浅谈构造法在柯西不等式中的运用

周维太

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-54-

在高中数学里，不等式的考查日趋多样化，而柯西不等式就是其中的一种常见的考查要点，但对于多数同学来说，如何正确地运用柯西不等式，如何将不等式构造或转化成柯西不等式的形式尤为困难.构造法是一种很常用的方法，本文拟通过对教学工作中的一些思考，将柯西不等式的构造作一点粗浅的总结，以期抛砖引。

一、柯西不等式

等号当且仅当或时成立（k为常数，）

证明：构造二次函数

=

由构造知   恒成立

又，当都为0时成立，若其不都为0时，则显然，

即

当且仅当  即时等号成立

二、柯西不等式的构造

柯西不等式是一个非常重要的不等式，有非常重要的运用意义，但很多问题不能直接运用，就需要进行适当转换和构造，使其在形式上符合柯西不等式的运用要求.

例1  设，试求之最小值.

解：考虑以下两组向量

=（2，–1，–2）， =（x，y，z），根据柯西不等式，就有

即

将代入其中，得  而有故之最小值为4.

由于柯西不等式有三角形式、多维形式、向量形式，可以考虑用适当的方式进行解决.这个题在用柯西不等式的向量法求解同时，也可用一般形式解决.对出现的负号，其处理的方式和正号一样，不用区别化对待，只需构造出柯西不等式即可.

例2  若x，y，z为实数，且，求证：.

解：根据不等式的结构特征，构造两组数：

，因为

所以，所以，

又因为

所以，

所以，故有.

若柯西不等式直接使用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用. 因而适当变形是我们应用柯西不等式的关键.注意平方及根式的运用，同时注意数字或字母的顺序要应对柯西不等式中的数字或字母的顺序.

例3  ，求证：

证明：

利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数的关系 ，当这两组数不太容易找时，需分析、增补、平方、写根式（特别对数字1的增补，如a=1·a）变形，为运用柯西不等式創造条件.

例4 设正数

很有些问题本身好像不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的.

例5 已知 [来源：学科网]

在这些习题中，要能够顺利地解决问题，就要在对柯西不等式熟悉的基础上，为不等式的利用创造条件，进行合理地运用和转化，让条件和结论进一步加深它们的关联性.

综合本文，可以看到柯西不等式有诸多应用技巧，它对解题具有很强的指导作用和应用价值.通过对不等式的构造和转化，能避免繁杂运算，优化解题过程，提高解题速度，提升学生学习的兴趣.

参考文献

[1]陆昌荣  《柯西不等式》

[2]刘翠霞  《教科书资源开发与利用之选修4-5柯西不等式的应用》