数学核心素养视角下的问题情境实探分析*

广东省东莞实验中学(523120) 薛新建

2016年,“中国学生发展核心素养”研究成果正式发布,核心素养被定义为“能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”,随之制定的《普通高中数学课程标准》(以下简称《标准》)不仅对高中数学课程的课程性质与基本理念,课程目标,课程结构等方面提出高屋建瓴的先进理念,还对课程内容,学业质量标准提出具体规定,并给我们提出了教学与评价,学业水平考试与高考,教材编写,地方与学校实施课程标准等各方面的建议.在这些完备的理论支持下,通过课程改革、教学实践、教育评价等三条途径来具体落实

高中数学学科六大核心素养.作为高中数学教师,我们对后两条途径即“教学实践”与“教育评价”有最一线的践行体验和实施机会,所以我们务必要更新自己的新课程理念,紧随新课程标准的指挥棒,用全新视角去开展日常教学中的每一个教学案例,也为进一步的课程改革积累丰富的经验.

1 问题情境创设思路

《标准》在教学实施五条建议中明确指出,情境创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养.基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境,提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养.通过对《标准》仔细梳理,认真研读,我们对问题情境的创设可以按如下思路展开.

(1)梳理并对重点数学核心素养出现的情境段进行划分.

(2)对相应情境段中数学核心素养的水平仔细研究,并确定不同水平的具体指标.

(3)对情境实施效果要及时反馈评价.对学生的评价,要注重过程评价和学习态度评价;对教学效果的评价,既要重视学生核心素养的达成,也要重视评价的整体性与阶段性.

(4)整体关注情境所处教材位置与后续补充内容,因为这涉及到数学核心素养的横向与纵向延伸.

2 具体案例实探分析

下面我们以二分法的引入情境为例,探究一下数学核心素养视角下课堂问题情境的设计.

二分法的引入,无论从现实情境,数学情境还是科学情境都可以找到作为引入情境的例子,生活化的例子如用水杯在装有一条鱼的水桶里舀水抓鱼的例子,电工快速检测电路故障的例子等,故事化的例子如天平秤出十枚银币中的假币的例子,科学情境如物理中天平秤未知物品重量的例子,高中信息技术选修教材《算法与程序设计》中有一种“二分法”查找数据的例子.当然用的最多的还是“猜价格”游戏.下面我们就以“猜价格”游戏为例创设问题情境.

“猜价格”游戏规则:老师先把某件商品的价格写在一个小纸条上,让学生猜该商品的价格,每次猜完后老师都会给出“多了”还是“少了”的提示,说高了的往低猜,说低了的往高猜,不断调整,逐步接近,直到猜到商品的价格为止.

2.1 情境涉及核心素养分析

用游戏引入“二分法”,除了激发学生进入情境的兴趣,最重要还是通过问题设置逐步引导学生体验和培养如下数学核心素养:数据分析,数学抽象和数学建模.

(1)从数据分析角度来看,“猜价格”游戏本身就是在分析数据,学生在初步猜过几次价格后,就能把价格锁定在一个区间(a,b)内,通过多次猜测,价格所在区间会越来越小,所以猜中答案的快慢就取决于我们缩短价格所在区间的快慢,这就是这个游戏的数学本质.其实二分法的思路正是学生在寻找高效猜出商品价格的办法过程中得到的.

经过多次游戏,学生会发现,“猜中点”效率最高,有了“猜中点”的经验,在解决函数零点问题时,二分法取中值也就水到渠成了.在这里,学生能够在游戏情境中积极参与其中,并能在高低的反馈中顺利完成游戏,其实就可以达到数据分析水平一的要求.如果在游戏中能发现“猜中点”的规律,就可以达到数据分析水平二的要求.

(2)从数学抽象角度来看,“猜测价格”和“实际价格”这两个量的大小关系一直左右着游戏的走向,从“高”“低”的变化中蕴含着这两个量之间的不等关系(需要继续猜)和等量关系(游戏结束).学生能够从这个角度刻画两个量的数学关系,即可认为学生能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够模仿学过的数学方法去解释和解决简单问题,即达到数学抽象素养水平一的要求;把这两个量的等量关系列出来那就是:“猜测价格”=“实际价格”,再赋予参数就可得到方程:x=P.那么这个“猜价格”游戏其实就是变为“猜方程的根”的游戏啦!至此学生也就具备了方程的思想,按照“能够提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想”,学生即可达到数学抽象素养水平二的要求.

(3)从数学建模角度来看,前述思考中其实已经建立了方程与不等式的模型,但是这两个模型使用起来并不方便,因此我们还可以进一步考虑用其他数学模型来刻画这个问题.由于学生刚刚学过“方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点”这个知识,所以方程的根的问题就转化成了函数零点的问题,与前述方程x=P相应的函数f(x)=x－P便进入我们的视野.方程问题,函数解决,这就是函数与方程的数学思想.在这里学生能想到用函数工具去解释和解决这个实际问题,可以认为学生能够了解建模的意义,体会蕴含的数学思想,感悟数学表达对数学建模的重要性,即可认为达到数学建模水平一的要求.下面我们要做的就是引导学生去思考如何快速高效地搜索出它的零点的问题.通过思考解决函数零点的问题,最后再回到游戏中去解释游戏的过程和技巧,学生更加能体会数学在生活中的强大作用.在这里学生能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题,能够根据问题的实际意义检验结果,完善模型,解决问题,即可认为达到数学建模水平二的要求.

