离散SEIS传染病模型动力学研究

周 盼，热木孜亚·热布哈提，王建鹏

(新疆医科大学医学工程技术学院，新疆 乌鲁木齐 830011)

随着社会的不断进步与发展，传染病成为威胁人类生存和繁衍的“隐形杀手”.近年来，许多专家和学者致力于防控传染病传播工作，并提出了很多疾病防控方面的建设性意见.随着数理科学的不断发展，将数学应用到传染病预防和控制中已凸显成效.数学工作者已经借助微分方程理论、差分方程理论、概率论等知识做了大量的疾病防控研究工作[1-3].

众所周知，高维连续模型能更好地刻画事物的发展状态，而高维连续模型的精确解求解确是非常困难的，但现实生活要求我们给出连续模型解或者模型解的性质.因此，研究连续模型对应离散模型的数值解就显得至关重要.通过研究数值解性质可以得到一些精确解的性质，从而为更好地阐述事物的发展状态提供理论依据.通常，将连续模型离散化的方法有欧拉差分法和Runge-Kutta方法等.随着科学的进步，Micken提出新的离散方法——非标准差分方法[4-5]，该方法可以减少连续模型离散化后信息的丢失.

1 数学模型

在文献[6]考虑了病人在潜伏期和染病期都有传染性，研究了一类具有饱和发生率的SEIS连续时间传染病模型：

受以上工作的启发，本文仅考虑病人在染病期具有传染性，且发生率是标准发生率的情形.应用Micken非标准差分方法建立具有标准发生率的离散SEIS传染病模型如下：

(1)

其中，函数φ(h)是一个分母函数[7]，定义如下：

在标准离散格式中用分母函数φ(h)(0<φ(h)<1)代替标准分母函数h，其中φ(h)=h+ο(h2)，h是数值计算的时间步长.

特别地，取φ(h)=h=1，得到如下离散模型：

(2)

其中：A表示t时刻输入人口常数；β表示疾病的传播率；d表示自然死亡率；γ1表示病毒携带者的治愈率；γ2表示患病者的治愈率；α表示潜伏期人群转为感染者的转移率；δ表示感染者患病的死亡率.本文就模型(2)展开研究，模型(1)的研究可类似进行.

2 模型分析

依据实际疾病传播背景，假定模型(2)的任意解满足如下的初始条件

S(0)>0，E(0)≥0，I(0)≥0

.

(3)

定义模型(2)的基本再生数：

首先，对于模型(2)解的正性、有界性和平衡点的存在性，有下述引理:

引理1假设(S(t)，E(t)，I(t))是模型(2)具有初始条件(3)的任意解，当t>0时，则(S(t)，E(t)，I(t))是正的且一致有界.

证明:由于(S(t)，E(t)，I(t))是模型(2)具有初始条件(3)的解，则模型(2)等价于下述形式：

(4)

当t=0时，方程组(4)变成如下形式：

类似的方法依次递推得，对于t>0有

S(t)>0，E(t)≥0，I(t)≥0.

这说明系统(2)的解(S(t)，E(t)，I(t))是存在唯一的正解.

下面，给出有界性的证明.由模型(2)的第4式有

利用放缩法可得

对上式两边同时取上极限得

即模型(2)的任意解(S(t)，E(t)，I(t))是一致有界的.证毕.

注1定义如下集合

由引理1证明知，对于系统(2)，集合B是一个正不变集.

(ⅱ)当R0>1时，模型(2)存在唯一的地方病平衡点W1(S*，E*，I*).

证明:由模型(2)可得

(5)

把E*代入方程组(5)的第2式得

将S*和E*代入方程组(5)的第1式得

因此，当R0>1时，模型(2)存在唯一的地方病平衡点W1(S*，E*，I*).证毕.

对于模型(2)平衡点的稳定性，我们有下述结果：

定理1对于模型(2)在初始条件(3)下，下述事实成立：

通过计算可得

上述线性化方程组的系数矩阵如下：

其中

则系数矩阵C的特征方程为

确定，其中

由于

由于系统(2)在地方病平衡点W1(S*，E*，I*)处的线性化方程较为复杂，不便于理论计算，因此，下面给出一个地方病平衡点W1(S*，E*，I*)稳定性的猜想，并通过数值模拟验证猜想的正确性.

猜想1对于模型(2)，若R0>1，则地方病平衡点W1(S*，E*，I*)是局部渐近稳定的.

