对大二应用物理专业“量子物理”课程的浅见

周康

[摘 要]应用物理专业的本科生，例如光学、材料、微电子等专业的学生，需要在大二学习量子力学。然而，大二的学生并不具备传统的本科量子力学课程所要求的数学与物理基础。该文作者对如何解决这个困难给出了一些探讨和建议，试图寻求一种适合于大二应用物理专业学生的量子物理课程。

[关键词]量子力学;大二;应用物理

[中图分类号] G642.0[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）48-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

诞生于一百年前的量子力学对现代科学的许多分支都有着深远的影响，而且它的影响力直至今日都还处于持续扩大中。可以公正地说，缺少了量子力学，将无法深入探讨现代物理学的绝大多数分支。对于主修应用物理方向—例如光学、材料、微电子—的本科学生，如果在大学期间未能打下足够的量子力學基础，未来的发展将受到极大的限制。因此，给这些专业的学生开设量子力学课程是非常必要的。然而，由于大三、大四期间有很多更加专门的课程需要学习，对于这些专业的学生，量子力学课程如果开设，常常会被安排到大二。这就带来了一个问题：传统本科生量子力学课程需要以理论力学与数学物理方法的相关知识为基础，而大二的学生尚未学习这些课程。举例来说，氢原子薛定谔方程的求解，对大二学生而言就是一道难以逾越的鸿沟。此外，对这些专业的学生而言，除了讲清楚量子力学的基本物理概念和思想，还需要兼顾到量子力学在他们专业领域的特殊应用。

笔者从2017年开始，在扬州大学物理科学与技术学院给光学科学专业的大二本科生讲授量子物理课程。通过总结三年来的经验、平时对这门课程的思考以及与同行的讨论，作者试图在本文中对大二本科生量子物理课程的内容选取、讲授方式、考核方式及学习方法给出一些探讨和建议。

二、对量子物理课程教学的思考及建议

（一）课程内容的选择

考虑到大二学生没有关于特殊函数和求解偏微分方程的数学基础，传统量子力学课程中谐振子与氢原子薛定谔方程的解法都可以予以删除。由于大二学生缺少格林函数的知识，而格林函数在处理散射问题时不可避免，因而散射问题也应当从课程中删去。此外，由于应用物理方向的学生，在未来几乎不可能用到数学上较为复杂的微扰论，这部分内容也可以跳过。尽管微扰论用到的数学工具并未超出他们的知识储备，但是，大二学生的思维大多停留在普通物理的层面，多数学生并不适应冗长的数学推导。最后，由于缺少理论力学基础，正则量子化中从泊松括号到对易括号的过渡，也可以舍去。我们可以直接将哈密顿算符作为能量算符来介绍，并阐释哈密顿算符与演化算符的联系，而避开哈密顿算符与经典力学中哈密顿量的关系。

在删除了以上内容后，空出的课时允许我们添加传统讲授方式里所没有的内容，尤其是一些物理味比较浓重的有趣例子。最后的课程编排如下：

（1）旧量子论。包括普朗克黑体辐射理论，爱因斯坦对光电效应的解释，波尔氢原子模型。

（2）量子态与波函数。这一部分主要讲授量子力学如何描述某一时刻的物理系统，以及与实验测量的关系。主要内容包括波函数、量子态的概念、态叠加原理、狄拉克符号、本征态的概念、几率幅的概念、不确定原理。这部分内容在整个量子力学中起到纲领的地位，其重要性不言而喻。对这部分内容的讲述，作者建议参考国外优秀教材及参考文献[1][2]。文献[1]的作者狄拉克，是量子力学发展史中最伟大的科学家之一，狄拉克亲自编写的教材，也为后世所称道。文献[2]是由著名粒子物理学家樱井纯所著，受到诺贝尔物理学奖得主史温格的高度评价。

（3）薛定谔方程及一维定态问题。宏观地看，任何物理理论都包含两个部分：一是如何描述某一时刻的物理体系;二是如何预言这个物理体系随时间的演化。量子态与波函数，以及相关的种种概念，回答的都是量子力学如何描述某一时刻的物理体系。下一个问题是，量子态随时间的演化。于是，首先要讲授的是连续表象下的薛定谔方程。求解薛定谔方程仅限于一维势阱和一维势垒。如前所述，一维谐振子薛定谔方程的求解将不做讲授。

（4）抽象形式与矩阵。这一部分以狄拉克符号为基础，系统地给出量子力学的抽象形式，以及力学量算符的矩阵表示。离散表象下物理系统随时间的演化也将在这一部分讲授。对此，《费曼物理学讲义》第三卷中提供了很好的例子，即双态系统。费曼找到了许多双态系统的有趣例子，如氨分子的翻转，苯分子的能量，染料分子对光的吸收，等等。双态系统的希尔伯特空间只有二维，此时薛定谔方程的求解甚至比一维势阱更加简单，然而却可以向学生展现明晰的物理图像。