2.2 以“问题串”呈现情境

首先介绍游戏规则,并积极邀请学生参与活动,让学生在旁边记录猜测过程,并把其中一组猜测过程呈现到黑板上.

(1)问题串1

问1.1:刚才的“比赛”真的是精彩纷呈啊!下面我们就慢下来仔细思考一下:“猜价格”游戏有没有技巧可言?(问题设计意图:把学生的兴趣点从游戏引向其数学本质)

问1.2:我们把黑板上同学猜测的过程回顾一下,该同学每次猜测有没有收获?收获是什么?(问题设计意图:引导学生关注区间变化)

问1.3:我们关注一下正确答案所在区间(在黑板上写出这些区间来),观察这些区间,大家有什么发现吗?(问题设计意图:区间长度越短意味着越接近正确答案;区间都有子集关系,而且是大区间套小区间,正确答案所在区间长度逐层递减)

问1.4:对于缩减价格所在区间,怎么做效率更高一点?(问题设计意图:引导学生通过“猜中点”高效稳定地接近正确答案)

通过问题串1,把学生的思路从游戏引至数学本质的分析,即对价格所在区间不断缩小直至猜到价格为止,而缩小的方式就是猜中点(或靠近中点).问题串的设置给不同数据分析水平同学提供了展示和提高数学核心素养的机会.

(2)问题串2

问2.1:我们的游戏叫“猜价格”,按照游戏规则:猜中价格就算赢,“猜中价格”这四个字中有没有蕴含的数学关系式呢?(问题设计意图:引导出现等量关系:“猜测价格”=“实际价格”)

问2.2:游戏中有没有其他数学关系呢?(问题设计意图:猜不中即有不等关系:“猜测价格”/=“实际价格”)

问2.3:上述关系式能否化为数学表达式?(问题设计意图:“猜测价格”是变量,“实际价格”是常量,我们对其赋予参数,设猜测价格为变量x,实际价格为定值P,那么这个等量关系就变为:方程x=P和不等式x/=P).

问2.4:所以我们的游戏从数学的本质来看其实就是猜什么?(问题设计意图:引导问题的方程本质)

通过问题串2,逐渐帮助学生建立数学抽象的能力,让学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界,逐渐形成理性思维和科学精神.

(3)问题串3

问3.1:前述方程和不等式的模型刻画“猜测价格”与“实际价格”的关系不免麻烦,有没有更好的模型来把两种关系统一起来?(问题设计意图:引导函数模型f(x)=x－P)

问3.2:游戏中“猜测价格”与“实际价格”的关系对应于函数的什么关系式?(问题设计意图:把“猜价格”游戏转化成“猜函数零点”的问题)

问3.3:缩小零点所在区间的依据是什么?(问题设计意图:引导思路到零点存在性定理)

通过问题串3,逐渐引导学生建立函数模型去刻画问题,并用函数的眼光去解决问题,对于函数我们研究的手段就比较多样化,可以看到游戏中看不到的一些规律.由此也把课堂引进利用二分法寻找函数零点(或其近似值)问题,引入情境任务结束.

3 问题情境创设的几点反思

3.1 关注后续知识跟进

“用二分法求方程的近似解”是必修一的内容,在后续数学课程中,我们还有机会对这一知识点进行更深入的学习和研究,在必修三学习了算法后,“二分法”可以用程序框图表示,进而编程用计算机实现求出近似解;在选修2-2 学习了导数后,还可以引入牛顿切线法去求解函数零点的近似值.这些内容既是对知识,也是对数学核心素养的延展和升华,我们一定要把握好后续教学的延续性.

值得一提的是,“问1.3”中的区间套形式是高等数学中闭区间套定理的初次露面,建议给学生打好伏笔,至于证明,留待学生到大学里继续研究.

3.2 关注情境的立德树人作用

情境中有多次机会能够培养学生的价值观念和必备品格,例如,“问1.2”每次猜测后答案所在区间就会一步步缩小.可以借机引导学生以发展的眼光看问题,不能只看到“没猜对”,其实接近答案就是一种胜利,要有足够耐心找到最终答案;“问1.4”猜中点的方式可以用《庄子·天下篇》中“一尺之捶,日取其半,万世不竭”来引导启发,句中“取其半”就是一个很高效的办法,通过借鉴古人的智慧,让学生体验中华文明的博大精深;通过问题串2 学生也能体会用数学的眼光观察世界,用数学思维思考世界和用数学语言表达世界的重要性.

本次《标准》最核心的变化就是继承与发展,将学生应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力明确化,对知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标进行整合,凝练成数学学科核心素养,由此将我党的教育方针进一步具体化和细化.这些对我们一线教师来说非常具有指导意义和可操作性.如果说学科课程像一艘船,它承载着的就是学科核心素养,那么教育部就是为我们完善健全理论指导,做把握大方向的掌舵人,一线教师就是划动这艘大船的水手,二者齐心核心素养才能平稳顺利地贯彻实施,最终达到目标.作为一线教师是起关键作用的一环.因此,我们必须仔细研读《普通高中数学课程标准》,“腾笼换鸟”廓清理念,重新审视教材教法,以数学学科核心素养的眼光去看待和制定每一个问题情境乃至教学案例.这既是课程改革赋予我们的神圣使命,也是我们提高教学效率的捷径.