3 数值模拟

取参数A=4，β=0.8，γ1=0.225，d=0.5，δ=0.3，γ2=0.001，α=0.14.通过计算得到模型(2)的基本再生数R0=2.330 4>1.因此，模型(2)存在唯一的地方病平衡点(S*，E*，I*)=(5.15，5.35，0.94)，由图1可以看出W1(S*，E*，I*)是局部渐近稳定的.

通过上述的数值模拟显示，当R0>1 时，地方病平衡点(S*，E*，I*)=(5.15，5.35，0.94)是局部渐近稳定的.

4 参数敏感性分析

利用拉定超立方抽样(Latin Hypercube Sampling)方法进行参数的敏感性分析已被广泛应用到传染病模型，可用于确认各个参数对于模型的敏感程度.拉定超立方抽样样本作为R0的样本参数来计算基本再生数R0表达式中各个参数的偏秩相关系数(PRCC)值与P值.参数的PRCC绝对值越大(PRCC值有正有负，分别表示正影响和负影响)，则该参数对于模型的影响越大.本文选取LHS方法中的样本参数n=1 500，γ2、d、δ、γ1、β和α作为R0的输入变量，共计6个参数的PRCC值与P值见表2.

表2 R0和每个输入参数变量的偏秩相关系数(PRCC)Tab.2 Partial rank correlation coefficient(PRCC) of R0 and each input parameter variable

表2表明潜伏人群的转移率α(PRCC=0.947 3)对R0有最大的影响，接着是潜伏期的治愈率γ1(PRCC=-0.617 5)，其次是自然死亡率d、患病期的治疗率γ2、感染率β和患病者的因病死亡率δ.以上 6个参数对模型的基本再生数R0的敏感性如图2所示.图2显示α和β对R0有正影响，而γ1、d、γ2和δ对R0有负影响；同时看出，参数δ作为假设值，R0对δ不敏感(P>0.05)，而其他参数均具有统计学意义(P<0.01).因此，从以上敏感性分析看到，从疫情的实际情况出发，控制流行和传播最有效的方法是减少参数α和β值和增加参数γ1和γ2的值.

在上述工作的基础上我们进一步讨论参数α、d、γ1和γ2对R0的影响.控制其他参数不变的情况下，分别画出α与R0、d与R0、γ2与R0、γ1与R0之间的关系变化曲线，进一步分析给出防控措施.

为使R0<1，在控制其他参数不变时，R0随着α变化的情况如图3所示.图3表明，R0随着潜伏人群的转移率α的增加而增加，潜伏人群的转移率α的曲线与直线R0=1相交于点(0.12，1).说明当潜伏人群的转移率α<0.12时有R0<1，可以采用控制潜伏人群转移来有效控制疾病的传播.

为使R0<1，在控制其他参数不变时，R0随着γ1变化的情况如图4所示. 图4表明，R0随着潜伏期的治愈率γ1的增加而减少，治愈率γ1的曲线与直线R0=1相交于点(0.38，1).说明当患病后的恢复率γ1>0.38时有R0<1，可采用提高潜伏期的治愈率的方法来控制疾病的传播.

为使R0<1，在控制其他参数不变时，R0随着患病期的治疗率γ2变化的情况如图5所示.图5表明，R0随着患病期的治疗率γ2的增加而减少，从图5可看出，治愈率γ2的曲线与直线R0=1相交于点(0.238，1).说明当患病期的治疗率γ2>0.238时有R0<1，可采用提高患病期的治疗率的方法来控制疾病的传播.

为使R0<1，在控制其他参数不变时，R0随着d变化的情况如图6所示.但生命至上，因此我们不考虑这种情况.

综合以上考虑因素，把控制潜伏人群的转移率、提高潜伏期的治愈率和提高患病期的治疗率结合起来，可以更加有效地控制疾病的流行与传播.

5 讨 论

本文利用非标准有限差分(NSFD)方法，构建了一类离散的SEIS传染病模型.从上述分析可以看到，离散的SEIS传染病模型的无病平衡点是局部渐近稳定的，但由于非标准有限差分方法导致离散模型在地方病平衡点处的线性化方程组较复杂，理论计算较为麻烦，因此，当R0>1时，通过数值模拟得到模型的地方病平衡点是局部渐近稳定的.通过拉定超立方抽样(LHS)方法对模型参数进行敏感性分析发现：参数α和β对R0有正影响，而参数γ1、d、γ2和δ对R0有负影响.根据以上分析，控制疾病传播应做到：1)控制潜伏人群的转移来有效切断传播链；2)提高潜伏期的治愈率来控制传播；3)提高患病期治疗率来控制疾病传播.