（5）算符本征值的代数解法。主要包括构造产生、湮灭算符来求解谐振子能量本征值与本征态，以及构造升降算符来求解角动量算符的本征值与本征态。同时，为了解释角动量算符是转动生成元，这部分内容将包含另一主题：仅凭分析空间转动的一般特征，来写下绕x、y、z轴转动的矩阵形式。这一推导方法对培养学生的物理直觉是非常有益的。

（6）对称性与守恒律。这一部分主要讲授物理体系的对称性与守恒量的关系，主要包括：空间平移对称性导致动量守恒，转动对称性导致角动量守恒，时间平移对称性导致能量守恒，镜像反射对称性导致宇称守恒。

（7）全同粒子。这一部分讲授玻色统计与费米统计。考虑到光学科学专业的学生有一部分会在未来接触到激光原理，因而玻色统计会着重讲授，除了传统内容外还包括玻色统计与谐振子产生、湮灭算符的关系，自发吸收、自发辐射、受激辐射间的平衡，如何从玻色统计推导普朗克黑体辐射公式。

最后一章的内容是为光学专业的学生量身定制的。对于材料或微电子专业的学生，则可适当选择另一些更为切合他们专业的内容，例如能带结构、半导体简介、约瑟夫森结，超导的唯象理论、朗道能级。

（二）教学方法

与大多数理论物理课程类似，量子物理的教学方式适宜在课堂上将板书与PPT相结合，并布置作业和思考题帮助学生课后巩固。这里主要谈一下，对于初学者，如何使他们觉得有悖常识的量子物理并非那么枯燥或可怕。

首先，可以尽可能多地使用理想实验。这些实验虽然在历史上并未做过，然而，当我们有了量子力学之后，可以回过头告诉学生，如果有人去做这些实验，会得到什么结果。这些理想实验可以帮助学生跳过抽象的数学形式，直接感受到量子力学在物理上到底告诉我们什么，从而传递给他们较为清晰的物理图像与物理思想。这里简单举几个例子。

第一个例子，从光学中的杨氏双缝干涉实验出发，可以引出波函数的概念以及波函数的绝大部分特征。比如，让“光源”发出光子、电子、经典子弹这三种粒子，可以知道微观粒子有干涉效应而经典粒子没有。比如，让光源足够弱，每过几秒发出一个光子，发现干涉图样仍然存在，则可以推论出并非通过a缝的粒子与通过b缝的粒子相互干涉，而是，某种意义上粒子自己与自己干涉。比如，通过关闭双缝中的一条，或者用别的办法来探测粒子到底通过哪条缝，会发现，一旦知道了粒子所走的路径，干涉就会消失。通过设想加上更多的缝和更多的挡板，还可以进一步引出费曼路径积分的思想。

第二个例子，借助史特恩—格拉赫实验，就可以讲清楚量子态与测量的关系，包括本征态、几率幅。比方说，将两个史特恩—格拉赫实验装置串联，并使两个装置的磁场都指向z方向。假如当粒子穿过第一个装置后，将z方向自旋向下的一束挡住。当粒子穿过第二个装置后，不会进一步分裂，而且自旋向上。如果仍然将两个史特恩—格拉赫实验装置串联，但第二个装置的磁场沿着x方向。当粒子穿过第一个装置后，如果仍然将z方向自旋向下的一束挡住，当粒子通过第二个装置后，会分裂成两束，沿x方向自旋向上与向下的概率各一半。最后，将三个史特恩—格拉赫实验装置串联，第一个装置磁场沿z方向，第二个装置磁场沿x方向，第三个装置磁场沿z方向。当粒子穿过第一个装置后，将z方向自旋向下的一束挡住。当粒子穿过第二个装置后，将x方向自旋向下的一束挡住。那么，当粒子穿过第三个装置后，将分裂为两束，沿z方向自旋向上与向下的概率各一半。通过这些事实，可以归纳出几率幅、本征态以及测量的一般特性。假如将自旋为1/2的粒子换成自旋为1的粒子，设想串联一个个史特恩—格拉赫实验的系统，以及遮挡掉仪器内的某些路径，则可以讨论更多内容，可参见参考文献[3]中的相应部分。

第三个例子，通过介绍两个粒子发生碰撞，最后在两个特定方向被探测到的概率，就可以解释全同粒子与非全同粒子的區别，玻色子与费米子的区别。我们可以考虑a粒子被散射到A方向，b粒子被散射到B方向，以及a粒子被散射到B方向，b粒子被散射到A方向这两种过程。如果两个粒子是可区分的，比如一个是氦原子核一个是氧原子，或者是两个自旋相反的电子，则这两个过程不会相互干涉。当两个粒子是全同粒子，干涉效应就会出现。对于全同玻色子，在干涉中两个过程的振幅相加;对于全同费米子，在干涉中两个过程的振幅相减。

这些例子，都有充实的物理内容和物理图像，而不是抽象的概念与公式，因此更加容易被初学者所接受。选择理想实验为切入点的另一个好处是，理想实验方便制作动画。相比于枯燥的公式，动画能令学生更加印象深刻。

