应该抛物线内的自共轭三角形探究

张皓宇　何毅章

首先我们知道：F关于抛物线，极线为，

关于抛物线极线为

（此外，，等熟知结论不用细说）

那么，我们考虑在通径上取一点，在上任取一

点，设HT、XT分别与交于P、Q，直线PQ有何特殊性质呢？

设

则点差：

同理：

又

即 ①

即 ②

将①代入②得：

即 ③

将③代入得：

记为W。

点X关于的极线为：

在这条线上

故为自共轭三角形

因此，我们改写命题：

抛物线准线与x轴交点为H，以H為顶点作自共轭三角形，再在抛物线上任取一点T，设TH、TX分别交抛物线、，则

、、W三点共线。

当在平面上任意位置呢？

则H关于极线：，

设，则X关于极线：

又X在H点对应级线上，

故： ④

联立：

（这样找到了这个自共轭三角形）

同理可得：

将分别代入，得：

消去即由⑤⑥

将④代入

将⑦代入

整理，得：

故PQ还是恒过点

这个点，即为W点！原命题成立。

（事实上，对所有二次曲线均有该命题成立，由于篇幅太小写不下，暂略去证明）

关于抛物线的自共轭三角形，取上任一点T，TH，TX分别与之交于P、Q，那么P、Q、W三点共线。

（PS：此结论一定不能让出卷老师发现，否则他（她）随便取一个点，再在其极线上随便取一个点，然后乱连一些线去证过定点，其后果不堪设想……）