的“再创造”过程。

荷兰数学家弗赖登塔尔指出，数学学习唯一正确的方法是“再创造”。教师教学时，要让学生有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想和推理验证等活动过程，在学生“再创造”知识的过程中加强他们推理意识和能力的培养，有意识地多让学生经历数学推理的过程，引导他们掌握数学推理的一般方法。数学推理的过程一般包括：（1）发现问题。教师要创设合适的情境，学生要能在关联的情境中发现和提出数学问题，为提出猜想或主张做准备。（2）提出猜想。根据发现的问题，通过合作交流，最终提出共同的研究对象——猜想。（3）进行论证。小学生进行论证一般都是运用类比或归纳等合情推理，合情推理不一定保证猜想的正确性，但它是发现新知识的重要手段，有利于培养学生的创新能力。当然，小学阶段也要有意识地渗透运用数学概念、规则等进行演绎推理的方法。

2.让学生深刻理解知识本质。

美国心理学家奥苏伯尔提出了有意义学习的基本条件，其中关键是学生已有知识与新知之间能建立非人为的实质性联系，这种非人为的实质性联系是数学推理的重要基础。知识的表层结构难以让学生产生联想及直觉，日本数学家小平邦彦说过，数学是需要深刻理解的学问，要理解数学就必须根据数学直觉掌握具体的数学对象。而数学直觉主要指对数学对象内隐的整体性、次序性的领悟。

例如：教学“3 的倍数的特征”，如果仅仅依靠“拨珠听声”和观察百数表就得出用各个数位上的数的和来判断能否被3 整除，这只是知识表层的教学，而一个数的倍数的本质是数的组成。如果一个数是abcd，可以写成a×1000＋b×100＋c×10＋d×1，因为10、100、1000……除以3都余1，所以，各个数位上的数是几，除以3后就余几（如5000÷3余5，余数5比3大，可以再除以3，余2），把各个数位上的数除以3 得到的余数加起来就是a＋b＋c＋d，如果a＋b＋c＋d 的和能被3整除，那这个数就能被3整除。笔者在教学中发现，有学生甚至还发现了更简单的规律，即如果某个数位上的数大于3，还可以除以3，使余数小于3，这样加起来的和比较小，更容易判断，如4585 这个数，按照一般的方法用4＋5＋8＋5=22 来判断，但学生发现各个数位上的数都比3 大，还可以进一步除以3，余数分别变成1、2、2、2，加起来更容易判断。虽然这样的方法并不一定比一般方法简单，却是学生在把握原理的基础上通过推理“创造”出来的。对学生来讲，只有经历了真正的推理过程，才可能有这样与教材不一样的创新。

3.加强学生对整体性知识的建构。

如果把知识的表层结构和内隐结构看作知识的纵向结构，那么知识与知识之间的联系就是横向结构。在小学数学教学中，归纳和类比是十分重要的推理方式，知识间的横向结构有利于学生应用类比的方法进行推理。这是因为横向结构的知识往往都有一些学科中的共同要素，这些知识在学科本质上有共同性，在思维方式上有同一性，在学习方式上具有共同特征，因而学生往往可以利用这些相似的特征进行类比推理。数学推理不仅要有猜想和验证，更要有思辨与批评、证明与反驳。

例如：教学“2 和5 的倍数的特征”时，教师让学生先观察图1。学生通过观察数的组成，可以发现如果整十数和整百数都能被2 和5 整除，剩下的就只要看个位能否被2和5整除。同理，在探究“3 的倍数的特征”时，就可以利用探究“2、5 的倍数的特征”时采用的方法，通过类比推理来发现“3 的倍数的特征”。而后，教师要注意引导学生反思这两个规律的探究过程，找到解决此类问题的共同方法——观察数的组成。

总之，数学推理是数学知识形成的认知方式，也是学生数学关键能力的重要体现，教师教学时应注重让学生经历知识产生的过程，经历观察、猜想、验证与反思的过程，促进学生深刻理解知识本质、建构整体性知识，从而不断提高学生的数学推理能力。