另一方面，我们可以以定性或半定量的方式，在适当的时候给学生展示更前沿或更广泛的知识，来激发学生的兴趣。这里举两个例子。第一个例子，在讲授产生、湮灭算符时，可以告诉学生，这种代数方法不仅可以构造谐振子的能量本征态，在不同的物理背景下还有不同的解释和应用，例如在量子场论里可以刻画粒子数的增加和减少，在超对称理论中可以刻画玻色态和费米态间的映射，在超弦理论里可以刻画弦的不同激发态。这有助于学生弄清楚哪部分内容是物理的，哪部分是数学的，并获得一个印象：同样的数学模型在不同的物理背景下可以有完全不同的解释和应用。第二个例子，在讲授镜像对称性与宇称守恒时，可以展开讨论在经典物理中左和右是无法区分的，并介绍杨振宁、李政道二位先生发现宇称不守恒定律，并由吴健雄通过实验加以验证的故事。

（三）考核方式

考核方式与其他课程一样，适宜采用期末卷面成绩与平时成绩结合的方式。平时成绩原则上包括课堂表现和作业情况。然而，我建议，对于卷面分能到达85分以上的学生，平时成绩可以无条件给予满分。我深信自学能力是应该受到足够重视的。诺贝尔物理学奖得主史温格，大学期间几乎没去上过课，完全靠自学完成了深厚的知识积累。如果学生能通过自学达到卷面分85分以上，这样的学生正是我们需要发现和培养的人才，应当予以鼓励。

当然，这就涉及卷面分85分的含金量，亦即期末考如何命题的问题。我的建议是，试题应有明显的梯度。假如一个学生只学到波尔提出了氢原子模型，虽然未达到这门课程的要求，但是与没学到任何东西还是有区别的。因此，试题中最简单的题，应该能使这样的学生也可以得分。所以，我为这部分学生设计了一种最简单的题型—连线题，将各个物理学家的人名与他们的贡献连线。而最难的题，应该是不仅要深刻理解物理概念和思想，而且能灵活运用，并掌握一定的数学推导能力。换句话说，最难的题应该使最优秀的学生也感到不那么容易。这种题，我建议可以对某个真实的实验过程加以简化，要求学生对之进行分析和计算，使用量子力学知识来定量地预言实验结果。

剩余的题目，除了保证难度的梯度外，还应寻求两类学生间的平衡。一类是，很好地理解了物理概念，但数学推导能力不足;另一类是，对物理概念的理解不够清晰，但计算能力很强。我认为这两类学生的综合水平难分伯仲，因此，命题时不能厚此薄彼。有鉴于此，我建议在传统的计算题之外，设计一些专门考察概念理解的选择题，例如在各个选项中区分经典概率与量子概率，区分可观测量与不可观测量，区分不同算符能否有共同本征态。此外，还可以加入不需要通过计算，仅凭对概念的理解即可定性地预言实验结果的实验分析题，例如史特恩—格拉赫实验、双缝干涉实验，两个全同粒子碰撞试验，等等，以此来考察对概念的理解。

三、结语

在本文中，作者从课程内容的选取、教学方法的把握、考核的方式这三个方面，对如何给应用物理专业的大二本科生开设量子物理这门课程，给出了几点浅见。这些意见来自几年来教学经验的总结、作者平时的思考以及与同行的探讨。基于大二学生不具备全面接受传统量子力学教学的数学与物理基础，这些意见中含有许多对传统量子力学教学方式的改动。改动传统教学方式的另一个原因是，对于应用物理方向的学生而言，量子力学在他们未来的生涯中会有许多特殊的应用，需要予以专门的引导。

笔者相信，认真学习了本课程并取得合格成绩的学生，对量子力学的基本原理和方法将会有清晰的理解。随着后续对数学物理方法与理论力学的学习，他们将很容易通过自学补上课程中删减的内容。同时我也相信，勤奋认真的学生，能通过本课程获得足够的基础，在未来进一步学习量子力学，以适应各自工作的需要。我也希望，本课程除了在应用方面的价值外，还能带领学生领略量子力学的深刻而条理清晰的思想，感受自然界的美与和谐，并产生理解自然界的愿望。西方文化中从古希腊以来对纯粹理性本身的追求，是当下国内教育中相对欠缺的，虽然这个问题无法短时间解决，但笔者认为，教师有责任做这方面的尝试。

由于经验和水平的限制，笔者所提的建议或许并不成熟，也并不全面。希望在以后的教学生涯中，能逐步完善对这门课程的把握，更好地为学生服务。

参考文献

[1]P.A.M.Dirac著.量子力学原理 注释版[M].北京：科学出版社， 2008.

[2]J·J·Sakurai著.现代量子力学 修订版[M].北京：世界图书出版公司，2006.

[3] [美]费曼（Feynman，R.P.）等著.费曼物理学讲义 第3卷[M].《费曼物理学讲义》翻译组，译.上海：上海科学技术出版社，1989.